湖南省长沙市麓山国际实验学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线与直线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角.
【详解】设两直线倾斜角分别为，由，则，
由，则，即，
则两直线夹角为.
故选：B.
2. 在四面体中，为棱的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】,
故选:A

3. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）

A. 1B. －1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由求解即可．
【详解】，所以．
故选：A．
4. 若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.
【详解】由题意知，
故，
又由圆的一般方程，
可得，即，
即或，
所以实数范围为.
故选：C.
5. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项；
【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为，
于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，
检验4个选项，知只有B选项满足题意．
故选：B.
6. 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.
【详解】因为，所以
，
从而，即的长为．
故选：C.
7. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解.
【详解】由直线，
变形可得，由，解得，
可得直线恒过定点，

则，
又直线的斜率为，
若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.
故选：A.
8. 已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有交点，结合图形可得.
【详解】因为圆C上存在点P，使得，
所以，以为直径的圆与圆有交点，
又以为直径的圆，圆心为O0,0，半径为，圆的圆心为，半径为2，
所以，即，即.
故选：A

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则（ ）
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A正确；
对于B，，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，，与不垂直，C错误；
对于D，，共面，D正确.
故选：ABD.
10. 以下四个命题叙述正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距是1
B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D. 直线，若，则或2
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.
【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；
对于B，由解得，即，则，解得，B正确；
对于C，依题意，，C正确；
对于D，当时，直线重合，D错误.
故选：BC
11. 在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ）
A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为
B. 的面积最大值为1
C. 若原点始终在动弦上，则不是定值
D. 若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D.
【详解】对于A，圆的圆心为1,0，半径为，
圆的圆心为，半径为，
当圆和圆存在公共点时，，
所以，解得，所以实数的取值范围为，正确；
对于B，的面积为，
当时，的面积有最大值为1，正确；
对于C，当弦垂直x轴时，，所以，
当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为，
与圆联立得，，
设，
则，，
综上，恒为定值，错误；
对于D，设Px0,y0，OP中点，该点也是AB中点，且，
又，所以，
化简得，所以点的轨迹为以1,0为圆心，半径为的圆，
其周长为长度为，正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由方程表示的图形的几何意义以及所求代数式的几何意义画出图形可求出最小值.
【详解】解：曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，
表示点到点的距离，
表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为，
则，
当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立，

故的最小值为.
故答案为：.
13. 如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设平面的一个法向量为，
,
则，
令，则.
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为.
故答案为：.
14. 过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别是，则点到直线距离的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】由得出点在以为直径的圆上，通过两圆方程相减得到直线的方程，从而可得直线所过的定点，进而可得出答案.
【详解】如图，设点，
因为，故点在以为直径的圆上，
因为圆心，半径为，
故圆的方程为：，
又圆，
将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：，
所以直线经过定点，
所以到直线距离的最大值即.
【点睛】关键点点睛：由得出点在以为直径的圆上是解决本题的关键.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知平面内两点，．
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可；
（2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可．
【小问1详解】
由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．
【小问2详解】
的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即．
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或．
16. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．

（1）证明：；
（2）若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；
【答案】（1）证明见解析
（2）点在平面内，证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出，计算出即可.
（2）求出、、，即可得到，从而得到、、、四点共面，即可得证.
【小问1详解】
连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则，
所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，
则，，则，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
，，
又，得，
，所以，
所以、、、四点共面，即点在平面内．
17. 已知圆的方程为．
（1）若直线：，试判断直线与圆的位置关系；
（2）点在圆上，且，在圆上任取不重合于点的两点，，若直线和的斜率存在且互为相反数．试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）相交 （2）定值
【解析】
【分析】（1）求出圆心到直线的距离与半径比较，即可判断直线与圆的位置关系；
（2）首先求出的坐标，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立直线与圆的方程求出的坐标，同理求出的坐标，即可求出直线的斜率．
【小问1详解】
解：圆：的圆心为，半径，
圆心到直线距离，
直线与圆相交；
【小问2详解】
解：由点在圆上，即，解得，
又，所以，即，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
代入圆，可得，
是方程的一个根，
，，则．
由题意，，则直线的方程为，
，，
，
直线的斜率是定值．
18. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
（1）证明：MN∥平面A'BE；
（2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理在平面中找到和直线平行的直线，利用直线和平面平行的判定定理即可证明.
（2）建立空间直角坐标系，根据已知条件利用等体积法，进而求出各个点的坐标，再利用平面的法向量计算平面的夹角的正切值.
【小问1详解】
取的中点，的中点，由题意知，，
直角梯形中，四边形为正方形，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
平面，不在面内，
平面.
【小问2详解】
连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，面，
平面，
，
，，
，为等边三角形，
则，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
，令
，令，
设平面与平面的夹角为，由题可知为锐角，
，
平面与平面的夹角的正切值为.
19. 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
（1）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为,由得答案;
（2）设甲位于圆 上的点处, 直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到. 过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角，,其中，表示点和点构成的直线的斜率，根据直线与圆的位置关系即可求解.
【小问1详解】
如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，m.
因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m.
从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，则.
【小问2详解】
如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到.
过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.
当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角.
题意得：,
其中，表示点和点构成的直线的斜率，
当直线的斜率取得最小值时，取最大值.
因为点在单位圆上，
所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值.
设过点的直线方程为：，
由相切可得，解得，
则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.
【点睛】方法点睛：
求的最值时，可转化为求点与连线斜率的最值，
设出过点的直线方程，由点在单位圆上，根据直线与圆相切即可求解.