人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量教学课件ppt

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[课标解读]1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量 与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面、平面与平面垂直与 平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的 判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用.
教材要点知识点一平面的法向量及其应用1.平面的法向量：如果向量n的基线与平面α垂 直 ,则向量n叫 做平面α的法向量或说向量n与平面α正交.2.平面的向量表示式：设A是空间任一 点，n 为空间内任一非零向量，用AM·n=0 表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这 个式子通常称为一个平面的向量表示式.3.两个平面平行或垂直的判断：设n₁,n₂ 分别是平面α,β的法向量， 则a//β 或α与β重合→ n₁//n,;α⊥β→ n₁Ln₂ 一 n₁n₂=0
状元随笔平面的法向量有何作用?是否唯一?[ 提 示 ] 平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的 法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系.平面的法向量 不唯一，它们都是共线的.
知识点二三垂线定理及其逆定理1.射影：①已知平面α和一点A, 过点A作α的_垂 线l 与平面α相 交于点A', 则 A'就是点A在平面α内的正 射 影，简称射影 .②图形F上所有的点_在平面α内的 射影 所成的集合F , 叫做图形 F在平面α内的射影.2.三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个 平面内的 射影垂直，则它也和这条斜线垂直.3.三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的 一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
基础自测1 . 直线l的方向向量s= (一1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x²+x, —x), 若直线l// 平面a, 则x的值为( )A. 2 B. √2C.√2 D.±√2答案：D解析：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故一 1×2+1×(x² +x)+1× ( 一x)=0, 解得x=±√2.
2.设平面α的法向量的坐标为(1,2,一2),平面β的法向量的坐标 为( 一 2, 一4,k). 若α//β,则k等于( )A.2 B.—4C.4 D.—2答案：C解析：因为a//β, 所 人 所 以k=4.
3. 已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4), 则该平面的一个法向量为( )A.(1,—1,1)B.(2,—1,1)C. ( 一 2 , 1 , 1 ) D. (—1,1,—1)答案：C解 析： 显 然a 与b 不平行，设平面的法向量为n=(x,y,z), 则 有令z=1, 得x=—2,y=1,∴n= (一2,1,1).
4. 设u= ( 一 2 , 2 ,t),v=(6,—4,4) 分别是平面α,β的法向量 . 若α⊥β,则t=( )A.3 B.4C.5 D.6答案：C解析：∵a⊥β, 则u.v=—2×6+2× (一4)+4t=0,∴t=5.
题型1 求平面的法向量例1如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为 矩 形 ，PA⊥ 平面 ABCD,E 为PD的中点 .AB=AP=1,AD=√3, 试建立恰当的空间直 角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
状元随笔平面的法向量有何特点?[提示]设向量n是平面α的一个法向量.则：(1)n是一个非零向量.(2)向量n与平面α垂直.(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n 平行，方向相同或相 反.(4)给定空间中任意一点A和非零向量n, 可确定唯一一个过点A且垂 直于向量n的平面.
设平面的法向量为n=(x,y,z)在平面内选取两不共线向量AB,AC等式解由 得出的方程组取其中一个为非零值(常取±1)得到平面的一个法向量
方法归纳利用待定系数法求法向量的解题步骤
设向量选向量列方程组解方程组赋非零值得结论
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求平面 的一个法向量n.解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),C(O,1,0),D₁ (0,0, 1).
设平面ACD₁ 的法向量n=(x,y,z). ∵AC=(-1,1,0),AD₁=(-1,0,1),.化简，得令x=1, 得y=z=1.∴平面ACD₁的一个法向量n=(1,1,1).
又∵n为平面ACD₁的一个法向量，
题型2利用法向量证明空间中的位置关系例2 如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F,M 分别为棱BB₁,CD,AA₁ 的中点.
B(1)证明：C₁M// 平面ADE;
题型2利用法向量证明空间中的位置关系例2 如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ BB₁,CD,AA₁ 的中点.(2)平面ADE⊥平面A₁D₁F.证明：由D₁(0,0,1),A₁(1,0,1),F(0, ,0),得D₁A₁=(1,0,0),DF=(0,¹,-1),设平面A₁D₁F的法向量为n=(x,y,z),则令y=2, 则n=(0,2,1).∴mLn.∴平面ADE⊥平面A₁D₁F.
中 ，E,F,M 分别为棱
∵m n=(0,—1,2) (0,2,1)=0—2+2=0,
状元随笔建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面A₁D₁F的法 向量求解.
方法归纳利用空间向量证明平行、垂直问题的常用思路
线面 平行面面 平行 线面 垂直 面面 垂直
跟踪训练2 (1)如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD₁的中点 . 设Q是CC₁上的点 . 当点Q在什么位置时， BQ//平面PAO?
(2)本题若把 “Q 是CC₁ 上的点”改为 “Q 是CC₁的中点”,其他条件不变， 求证：平面D₁BQ// 平面PAO.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2,则O(1,1,0), A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D₁(0,0,2),Q(0,2,1),所以0A=(1,—1,0),OP=(-1,—1,1),BQ=(-2,0,1),BD₁= (一2, —2,2).
所以平面PAO 的一个法向量为n₁=(1,1,2).同理可求平面D₁BQ的一个法向量为n₂=(1,1,2),因为n₁=n₂, 所以n₁//n₂,所以平面D₁BQ// 平面PAO.
设平面PAO的法向量为n₁=(x,y,z),
令x=1, 则y=1,z=2.
题型3 三垂线定理及逆定理的应用例3 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：A₁C⊥平面BDC₁ .
方法归纳利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线 垂直，本题在证明线线垂直时，应用到了三垂线定理及其逆定理.
证明：连接AG, ∴Rt△ACC₁ORt△MC₁A₁,∠AC₁C=∠MA₁C₁,∴∠A₁MC₁+∠AC₁C=∠A₁MC₁+∠MA₁C₁=90°, ∴A₁M⊥AC₁ .∵ABC—A₁B₁C₁ 为直三棱柱，∴B₁C₁ ⊥CC₁ . 又∵B₁C₁⊥A₁C₁,A₁C₁n CC₁=C₁,∴B₁C₁⊥平面AC₁, 由三垂线定理知，AB₁⊥A₁M.
跟踪训练3 如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，∠ACB=90°, ∠BAC=30°,BC=1,AA₁=√6,M 是CC₁中点，求证：AB₁⊥A₁M.