甘肃省兰州市城关区新亚中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份甘肃省兰州市城关区新亚中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线y﹣x﹣1＝0的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
2．（5分）76是等差数列4，7，10，13（ ）项．
A．25B．26C．27D．28
3．（5分）在等比数列{an}中，各项均为正数，且a1＝，q＝2，则a4与a6的等比中项是（ ）
A．2B．±4C．1D．﹣1
4．（5分）点（2，1）到直线3x﹣4y+2＝0的距离是（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）直线l1，l2，l3，l4的图象如图所示，斜率最大的直线是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
6．（5分）已知直线l经过点（2，﹣），（3，0），则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在等比数列{an}中，a3＝6，a4＝18，则a1+a2等于（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，则该塔中间一层有（ ）盏灯．
A．24B．48C．12D．60
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错的得0分。
（多选）9．（5分）下列关于等差数列{an}单调性的结论正确的是（ ）
A．若数列{an}是递增数列，则公差d＞0
B．若公差d≠0，则数列{an}一定是递增数列或者递减数列
C．若a1＞a2＞a3，则数列{an}是递减数列
D．若a2＜a4＜a6，则数列{an}是递增数列
（多选）10．（5分）已知等差数列{an}：11、8、5、⋯，则（ ）
A．公差d＝﹣3
B．该数列的通项公式为an＝﹣3n+16
C．数列的前10项和为﹣25
D．﹣49是该数列的第21项
（多选）11．（5分）已知A（m，3），B（2m，m+4），C（m+1，2），D（1，0），若直线AB与直线CD平行，则m的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
（多选）12．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．{an}是递增数列
B．a10＝﹣14
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知三个数19，5x，31是等差数列 ．
14．（5分）若数列{an}中，a1＝3，且an+1＝an+5，则其通项公式an＝ ．
15．（5分）若直线l1：ax+3y﹣3＝0与直线l2：﹣2x+y﹣2＝0平行，则a＝ ．
16．（5分）已知两条直线l1：ax+3y﹣3＝0，l2：2x+6y+1＝0，若l1∥l2，则直线l1与l2之间的距离d＝ ．
四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）已知直线l的方程是
（1）求直线l的斜率和倾斜角
（2）求过点且与直线l平行的直线的方程．
18．（12分）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0）．
（1）求边AB所在直线的方程；
（2）求边AC上的中线BD所在直线的方程．
19．（12分）在等比数列{an}中，
（1）已知a1＝3，a3＝27，求an；
（2）已知a2+a5＝18，a3+a6＝9，an＝1，求n．
20．（12分）直线l1：x+2y﹣11＝0与直线l2：2x+y﹣10＝0相交于点P，直线l经过点P．
（1）若直线l⊥l2，求直线l的方程；
（2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
21．（12分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3＝17，S7＝98．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn的最大值．
22．（12分）已知{an}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
（1）求通项an及Sn；
（2）设{bn﹣an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
2023-2024学年甘肃省兰州市城关区新亚中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共计8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）直线y﹣x﹣1＝0的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角．
【解答】解：因为直线y﹣x﹣1＝0的倾斜率为4，
设直线的倾斜角为α，0°≤α＜180°，
所以tanα＝1，可得α＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题．
2．（5分）76是等差数列4，7，10，13（ ）项．
A．25B．26C．27D．28
【分析】先求出该等差数列的通项公式，再代入76，即可得到答案．
【解答】解：设该等差数列为{an}，
由题意可知，首项为4，
则an＝4+7（n﹣1）＝3n+3，
故76＝3n+1，
得n＝25．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）在等比数列{an}中，各项均为正数，且a1＝，q＝2，则a4与a6的等比中项是（ ）
A．2B．±4C．1D．﹣1
【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解．
【解答】解：等比数列{an}中，各项均为正数1＝，q＝2，
则a4＝5，a6＝8，
所以a6与a6的等比中项为±4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及性质的应用，属于基础题．
4．（5分）点（2，1）到直线3x﹣4y+2＝0的距离是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点（2，1）到直线5x﹣4y+2＝2的距离d＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
5．（5分）直线l1，l2，l3，l4的图象如图所示，斜率最大的直线是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系，由图直接判断出斜率最大的直线．
【解答】解：由图知直线l1，l2的斜率为负值，
直线l7，l4的斜率为正，倾斜角为锐角，
而直线l3的倾斜角比l8的倾斜角大，所以直线l3的斜率较大．
故选：C．
【点评】本题考查直线的斜率的大小比较，属于基础题．
6．（5分）已知直线l经过点（2，﹣），（3，0），则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
【解答】解：直线l经过点（2，﹣），（2，
所以直线的斜率为＝，
设直线的倾斜角为α，α∈[8，
即tanα＝，
所以α＝．
故选：B．
【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系的应用，属于基础题．
7．（5分）在等比数列{an}中，a3＝6，a4＝18，则a1+a2等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，结合等比数列的通项公式可得q＝＝3，进而可得a1与a2的值，相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
又由a3＝6，a4＝18，则q＝，
则a4＝＝，a2＝＝2，
则a1+a8＝2+＝；
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，关键是求出q的值，属于基础题．
8．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，则该塔中间一层有（ ）盏灯．
A．24B．48C．12D．60
【分析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，设首项为a，则，解得a，利用通项公式即可得出．
【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，
设首项为a，则，解之得a＝3，
则该塔中间一层灯盏数有3×53＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错的得0分。
（多选）9．（5分）下列关于等差数列{an}单调性的结论正确的是（ ）
A．若数列{an}是递增数列，则公差d＞0
B．若公差d≠0，则数列{an}一定是递增数列或者递减数列
C．若a1＞a2＞a3，则数列{an}是递减数列
D．若a2＜a4＜a6，则数列{an}是递增数列
【分析】由已知结合等差数列的单调性即可判断．
【解答】解：若数列{an}是递增数列，则公差d＞0；
若公差d≠0，则d＞5时n}一定是递增数列，
则d＜0时，数列{an}一定是递减数列，B正确；
若a1＞a5＞a3，则d＜0，即数列{an}是递减数列，C正确；
a6＜a4＜a6，则3d＞0，即d＞0n}是递增数列，D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题主要考查了等差数列的单调性的判断，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知等差数列{an}：11、8、5、⋯，则（ ）
A．公差d＝﹣3
B．该数列的通项公式为an＝﹣3n+16
C．数列的前10项和为﹣25
D．﹣49是该数列的第21项
【分析】求出等差数列{an}的公差，可求出该数列的通项公式，可判断ABD选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项．
【解答】解：对于A选项，等差数列{an}的公差为d＝8﹣11＝﹣3，故A对；
对于B选项，该数列的通项公式为an＝11﹣2（n﹣1）＝﹣3n+14，故B错；
对于C选项，数列{an}的前10项和为，故C对；
对于D选项，由an＝﹣2n+14＝﹣49，解得n＝21．
故选：ACD．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（5分）已知A（m，3），B（2m，m+4），C（m+1，2），D（1，0），若直线AB与直线CD平行，则m的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，并分类讨论，即可求解．
【解答】解：当m＝0时，直线AB的方程为x＝0，满足直线AB与直线CD平行，
当m≠6时，kAB＝kCD，即，解得m＝1，
综上所述，m的值可能为5或1．
故选：AB．
【点评】本题主要考查直线的平行，属于基础题．
（多选）12．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．{an}是递增数列
B．a10＝﹣14
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
【分析】根据Sn表达式及n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1的关系，算出数列{an}通项公式，即可判断A、B、C选项的正误，结合二次函数的性质，可判断D的正误．
【解答】解：当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣7n+8，又a1＝S7＝6＝﹣2×8+8，
所以an＝﹣2n+2，则{an}是递减数列，故A错误；
a10＝﹣12，故B错误；
当n＞4时，an＝8﹣7n＜0，故C正确；
因为的对称轴为，
而n是正整数，且n＝4或4距离对称轴一样远，
所以当n＝3或3时，Sn取得最大值，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了数列的递推式和等差数列的前n项和公式，属于基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知三个数19，5x，31是等差数列 5 ．
【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解．
【解答】解：因为三个数19，5x，
所以10x＝19+31＝50，即x＝5．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
14．（5分）若数列{an}中，a1＝3，且an+1＝an+5，则其通项公式an＝ 5n﹣2 ．
【分析】由已知结合等差数列的定义及通项公式即可求解．
【解答】解：因为数列{an}中，a1＝3，且an+6＝an+5，
即an+1﹣an＝8，
所以数列{an}是以3为首项，以5为公差的等差数列，
则其通项公式an＝7+5（n﹣1）＝3n﹣2．
故答案为：5n﹣6．
【点评】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础题．
15．（5分）若直线l1：ax+3y﹣3＝0与直线l2：﹣2x+y﹣2＝0平行，则a＝ ﹣6 ．
【分析】由两条直线平行的充要条件列出等式，可得a的值．
【解答】解：因为直线l1：ax+3y﹣3＝0与直线l2：﹣2x+y﹣2＝0平行，
所以＝≠，
解得a＝﹣6．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
16．（5分）已知两条直线l1：ax+3y﹣3＝0，l2：2x+6y+1＝0，若l1∥l2，则直线l1与l2之间的距离d＝ ．
【分析】首先利用两直线的平行关系求出a的值，进一步利用量平行线间的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：由于两条直线l1：ax+3y﹣3＝0，l2：4x+6y+1＝5，若l1∥l2，
则a＝3；
所以x+3y﹣3＝7，l2：2x+8y+1＝0，
所以两直线的距离d＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）已知直线l的方程是
（1）求直线l的斜率和倾斜角
（2）求过点且与直线l平行的直线的方程．
【分析】（1）根据正弦方程求出直线的斜率和倾斜角即可；（2）先求出直线的斜率，代入点斜式方程即可求出直线的方程．
【解答】解：（1）已知直线l的方程是，
即：y＝x+1，
∴直线l的斜率k＝，倾斜角是；
（2）过点且与直线l平行的直线的斜率是，
其直线方程是：y+1＝（x﹣），
即x﹣y﹣4＝0．
【点评】本题考查了直线的斜率和倾斜角以及求直线方程问题，是一道基础题．
18．（12分）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0）．
（1）求边AB所在直线的方程；
（2）求边AC上的中线BD所在直线的方程．
【分析】（1）直接由两点式求边AB所在直线的方程；
（2）求出点D的坐标为（﹣4，2），再利用两点式求中线BD所在直线的方程．
【解答】解：（1）由两点式得边AB所在直线的方程为，即x+y﹣4＝0；
（2）由题意，得点D的坐标为（﹣2，
由两点式，得BD所在直线的方程为．
【点评】本题考查直线的两点式方程，属于基础题．
19．（12分）在等比数列{an}中，
（1）已知a1＝3，a3＝27，求an；
（2）已知a2+a5＝18，a3+a6＝9，an＝1，求n．
【分析】（1）已知等比数列的通项公式an＝代入a1，a3，求出q，最后求出an；
（2）已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出a1，q，由an＝1，求n．
【解答】解：（1）设公比为q，则，所以27＝3q2，
解得q＝±7，或；
（2）设公比为q，由题意得：，
两式相除得：，所以a1＝32，
又因为an＝1，所以6﹣n＝22，解得n＝6．
【点评】本题考查等比数列的基本量的运算，属于基础题．
20．（12分）直线l1：x+2y﹣11＝0与直线l2：2x+y﹣10＝0相交于点P，直线l经过点P．
（1）若直线l⊥l2，求直线l的方程；
（2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
【分析】（1）联立，解得交点P，根据l⊥l2，不妨设直线l的方程为x﹣2y+λ＝0，将点P坐标代入上述方程解得λ，即可得出直线l的方程．
（2）分类讨论：当直线l经过坐标原点时，直接得出直线l的方程；当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，将点P（3，4）代入解得a，即可得出直线l的方程．
【解答】解：（1）联立，解得，4）．
∵l⊥l2，不妨设直线l的方程为x﹣8y+λ＝0，
将点P（3，8）代入x﹣2y+λ＝0，
∴直线l的方程为x﹣3y+5＝0．
（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是；
当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，
将点P（8，4）代入，
∴直线l的方程为，即x+y﹣5＝0．
综上所述，直线l的方程是4x﹣8y＝0或x+y﹣7＝5．
【点评】本题考查了直线的位置关系、直线的方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
21．（12分）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3＝17，S7＝98．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn的最大值．
【分析】（1）由已知结合等差数列的性质及求和公式先求出a4，进而可求公差d，然后结合通项公式可求；
（2）先求出等差数列的和，然后结合二次函数的性质可求．
【解答】解：（1）因为{an}是等差数列，设公差为d，
因为a3＝17，S7＝＝7a4＝98
所以a4＝14，
由d＝a4﹣a3＝﹣7，
所以an＝a3+（n﹣3）d＝17﹣5（n﹣3）＝﹣3n+26；
（2）易知Sn＝＝＝，
当n＝8时，Sn取得最大值S8＝100．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了等差数列的性质，属于中档题．
22．（12分）已知{an}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
（1）求通项an及Sn；
（2）设{bn﹣an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
【分析】（1）直接代入等差数列的通项公式及前n项和公式可求an及Sn
（2））利用等比数列的通项公式可求bn﹣an，结合（1）中的an代入可求bn，利用分组求和及等比数列的前n项和公式可求
【解答】解：（1）因为an是首项为a1＝19，公差d＝﹣2的等差数列，
所以an＝19﹣2（n﹣1）＝﹣2n+21，
．
（2）由题意bn﹣an＝3n﹣1，所以bn＝an+5n﹣1，＝21﹣2n+3n﹣1
Tn＝Sn+（1+6+32+…+4n﹣1）
＝．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，等比数列的通项公式，分组求和及等比数列的求和公式等知识的简单运用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/11 15:23:25；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359