四川省成都市新津中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间120分钟，满分150分
单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ）
A．150B．110C．70D．20
已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A．B．C．D．
三棱锥中，点面，且，则实数（ ）
A．B．C．1D．
4．已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．给出下列命题，其中不正确的命题是（ ）
A．向量，，共面，即它们所在的直线共面
B．若是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
C．已知向量，，若，则为钝角.
D．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线与平面所成的角为50°
8．如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．在平行六面体中，，则（ ）
A．为棱的中点B．为棱上更靠近的三等分点
C．D．平面
10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是如图，
11在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）．
12．总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为
8 44 2 17 8 31 57 4 55 6
88 8 31 47 7 21 76 33 50 63
13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 .
14．如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧.若顶点，，到平面的距离分别为，，，则该正方体的表面积为 .
解答题（共5小题，共77分）．
15．（13分）已知a=x,1,0，b=−1,y,2，c=2,−2,1，b=5，a⊥c，
(1)若a+kb、2a+b共线，求实数k；
(2)若向量a+kb与2a+b所成角为锐角，求实数k的范围．
16．（15分）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3．
(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求BD1；
(2)求csBD1,AC．
17．（15分）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.
(1)求点到直线的距离；
(2)求证：面.
18．（15分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
19．（19分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D,E分别是AC,AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图所示.
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)在线段A1C上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为34？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由.