海南省海口市琼山中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）

这是一份海南省海口市琼山中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（A卷），共13页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1.（3分）函数的单调递减区间是（ ）
A.B.
C.D.
2.（3分）曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标是（ ）
A.eB.1C.D.
3.（3分）在的展开式中，x的系数为（ ）
A.B.C.5D.10
4.（3分）数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则不正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.（3分）已知R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A.B.
C.D.
6.（3分）已知数列满足，若，则（ ）
A.2B.C.D.
7.（3分）已知圆C过点，且与x轴相切，圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A.B.
C.D.
8.（3分）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A.B.
C.D.
9.（3分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（ ）
A.4尺B.4.5尺C.5尺D.5.5尺
10.（3分）已知数列满足，，则（ ）
A.B.C.D.
11.（3分）已知函数，，则下列结论不正确的是（ ）
A.存在，使得的图象与x轴相切
B.存在，使得有极大值
C.若，则
D.若，则关于x的方程有且仅有3个不等的实根
12.（3分）如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（ ）
A.B.
C.，D.，
13.（3分）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若男生甲不站两端且女生必须相邻，则有（ ）种排法.
A.120B.144C.192D.240
（多选）14.（3分）下列结论正确的是（ ）
A.在空间直角坐标系Oxyz中，点关于xOy平面的对称点为
B.若向量，，且，则
C.若向量，，则在上的投影向量的模为
D.O为空间中任意一点，若，且，则P，A，B，C四点共面
二、非选择题（共58分）
15.（8分）在数列中，已知，，记数列的前n项之积为，若，则n的值为______.
16.（10分）已知函数.
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.
17.（10分）求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）.
18.（10分）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2.
（1）求n的值；
（2）求含的项的系数；
（3）求展开式中含的项的系数.
19.（10分）已知在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
20.（10分）已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
参考答案与试题解析
一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1.【分析】由导数与单调性的关系求解；
【解答】解：，则，
由得，
故的单调递减区间是，
故选：B.
【点评】本题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，属于基础题.
2.【分析】求出原函数的导函数，得到函数在点处的切线方程，取求得x值即可.
【解答】解：由，得，则，
∴曲线y=e在点处的切线方程为，
取，可得.
∴曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标是.
故选：C.
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题.
3.【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为1，求出k的值进行计算即可.
【解答】解：展开式的通项公式，
由得，得，
即x次项为，即x的系数为10，
故选：D.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式求出k的值是解决本题的关键，是基础题.
4.【分析】由可得，进一步解得，从而即可对选项进行逐一判断.
【解答】解：根据题意，由，得，
解得，则选项A正确，选项B错误；
则，选项C正确；
，所以选项D正确.
故选：B.
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
5.【分析】由函数的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由得到关于x的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集.
【解答】解：由函数的图象可得，
当，时，，
当时，.
由①或②
解①得，，解②得，，
综上，不等式的解集为，
故选：D.
【点评】本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了不等式组的解法，考查了数学转化思想方法，是基础的运算题.
6.【分析】由数列的递推式计算前几项，可得数列的周期，即可得到所求值.
【解答】解：由，，可得，
，，，……，
可得数列是周期为3的数列，
则.
故选：A.
【点评】本题考查数列的递推式和数列的周期性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.
7.【分析】设圆心为，半径为r，根据条件，建立方程组且，求出b，r，即可求出结果.
【解答】解：由题可设圆心为，半径为r，
所以且，解得，，
故圆C的方程为，即.
故选：B.
【点评】本题考查了圆的方程，属于基础题.
8.【分析】求导得斜率，即可由点斜式求解方程.
【解答】解：，
故
又，
所以切线方程为，即.
故选：D.
【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
9.【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【解答】解：设十二个节气分别对应等差数列中的前12项，且的公差为d，
根据题意，有，
则，解得，
∴立夏的影长为.
故选：C.
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
10.【分析】根据已知的递推关系可以得到为等比数列，再用累加法求解即可.
【解答】解：由已知得：，
又，所以，即，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
因此，
当时，，，…，
相加得：.
故选：A.
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题.
11.【分析】对求导，分析单调性即可判断极值，由，可参变分离，根据新函数的单调性极值最值趋势即可判断.
【解答】解：由题知，当时，
当时，所以在处的切线斜率为0，
此时的图象与x轴相切.故A正确.
由，当时，，
所以在R上单调递减，无极大值，
当时，时，时，，
所以的图象先减后增，有极小值无极大值，故B错误.
当时，即，
即令，，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增，
，所以，
令，
，
因为，所以当或时，
当时，所以在和上单调递增，
在上单调递减，极大值为，
又时，，所以最大值为，
所以当时，恒成立，即恒成立，故C正确.
由C选项的判断知，极小值为，
又时，，所以当时，有且仅有3个不等的实根，
故有且仅有3个不等的实根，故D正确.
故选：B.
【点评】本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于难题.
12.【分析】根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系，即可得到答案.
【解答】解：当时，单调递减，
从图可知，当时，，
所以的单调递减区间为和.
故选：C.
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，属于基础题，
13.【分析】把两个女生视为一个整体与4个男生排列，甲站中间3个位置之一，再对2名女生进行排列作答.
【解答】解：依题意，把两个女生视为一个整体与4个男生排列，甲站中间3个位置之一的排列有种，
而2名女生的排列有种，
所以符合条件的排列有种.
故选：B.
【点评】本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题.
14.【分析】选项A，直接求出点关于xOy平面的对称点，即可判断出选项A的正误；
选项B，利用空间向量垂直的坐标表示，即可得出x，从而可判断出选项B的正误；
选项C，根据投影向量的定义，即可求出结果，从而判断出选项C的正误；
选项D，根据空间向量共面的结论可判断出选项D的正误.
【解答】解：对于选项A，点关于xOy平面的对称点为，所以选项A错误，
对于选项B，因为，，且，所以，得到，所以选项B正确，
对于选项C，因为，，所以在上的投影向量的模为，故选项C正确，
对于选项D，由空间向量基本定理的推论可知：，且时，P，A，B，C四点共面，所以选项D错误.
故选：BC.
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题，
二、非选择题（共58分）
15.【分析】由数列的递推式推得数列是首项为1，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式和累乘法，可得所求值.
【解答】解：因，，，显然，
则有，
而，有，则，
从而得数列是首项为1，公差为1的等差数列，
因此，，整理得，
则，当时，，
所以n的值为2020.
故答案为：2020.
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.
16.【分析】（1）将代入中，求出的导函数，再利用导数的几何意义求解即可；
（2）先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论.
【解答】解：（1）当时，，
则，，
切线的斜率，
函数在点处的切线方程是.
（2）证明：，
，，
由存在两个极值点，且，
可知方程存在两个互异的正实数根，且，
，，，，
，
令，则，
，，在上单调递减，
，又，，
.
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题.
17.【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可.
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
【点评】本题考查了基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式，是基础题.
18.【分析】（1）利用二项式系数建立方程即可求解；
（2）求出展开式的通项公式，令x的指数为2，由此即可求解；
（3）根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解.
【解答】解：（1），.
（2）的展开式的通项为，
令，则含的项的系数为；
（3）由（1）知，
所以展开式中含项为：，
所以展开式中含项的系数为147.
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.
19.【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可.
【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，
由，；
（2）
.
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，数列的求和，分组求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
20.【分析】（1）利用数列递推式变形得，利用等比数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）得，即，利用错位相减法，即可得出答案.
【解答】解：（1）证明：，
，
又，则，
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（1）得，即，
，
两式相减得
，
.
【点评】本题考查等比数列的定义和错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.