人教版（2024）八年级上册12.3 角的平分线的性质精练

这是一份人教版（2024）八年级上册12.3 角的平分线的性质精练，共11页。试卷主要包含了3　角的平分线的性质等内容，欢迎下载使用。

基础过关全练
知识点1 作已知角的平分线
1.用尺规作已知角的平分线如图所示,则∠CAD=∠DAB的依据是 ( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
2.【尺规作图】分别画出图1、图2中∠AOB的平分线.
图1 图2
知识点2 角平分线的性质
3.OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,下列结论错误的是 ( )
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
4.OP平分∠AOB,PD⊥OA,点E在射线OB上,若PD=3,则PE的最小值 ( )
A.等于3 B.大于3
C.小于3 D.无法确定
5.如图,D是∠ABC平分线上的一点,DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,连接EF,交BD于点O.已知∠EDF=120°,则∠DEF的度数为 ( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=7,则AC的长是( )
A.3 B.4 C.6 D.5
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD是△ABC的角平分线,BC=10 cm,BD∶DC=3∶2,则点D到AB的距离为 .
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求证:BD=DF
9.(2023安徽合肥四十五中月考)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD⊥AB,BD平分∠ABC交AD于D点,交AC于E点.
(1)求证:∠ADE=∠AED;
(2)若AB=6,CE=2,求△ABE的面积.
知识点3 角平分线的判定
10.如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列条件中:①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的平分线的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,连接BD,∠ABD=35°,BD⊥CD,过点D作DP⊥BC于点P,若AD=PD,则∠C的度数为 .
知识点4 证明几何文字命题的一般步骤
12.求证:三角形的互为同旁内角的两个外角的平分线的交点到三角形三边(或所在直线)的距离相等.
能力提升全练
13.(2020湖南怀化中考,7,★☆☆)在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为点E,若BD=3,则DE的长为( )
A.3 B.32 C.2 D.6
14.(2023江苏徐州期末,7,★★☆)如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC交CD于点E,BC=10,DE=3,则△BCE的面积等于( )
A.9 B.13 C.15 D.30
15.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,BC=3,连接AC,AC⊥CD,并且∠ACB=∠D,点E是AD边上一动点,则CE的最小值是 ( )
A.1.5 B.3 C.3.5 D.4
16.【构造法】(2019浙江湖州中考,8,★★☆)如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是( )
A.24 B.30 C.36 D.42
17.(2022北京中考,14,★☆☆)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.若AC=2,DE=1,则S△ACD=
18.(★★☆)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=6 cm,则△DEB的周长为 .
19.(2021天津南开田家炳中学期中,20,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA,交BA的延长线于点H.
(1)若PH=8 cm,求点P到直线BC的距离;
(2)求证:点P在∠HAC的平分线上.
素养探究全练
20.【推理能力】在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B、C重合),连接AD.
(1)如图①,当点D是BC边的中点时,S△ABD∶S△ACD= ;
(2)如图②,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ABD∶S△ACD(用含m,n的式子表示);
(3)如图③,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求S△ABC的值.
答案全解全析
基础过关全练
1.A 从角平分线的作法得出,△AFD与△AED的三边对应相等,则△AFD≌△AED(SSS),所以∠CAD=∠DAB.故选A.
2.解析 如图所示,射线OC即为角平分线.
3.B ∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD,
在Rt△OPC和Rt△OPD中,OP=OP,PC=PD,
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL),
∴OC=OD,∠CPO=∠DPO,
∴选项A、C、D正确,故选B.
4.A 过P点作PH⊥OB于H,如图,
∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PH⊥OB,
∴PH=PD=3,
∵点E是射线OB上的一个动点,
∴点E与点H重合时,PE有最小值,最小值为3.
故选A.
5.C ∵D是∠ABC平分线上的一点,DE⊥BC,DF⊥AB,∴DE=DF,
∵BD=BD,∴Rt△BDE≌Rt△BDF(HL),
∴∠BDE=∠BDF,
在△DEO与△DFO中,DE=DF,∠EDO=∠FDO,OD=OD,
∴△DEO≌△DFO(SAS),∴∠DEO=∠DFO,
∵∠EDF=120°,∴∠DEF=30°.故选C.
6.D 过点D作DF⊥AC于F,如图,
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DF=DE=4,
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC,∴12×4×7+12×4×AC=24,
∴AC=5,故选D.
7.答案 4 cm
解析 ∵BC=10 cm,BD∶DC=3∶2,∴DC=4 cm,
∵AD是△ABC的角平分线,∠ACB=90°,
∴点D到AB的距离等于DC的长,即点D到AB的距离为4 cm.故答案为4 cm.
8证明 ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE,
在△DCF和△DEB中,DC=DE,∠C=∠BED=90°,CF=EB,
∴△DCF≌△DEB(SAS),∴BD=DF.
9.解析 (1)证明:∵AD⊥AB,
∴∠DAB=90°,∴∠D+∠ABD=90°,
∵∠C=90°,∴∠CEB+∠CBE=90°,
∵BD平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴∠D=∠CEB,
∵∠CEB=∠AED,∴∠ADE=∠AED.
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,如图,
∵BD平分∠ABC,∠ACB=90°,∴EF=CE=2,
∵AB=6,∴△ABE的面积=12AB·EF=12×6×2=6.
10.D ∵∠AOC=∠BOC,
∴OC是∠AOB的平分线,故①符合题意;
∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴OC是∠AOB的平分线,故②符合题意;
在Rt△POD和Rt△POE中,OP=OP,OD=OE,
∴Rt△POD≌Rt△POE,∴∠AOC=∠BOC,
∴OC是∠AOB的平分线,故③符合题意;
在△DPO和△EPO中,∠ODP=∠OEP=90°,∠DPO=∠EPO,OP=OP,
∴△DPO≌△EPO,∴∠AOC=∠BOC,
∴OC是∠AOB的平分线,故④符合题意,故选D.
11.答案 55°
解析 ∵AD⊥AB,DP⊥BC,AD=PD,
∴BD是∠ABC的平分线,∴∠DBC=∠ABD=35°.
∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,
∴∠C=90°-∠DBC=90°-35°=55°.
12.证明 已知:如图,BD为△ABC的外角∠CBG的平分线,CE为△ABC的外角∠BCH的平分线,BD、CE相交于点P.
求证:点P到△ABC的三边(或所在直线)的距离相等.
证明:如图,过点P作PF⊥BC,PM⊥AG,PN⊥AH,垂足分别为F,M,N.
∵PF⊥BC,PM⊥AG,且BD平分∠CBG,∴PF=PM.
同理PF=PN,∴PF=PM=PN,
即点P到△ABC的三边(或所在直线)的距离相等.
能力提升全练
13.A ∵∠B=90°,∴DB⊥AB,
又∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,∴DE=BD=3,故选A.
14.C 过E作EF⊥BC于F,如图,
∵CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,
∴EF=DE=3,
∵BC=10,∴△BCE的面积=12BC·EF=15,故选C.
15.B 过点C作CH⊥AD于点H,如图所示,当点E运动到点H时,CE最短.
∵AC⊥DC,∴∠ACD=90°,
∵∠D+∠ACD+∠CAD=180°,∠ACB+∠B+∠BAC=180°,∠ACB=∠D,∠ACD=∠B=90°,
∴∠BAC=∠DAC,∴AC是∠BAD的平分线,
∵BC⊥BA,CH⊥AD,∴BC=CH,
∵BC=3,∴CH=3,∴CE的最小值为3,故选B.
16.B 过D作DH⊥AB交BA的延长线于H,如图,
∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12AB·DH+12BC·CD=12×6×4+
12×9×4=30,故选B.
17.答案 1
解析 如图,过D作DH⊥AC于点H,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DH=DE=1,
∴S△ACD=12AC·DH=12×2×1=1.
18.答案 6 cm
解析 ∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,
∴CD=DE,
在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE
+BE=AB,
∵AB=6 cm,∴△DEB的周长为6 cm.
19.解析 (1)过P作PQ⊥BE于Q,如图,
∵BP平分∠ABC,PH⊥AB,∴PQ=PH=8 cm,
即点P到直线BC的距离为8 cm.
(2)证明:∵CP平分∠ACE,PQ⊥BE,PD⊥AC,
∴PD=PQ,
∵PH=PQ,∴PD=PH,
∵PD⊥AC,PH⊥BH,∴点P在∠HAC的平分线上.
素养探究全练
20.解析 (1)如图,过A作AE⊥BC于E,
∵点D是BC边的中点,∴BD=DC,
∴S△ABD∶S△ACD=12BD·AE∶12CD·AE=1∶1.
(2)如图,过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∵AD为∠BAC的平分线,∴DE=DF,
∵AB=m,AC=n,
∴S△ABD∶S△ACD=12AB·DE∶12AC·DF=m∶n.
(3)∵AD=DE,∴由(1)知S△ABD∶S△BDE=1∶1,
∵S△BDE=6,∴S△ABD=6,
∵AC=2,AB=4,AD平分∠CAB,
∴由(2)知S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=4∶2=2∶1,
∴S△ACD=3,∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=3+6=9.