初中人教版（2024）11.1.1 三角形的边课堂教学课件ppt

这是一份初中人教版（2024）11.1.1 三角形的边课堂教学课件ppt，共60页。

　如图所示,在△ABC中,点D,E分别在BC、AB上,AD交CE于 点F.(1)图中有几个三角形?把它们一一写出来;(2)写出含有∠ADC的三角形;(3)在△ACF中,写出∠ACF所对的边;(4)以线段BC为边的三角形有哪些? 
(1)题图中有8个三角形,分别是△AEF,△ABD,△AEC,△ABC, △AFC,△ACD,△CDF,△BCE.(2)含有∠ADC的三角形有△ACD,△CDF.(3)在△ACF中,∠ACF所对的边是AF.(4)以线段BC为边的三角形有△ABC,△BCE.
数三角形个数的方法:(1)按图形形成的过程(即三角形形成的先后顺序)去数.(2)从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数.如本题以线段 AB为边的三角形有△ABD,△ABC.(3)先固定一个顶点,变换另两个顶点去数.如本题先固定顶点A, 变换另两点构成的边分别有EF,CF,CE,BD,CD,BC,所以以A为顶 点共有6个三角形,注意无论采用哪种方法,数三角形的个数时要 做到不重不漏.
1.按“有几条边相等”分类三角形  
2.按“三个内角的大小”分类
　根据下列所给条件,判断△ABC的形状.(1)∠A=45°,∠B=65°,∠C=70°;(2)∠C=110°;(3)∠C=90°;(4)AB=BC=3,AC=4.
解:(1)因为∠A=45°,∠B=65°,∠C=70°,所以∠A<∠B<∠C<90°,所以△ABC是锐角三角形.(2)因为∠C=110°>90°,所以△ABC是钝角三角形.(3)因为∠C=90°,所以△ABC是直角三角形.(4)因为AB=BC=3,AC=4,所以△ABC是等腰三角形.
　若2和8是一个三角形的两边长,且第三边长为偶数,则该三 角形的周长为 (　    )A.20　　　　     或19　　　　    D.18或20
设第三边长为x,根据三角形的三边关系,得8-2·教材知识全解知识点1 三角形的高、中线与角平分线　知识点2 三角形的稳定性　·易错易混全解
11.1　与三角形有关的线段11.1.2　三角形的高、中线与角平分线11.1.3　三角形的稳定性
1.三角形的高(1)定义:从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线,顶 点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高.几何语言:如图,①AD是△ABC的边BC上的高;②AD⊥BC于点D.
 (2)三角形的高的画法:用三角板过三角形的某一顶点向其对边或 对边所在直线画垂线,交对边或对边的延长线于一点,所得的垂 线段就是这条边上的高.
三角形的高分如下三种情况:(1)如图①,锐角三角形的三条高都在三角形内部,三条高的交点在三角形内部;(2)如图②,直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,三条高的交点为直角顶点;(3)如图③,钝角三角形有两条高在三角形外部,另一条高在三角形内部,三条高没有交点,但三条高所在的直线交于三角形外一点.
2.三角形的中线(1)定义:连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点,所得线段 叫做三角形的这条边上的中线.几何语言:如图,①AD是△ABC的边BC上的中线;②点D是边BC的 中点;③BD=DC= BC.
(2)三角形的重心:如图,三角形的三条中线相交于一点.三角形三 条中线的交点叫做三角形的重心. 
3.三角形的角平分线定义:在三角形中,一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个 角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.几何语言:如图,①AD是△ABC的角平分线;②AD平分∠BAC,交 BC于点D;③∠1=∠2= ∠BAC. 
　如图,已知△ABC,按要求画图.(1)画出△ABC的角平分线BD,并指出相等的角;(2)画出△ABC的边BC上的中线AE,并指出相等的线段;(3)在(2)的基础上,若△ACE的周长比△ABE的周长多3 cm,AB=8 cm,求边AC的长;(4)在(1)和(2)的基础上画出△ABC的边BC上的高,并指出图中所有的直角三角形.
(1)如图,BD是△ABC的角平分线,∠ABD=∠CBD.(2)如图,AE是边BC上的中线,BE=CE.(3)由(2)知BE=CE.∵△ACE的周长=AC+CE+AE,△ABE的周长=AB+BE+AE,△ACE 的周长比△ABE的周长多3 cm,∴△ACE的周长-△ABE的周长=(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC- AB=3 cm.∵AB=8 cm,∴AC=8+3=11(cm).
(4)如图,过点A作AF⊥CB,交CB的延长线于点F,则线段AF为边BC 上的高.∵AF⊥CF,∴∠AFC=90°,∴图中的直角三角形有△AFB,△AFE和△AFC. 
　小明用7根木条钉成一个七边形的木架,他为了使该木架稳 固,想在其中加上4根木条,请在下面的三个图中画出你的三种作 法. 
如图所示(答案不唯一). 
　作△ABC的边BC上的高AD,下列作法正确的是 (　    )  A B C D
正确画出三角形的高要掌握好以下两点:(1)“高”与顶点的对边所在直线垂直;(2)“高”的一个端点是原三角形的顶点,另一个端点是垂足.
·教材知识全解知识点1 三角形内角和定理知识点2 直角三角形的性质与判定　
11.2　与三角形有关的角11.2.1　三角形的内角
1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.2.三角形内角和定理的证明思路
　如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=54°,AE是BC边上的高,AD 是∠BAC的平分线,求∠DAE的度数. 
解:在△ABC中,∵∠B=38°,∠C=54°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-38°-54°=88°,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAC= ∠BAC= ×88°=44°,∵AE是BC边上的高,∴∠AEC=90°,∴∠EAC=180°-∠AEC-∠C=36°,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=44°-36°=8°.
　如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACD=∠B.求证:△CDB是直角三角形. 
证明    证法一:∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠DCB=90°.∵∠ACD=∠B,∴∠B+∠DCB=90°,∴△CDB是直角三角形.证法二:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.又∵∠ACD=∠B,∴∠ACD+∠A=90°,∴∠ADC=90°,∴∠CDB=90°,∴△CDB是直角三角形.
直角三角形的三种判定方法:(1)证明三角形中有一个内角为90°(或证明三角形的两条边互相 垂直);(2)证明三角形中有两个内角互余;(3)证明三角形中有一个内角与已知的直角相等.
  如图,AD是△ABC的边BC上的高,BE平分∠ABC交AD于点E.若∠C=76°,∠BED=64°,求∠BAC的度数. 
解:∵AD是△ABC的边BC上的高,∴∠ADC=∠BDE=90°.∵∠C=76°,∴∠DAC=90°-∠C=14°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBD,∵∠BED=64°,∴∠ABE=∠EBD=90°-∠BED=26°,∴∠BAE=90°-∠ABE-∠EBD=38°,∴∠BAC=∠BAE+∠DAC=38°+14°=52°.
　在△ABC中,BD是AC边上的高,∠ABD=30°,求∠BAC的度 数.
解:分两种情况讨论:(1)当∠BAC为锐角时,如图①所示,∵BD是AC边上的高,∴∠ADB=90°,∴∠BAC=90°-∠ABD=90°-30°=60°. 
(2)当∠BAC为钝角时,如图②所示,∵BD是AC边上的高,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-30°=60°,∴∠BAC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.∴∠BAC的度数为60°或120°.
根据题意画图时,容易漏掉∠BAC为钝角这种情况.有些几何题目只有文字描述而没有图形,存在不同情形,所以根据题意画图时要注意全面考虑,避免漏解.
·教材知识全解知识点1 三角形的外角知识点2 三角形外角的性质　
11.2　与三角形有关的角11.2.2　三角形的外角
三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角, 叫做三角形的外角.如图所示,∠ACD是△ABC的一个外角. 
三角形的每一个顶点处都有且只有两个外角,这两个外角是对顶角,一个三角形共有六个外角,一个三角形的内角的对顶角不是这个三角形的外角.
　如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延 长线于点E.若∠B=30°,∠ACB=40°,求∠E的度数. 
解:∵∠ACB=40°,∴∠ACD=180°-40°=140°,∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,∴∠ECD= ∠ACD=70°,∴∠E=∠ECD-∠B=70°-30°=40°.
11.3　多边形及其内角和
·教材知识全解知识点1 多边形及其相关概念知识点2 多边形的内角和知识点3 多边形的外角和·核心素养全解
　下列选项中的图形,不是凸多边形的是 (　    ) 
解:根据凸多边形的概念可知选项A中的图形不是凸多边形.故选A.
　如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数. 
连接BE,设DE与BC的交点为M,如图.
在△CDM与△BEM中,∠CMD=∠BME,∴∠C+∠D=∠MBE+∠MEB,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABC+∠MBE+∠MEB+∠DEF+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°.
　一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和 为2 520°,则原多边形的边数是 (　    )A.17　    B.16　    C.15　    D.15或16或17
多边形的内角和可以表示成(n-2)·180°(n≥3且n是整数),一个 多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不 变或减少了一条,根据(n-2)·180°=2 520°,解得n=16,则多边形的边 数是15或16或17.故选D.
多边形截去一个角的三种情况:(1)过多边形的一条对角线截去一个角,则新多边形的边数比原多边形的边数少1,如图①;(2)只过多边形的一个顶点截去一个角,则新多边形的边数与原多边形的边数相同,如图②;(3)不过多边形的顶点截去一个角,则新多边形的边数比原多边形的边数多1,如图③.
    (2023北京海淀期中)如图,小明从A点出发,沿直线前进1米 后左转30°,再沿直线前进1米,又向左转30°,……,照这样走下去, 他第一次回到出发地A点时,一共走了 (　    ) A.10米　　　　    B.12米C.16米　　　　    D.20米
小明从A点出发,第一次回到出发地A点时,所走的路线是正多 边形,∵正多边形的每个外角是30°,∴正多边形的边数是360°÷30°=12,∴他第一次回到出发地A点时,一共走了1×12=12(米),故选B.
    (2022河北中考)如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设 △ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是 (　    ) 　　    
A.α-β=0　　B.α-β<0 C.α-β>0　　   D.无法比较α与β的大小
∵任意多边形的外角和为360°,∴α=β=360°.∴α-β=0.故选A.
模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.知道数学建模是数学与现实联系的基本途径;初步感知数学建模的基本过程,从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义.这就是模型观念的素养.
把所研究数学问题中的已知量与未知量之间的等量关系转化为方程(组),从而达到解决数学问题目的的思维方法称为构建方程 模型.
　如图,∠CDM,∠FCA为△ACD的两个外角,射线DE、CG 分别平分∠CDM、∠FCA,CG交DA的延长线于点G,DE交AC的 延长线于点E,∠E=∠1,∠G=∠2,求∠ACD的度数. 
分析    设∠G=x,根据三角形外角的性质表示出∠2、∠EDM、∠CDM, 根据平角的定义计算即可.