人教版（2024）八年级上册13.3.2 等边三角形巩固练习

这是一份人教版（2024）八年级上册13.3.2 等边三角形巩固练习，共16页。试卷主要包含了3　等腰三角形等内容，欢迎下载使用。

13.3.2 等边三角形
基础过关全练
知识点1 等边三角形的概念及性质
1.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,P为线段AE上任意一点.若∠DPE=80°,则∠PDE的度数为(M8113005)( )
A.20° B.40° C.60° D.100°
2.(2021江苏盐城东台期中)如图,等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O,则∠BOC= .
3.如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点,当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为 .
4.【教材变式·P93T13】如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE.(M8113005)
(1)求∠BDE的度数;
(2)求证:△CED为等腰三角形.
知识点2 等边三角形的判定
5.在△ABC中,AB=AC,添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是( )
A.∠A=60°
B.AC=BC
C.∠B的补角等于∠C的补角
D.AB边上的高也是AB边上的中线
6.由于木质衣架没有柔韧性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图,OA=OB=20 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,此时A,B两点之间的距离是 cm.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分∠ABD,AE∥BD交BE于E,则△ABE的周长是 .(M8113005)
8.(2022天津师大附中期末)等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,则△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.(M8113005)
知识点3 含30°角的直角三角形的性质
9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,则BD与BC的数量关系为( )
A.BC=2BD B.BC=3BD
C.BC=4BD D.BC=5BD
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2021广东广州现代学校期末)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为 .
12.【新独家原创】如图,校园内有一棵大树AB,大树旁边有一栋教学楼CD,且CD=6.6米,站在楼顶C处,测得点B的仰角为30°,点A的俯角为30°,AC=BC,AD∥EC,则大树AB的高度为 .
能力提升全练
13.(2022海南中考,9,★★☆)如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(M8113005)( )
A.80° B.100° C.120° D.140°
14.(2021湖南益阳中考,7,★★☆)如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(M8113005)( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
15.(2021广东广州中考,13,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E,连接BD.若CD=1,则AD的长为 .
16.(2020江苏常州中考,15,★★☆)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B= °.
17.(2023山东青岛联考,16,★★☆)如图所示的是某种落地灯的简易示意图,AB为立杆,BC为支杆,可绕点B旋转,DE为悬杆,滑动悬杆可调节CD的长度.为了使落地灯更方便学习时的照明,小唯将该落地灯进行了调整,使悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等,且∠BCE=120°.若CD的长为50 cm,则此时B,D两点之间的距离为
cm.
18.(2022江西临川一中期中,21,★★☆)在等边三角形ABC中,点E在AB边上,点D在CB的延长线上,且DE=EC.(M8113005)
(1)如图1,当E为AB的中点时,求证:BC=2BD;
(2)如图2,若AB=12,AE=2,求CD的长.

图1 图2
19.(2021山东东营实验学校期末,23,)在复习课上,老师布置了一道思考题:如图所示,点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q,求证:∠BQM=60°.(M8113005)
(1)请你完成这道思考题;
(2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,譬如:
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?请你选择其中一个问题,并画出图形,给出证明.
素养探究全练
20.【几何直观】(2022山东日照实验中学期中)如图,点O是等边△ABC内一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)△AOD能否为等边三角形?为什么?
(4)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,
∵DE∥BC,∴∠PED=∠C=60°,
∵∠DPE=80°,∴∠PDE=180°-∠PED-∠DPE=40°,故选B.
2.答案 120°
解析 ∵△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,
∴BD⊥AC,∠ACE=12∠ACB=30°,∴∠BDC=90°,
∴∠BOC=∠ODC+∠ACE=120°,故答案为120°.
3.答案 3
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,
∴∠ADF+∠AFD=180°-∠A=120°,
∵△DEF是等边三角形,∴DF=EF,∠DFE=60°,
∴∠AFD+∠EFC=180°-∠DFE=120°,
∴∠ADF=∠EFC,
∴△ADF≌△CFE(AAS),∴CF=AD=3.
4.解析 (1)∵DB=DE,∴∠E=∠DBE,
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,
∵BD是AC边上的高,∴∠DBC=30°,
∴∠E=∠DBE=30°,∴∠BDE=180°-30°-30°=120°.
(2)证明:∵∠ACB=60°,∠E=30°,
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E,
∴CD=CE,∴△CED是等腰三角形.
5.C A.当AB=AC,∠A=60°时,△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;
B.当AB=AC,AC=BC时,AB=AC=BC,则△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;
C.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B的补角等于∠C的补角,∴当∠B的补角等于∠C的补角时,不能判定△ABC是等边三角形,故本选项符合题意;
D.当AB边上的高也是AB边上的中线时,CA=CB,
∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意.故选C.
6.答案 20
解析 如图,连接AB.
∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,
∴AB=OA=20 cm.故答案为20.
7.答案 15
解析 ∵∠ABC=60°,∴∠ABD=180°-60°=120°,
∵BE平分∠ABD,∴∠ABE=∠DBE=60°,
∵AE∥BD,∴∠EAB=∠ABC=60°,
∴∠ABE=∠EAB=60°,∴△ABE是等边三角形,
∴AB=BE=AE=5,
∴△ABE的周长是AB+BE+AE=15.
8.解析 △APQ为等边三角形.
证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.
在△ABP与△ACQ中,AB=AC,∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,
∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ是等边三角形.
9.C ∵∠BAC=90°,∠C=30°,
∴BC=2AB,∠B=180°-∠BAC-∠C=60°,
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=30°,∴AB=2BD,
∴BC=4BD.故选C.
10.B ∵△CDE为等边三角形,
∴∠ECD=60°,CE=CD,
∵∠B=30°,∴∠CEB=180°-60°-30°=90°,
∴CE⊥AB,即△CBE为直角三角形,
∴CD=CE=12BC=12×4=2,故选B.
11.答案 6
解析 ∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B=30°,
∵∠A=90°,AN=1,∴MN=2AN=2,
∵MN平分∠AMC,∴∠NMC=∠AMN=30°,
∵在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,
∴∠ACB=180°-90°-30°=60°,BC=2AC,
∵CM平分∠ACB,∴∠ACM=12∠ACB=30°,
∴∠ACM=∠NMC,∴CN=MN=2,
∴AC=AN+CN=1+2=3,
∴BC=2AC=2×3=6,故答案为6.
12.答案 13.2米
解析 ∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=30°+30°=60°,AC=BC,
∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,
∵AD∥EC,∴∠CAD=∠ACE=30°,
在Rt△ADC中,∠CAD=30°,CD=6.6米,
∴AC=2CD=2×6.6=13.2(米),
∴大树AB的高度为13.2米.
能力提升全练
13.B 如图,
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠C=60°.
∵∠1=∠A+∠AEF=140°,
∴∠AEF=140°-60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°,
∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°,
∴∠2=180°-80°=100°,故选B.
14.C ∵AB∥CD,∴∠DCA+∠CAB=180°,
即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,
∵△ACE为等边三角形,∴∠ECA=∠EAC=60°,
∴∠EAB=180°-40°-60°-60°=20°.故选C.
15.答案 2
解析 ∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°,
∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,
∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.故答案为2.
16.答案 30
解析 ∵EF垂直平分BC,
∴BF=CF,∴∠B=∠BCF,
∵△ACF为等边三角形,∴∠AFC=60°,
∴∠B=∠BCF=30°.故答案为30.
17.答案 50
解析 连接BD(图略),
∵∠BCE=120°,∴∠BCD=60°,
∵BC=CD,∴△BCD是等边三角形,
∴BD=CD=50 cm,
故B,D两点之间的距离为50 cm.
18.解析 (1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°,
∵E为AB的中点,
∴CE⊥AB,CE是∠ACB的平分线,
∴∠BEC=90°,∠BCE=30°,∴BC=2EB,
∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD=30°,
∴∠DEB=60°-30°=30°=∠D,
∴BD=BE,∴BC=2BD.
(2)如图,过点E作EF∥BC,交AC于点F,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠AFE=∠AEF=∠ACB=∠ABC=60°,BC=AB=12,
∴△AEF为等边三角形,∠EFC=∠EBD=120°,
∴EF=AE,
∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,
∵EF∥BC,∴∠ECB=∠FEC,∴∠EDB=∠FEC,
在△BDE和△FEC中,∠EBD=∠CFE,∠EDB=∠CEF,ED=CE,
∴△BDE≌△FEC(AAS),∴BD=EF,
∴BD=AE=2,∴CD=BC+BD=12+2=14.
19.解析 (1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°,
在△ABM和△BCN中,BM=CN,∠ABM=∠C=60°,AB=BC,
∴△ABM≌△BCN(SAS).∴∠BAM=∠CBN.
∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°,
∴∠QBA+∠BAM=60°.∴∠BQM=60°.
(2)任选一个问题回答即可.①是.
证明:∵∠BQM=60°,∴∠QBA+∠BAM=60°.
∵∠QBA+∠CBN=60°,∴∠BAM=∠CBN.
在△ABM和△BCN中,∠ABM=∠BCN=60°,AB=BC,∠BAM=∠CBN,
∴△ABM≌△BCN(ASA).∴BM=CN.
②能.
证明:如图,∵BM=CN,BC=AC,∴CM=AN.
∵∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠ACM=∠BAN=180°-60°=120°,
在△BAN和△ACM中,BA=AC,∠BAN=∠ACM,AN=CM,
∴△BAN≌△ACM(SAS).∴∠NBA=∠MAC,
∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=∠BNA+∠CAM=∠BNA+∠ABN=∠BAC=60°.
素养探究全练
20.解析 (1)证明:∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC.
∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.理由如下:
∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=∠DOC=60°,
∵△BOC≌△ADC,α=150°,
∴∠ADC=∠BOC=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,
∵α=150°,∠AOB=110°,∠COD=60°,
∴∠AOD=360°-150°-110°-60°=40°,
∴△AOD是直角三角形,但不是等腰直角三角形.
(3)不能.理由:
由△BOC≌△ADC,得∠ADC=∠BOC=α.
若△AOD为等边三角形,则∠ADO=∠AOD=60°,
∵∠ODC=60°,∴∠ADC=α=120°.
∵∠AOD=∠DOC=60°,∴∠AOC=120°,
∵∠AOB=110°,
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+110°+120°=350°<360°.
∴△AOD不可能为等边三角形.
(4)∵△OCD是等边三角形,
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,∴α=125°;
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,∴α=140°;
③当∠ADO=∠OAD时,α-60°=50°,∴α=110°.
综上所述,当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.