辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试题

这是一份辽宁省朝阳市建平县第二高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知为虚数单位，复数，，则等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：人教B版必修第一册～必修第四册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．若直线，则下列说法正确的是（ ）
A．仅垂直平面内的一条直线B．仅垂直平面内与相交的直线
C．仅垂直平面内的两条直线D．与平面内的任意一条直线垂直
3．已知集合，集合，集合，则（ ）A．B．C．D．
4．在中，，，，则（ ）
A．1B．2C．D．
5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（ ）
A．16B．12C．D．
6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则此三角形（ ）
A．无解B．有一解C．有两解D．解的个数不确定
7．如图，在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
8．如图，正三柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A．4B．5C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题，6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知为虚数单位，复数，，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．为实数D．在复平面内对应的点在第一象限
10．已知锐角三角形三边长分别为2，7，x，则实数x的可能取值是（ ）
A．B．C．7D．
11．如图为清代官员夏日所用官帽、凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式，材料多为藤、竹制成．外裹绫罗，多用白色，也有用湖色、黄色等，不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量，现有一个官帽，帽坡长，帽底宽，关于此官帽，下面说法正确的是（ ）
A．官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为
C．若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为
D．此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知函数，则的单调递减区间为______．
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的外接圆半径为1，若，则的周长为______．
14．如图，在正三楼柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知是虚数单位，复数，．
（1）当复数为实数时，求m的值；
（2）当复数为纯虚数时，求m的值；
16．（本小题满分15分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
17．（本小题满分15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示：
（1）求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）
（2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率．
18．（本小题满分17分）
已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的最大值．
19．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，．M是棱PD上一点，且，．
（1）证明：；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．
高二阶段考试·数学参考答案、提示及评分细则
1．A 由题意，得，则，．故选A．
2．D 若直线，则与平面内的任意一条直线都垂直．
3．D 由，，，可得，，，，故选D．
4．C °，则由正弦定理得，，得．
5．A 易知原图形是平行四边形，其底边长2，高为，另一边长为，所以原图形的周长为．
6．C 由正弦定理，得，解得．
因为，所以．又因为，所以或，
故此三角形有两解．故选C
7．C 以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示．所以，，，设（），所以，，所以，解得，所以．故选C．
8．C 三柱的侧面展开图为一个矩形，如图所示，因为正的边长为3，侧棱，所以，，所以，即小虫爬行的最短距离为．故选C
9．BD 因为的共轭复数为，所以A不正确；因为，，所以B正确；因为，所以C不正确；因为点的坐标在第一象限，所以D正确．
10．BC 解得．故选BC．
11．ACD 如图所示，，∴，，，所以A是正确的；，所以最大面积应为200，所以B是错误的；设外接球的球心为，则，，，可见球心在AD延长线上，，所以C正确；设O是内切球的球心，则，，，得到最大半径为，所以D是正确的．
12． 令，则在定义域内为单调递减函数，∵的单调递增区间为，∴为函数的单调递减区间．
13． 因为，所以，，，，所以的周长为．
14． 连接交于O点，作F点为的中点，连接OF，则与所成的角等于OF与所成的角，在中，，，．，．
15．（1）当复数为实数时，有，∴或．
（2）当复数为纯虚数时，有，解得．
16．解：（1）由正弦定理有，
因为，，可得；
（2）由（1）知，，．
故有．
17．解：（1）由题意知．解得，
数学成绩的平均数为．
由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数，则，解得；
（2）抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人，
记在内的4人为a，b，c，d，在内的1人为A，从5人中任取3人，有，，，，，，，，，共10种，
选出的3人中恰有一人成绩在中，有，，，，，，共6种，
所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是．
18．解：（1）∵，
∴，，
∵，∴，又∵，∴．
（2）∵，，
∴由余弦定理得，，，
（当且仅当时取“＝”），，，
∴的最大值为8，的最大值为12，∴周长的最大值为12．
19．（1）证明：在矩形ABCD中，所以，
∵，，，∴，，
∴，
在中，∵，，∴M为PD中点，，∴，即，
又，，，，∴，
又，∴；
（2）解：由（1）知，，
∵，，
∴，又，，AD，，
∴，又，∴，又，∴，
∵，，，
∴，由（1）知M为PD中点，所以M到平面ABCD距离为，
设D到平面ACM的距离为h，由，即，解得，
设直线CD与平面ACM所成的角为，则．