高中数学2.3.1 圆的标准方程教学ppt课件

这是一份高中数学2.3.1 圆的标准方程教学ppt课件，共20页。

圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合；定 点：圆心C(确定圆的位置);定 长：半径r(确定圆的大小);
平面直角坐标系中：如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了；
1.通过具体实例，推导并理解圆的标准方程；2.能根据圆心和半径写出圆的标准方程，判断点与圆的位置关系； 3.会用待定系数法和几何法求圆的标准方程。
问题1:设平面直角坐标系中的OC 的圆心坐标为C(,b), 半 径 为r(r>0):(1)若C(1,2),r=2, 判断点A(3,2) 是否在圆上；因为 CA= √ (3-1)²+(2-2)²=2, 所以点A在OC 上.(2)若C(1,2),r=2, 设M(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，那么点M
在OC 上的充要条件是什么?由圆的定义知，M(x,y) 在OC 上的充要条件是|CM|=2.即 √(x-1)²+(y-2)²=2也 即 (x=D²+(y-2)²=4 _
知 识 点 一 ： 圆 的 标 准 方 程
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(3)设M(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，那么点M 在OC 上的充要条件是 什 么 ?同理，点M(x,y) 在OC 上的充要条件是|CM|=r.即 √ (x-a²+(y-b)²=r也即 (x-a)²+(y-b)²=r²
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圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r², 圆心C(a,b), 半 径r.(1)若点M(x,y) 在OC 上，点M的坐标就满足方程；
(2)若点M坐标(x,y) 满足方程，得|CM|=r, 则点M在OC 上；思考2:圆心在坐标原点，半径为r 的圆的标准方程是什么?
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点M(x,y) 在OC 上 |CM|=r点M(x,y) 满足方程 (x-a)²+(y-b)²=r²
设平面直角坐标系中的OC 的圆心坐标为C(a,b), 半 径 为r(r>0):
例 1 根据下列条件，求出圆的标准方程：(1)圆心在C(-2,1), 且 过 点 A(2,-2);解：所求圆的半径r=CA=√(2+2)²+(-2-1)²=5,又因为圆心是C(-2,1),所以圆的标准方程为
(x+2)²+(y-1)²=25
(2)过(0,1)和点(2,1),半径为 √5;解：设圆心为C(a,b), 则圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=5 因为点(0,1)和点(2,1)在圆上，所以
(x-1)²+(y+1)²=5, 或(x-1)²+(y-3)²=5.
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问题3:点A(1,1),B(4,0),C(√2,√2)所示，则|OA|, |OB|, |OC| 同圆的半径r=2圆心坐标(0,0),则|OAl=√(1-0)²+(1-0)²=√2<2, |OB=√(4-0)²+(0-0)²=4>2, OC=√(√2-0)²+(√2-0)²=2=2.
思考3:结合上述实例，说说该如何判断点M(x ₀,y₀ )与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系?
知识点二：点与圆的位置关系
同圆x²+y²=4 的关系如图
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点M(x₀,y₀) 与圆C:(x—a)²+(y-b)²=r² 的位置关系：
1.点P(1,3) 与圆x²+y²=24的位置关系是( B )A.在圆外 B. 在圆内C.在圆上 D. 不确定
知识点三：多种方法求圆的标准方程例2 如图所示，设OC的圆心C在直线l:2x-7y+8=0 上，且A(6,0), B(1,5) 都是OC 上的点，求圆的标准方程.解：(方法一)待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²
由题意得 解得因此，圆的标准方程为(x-3)²+(y-2)²=13.
分 析：由于圆过A,B 两点，故圆心在线段AB的垂直平分线m上.即圆心C 为 直线l与直线m的交点.
(方法二):几何法：设线段AB 的垂直分线为 故km=1. 线段AB的中点坐为 直线m的方程为 即x-y-1=0因此，圆心C 满足 解得即圆心为C(3,2).圆的半径 r=CA=√(6-3)²+(0-2)²=√ 13.
故圆的标准方程为(x-3)²+(y-2)²=13.
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设所求圆的方程为(x-a)²+( =I由已知条件，建立关于a,b,r的方程组解方程组，求出a,b.将a,b,r 代入所设方程，得所求圆的方程
设方程列方程组解方程组得方程
(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程.
(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
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例 3 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱 桥.如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，现测得赵州桥的跨度a 和圆拱高b, 试用a,b 表示出赵州桥圆弧所在圆的半径.
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解：作出示意图如图所示，其中AB 表示跨度，O 为AB中 点 ，OC 为 拱 高 ，D 为圆心 .由垂径定理知，CD⊥AB, 故
DA²=AO²+DO², 即 3
方法2:作出示意图如图所示，其中AB 表示跨度，O 为AB 中 点 ，OC 为拱高.以O为 点 ，AB所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.根据已知有 ,C(0,b) 在圆上，且圆心在y轴上.
设圆心D(0,t), 半径为r, 因 为B,C 都在圆上，