四川省广安市华蓥中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】，，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了对数不等式和函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
2. 已知函数，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】换元令，则，代入已知，即可得出答案.
【详解】令，则，
由已知可得，，
故的解析式为：．
故选：B．
3. 定义在R上的偶函数满足：对任意，且，都有，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，函数在递增，结合单调性和奇偶性可判断
【详解】因为定义在上的偶函数满足：对任意，且都有，
故函数在递增，可知
故选：B
4. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数解析式直接代入求值即可得答案.
【详解】易知，
所以，即可得.
故选：A
5. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.
【详解】由题意得，即，得，且，
所以的定义域为；
又，所以为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，C；
又，所以排除D．
故选：A．
6. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据函数的性质，确定满足的条件，再利用基本（均值）不等式，求和的最小值.
【详解】函数的定义域为，，
即函数是奇函数，
又函数都是上的增函数，则在上递增，
由，得，
于是，即，
则，而，即有，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：B
7. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再借助周期求出函数值.
【详解】由是定义在R上的奇函数，得，
即，则，函数的周期为2，
所以.
故选：B
8. 已知是定义在上的奇函数，且在区间上满足三个条件：①对于任意的，当时，恒有成立，②，③．则（ ）
A. 32B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据是定义在上的奇函数则，然后分别求出，，的值，然后利用单调性求出的值即可．
【详解】∵是定义在上的奇函数，
∴，
∵，
∴令得即，
令得，即，
∵，
∴令得，
令得，
令得，
∵对于任意的，当时，恒有成立，
∴，
∴
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对选项A：取即可判断；对选项B：当时，即可判断；
对选项C、D，由不等式的性质即可判断.
【详解】解：对选项A：取，满足，但，故选项A错误；
对选项B：当时，，故选项B错误；
对选项C：当，时，由不等式的性质有，故选项C错误；
对选项D：当时，由不等式的性质有，又，则，故选项D正确；
故选：ABC.
10. 已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分，，三种情况结合与的大小关系讨论，可得不等式的解集.
【详解】当时，；
当时，或，故A正确；
当时，，
若，则解集为空集；
若，则不等式的解为：，故D正确；
若，则不等式的解为：，故C正确.
故选：ACD
11. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 的图象关于点对称D. 若在上单调递减，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D
【详解】由得，所以的定义域为，A正确；
由及，
可得的值域为，B正确；
的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位，
再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确；
在上单调递减，则或，即或 ，D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 函数的单调递增区间是_____________________
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性求解即得.
【详解】函数的定义域为R，令，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在定义域上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
13. 已知函数是偶函数，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解.
【详解】定义域为，
，
所以，
故，
故答案为：
14. 已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为________________．
【答案】
【解析】
【分析】令，根据已知结合单调性的定义可得出在上的单调性.根据奇函数的性质，即可得出在R上的单调性.将不等式化为，分以及，化简不等式，结合的单调性，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】令，
可得，，
由可得，，
即成立，所以在上为减函数.
又为R上的偶函数，所以，
所以，，为R上的奇函数.
又在上为减函数，，所以在R上为减函数.
由可得，.
①当时，不等式可化为，
即，
根据的单调性可得，，
整理可得，解得或，所以；
②当时，不等式可化为，
即，
根据的单调性可得，，
整理可得，解得，所以.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合，(m>0)，全集为.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出当时集合，求出，求出；
（2）根据“”是“”的必要不充分条件求出集合和集合的关系，求出集合，求出.
【小问1详解】
由题知：当时，，
又，
，
或；
【小问2详解】
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，
，
时，集合，
，
则，又时，，
符合是的真子集
，可得，
综上，实数的取值范围为.
16. 为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系近似地表示为.
（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元?
（2）该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最低是多少元?
【答案】（1）企业每月处理量为300吨时，成本最低，最低为19800元
（2）企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，最低60元
【解析】
【分析】（1）由函数单调性得到最值；
（2）得到每吨的平均处理成本，利用基本不等式求出最值.
【小问1详解】
该企业的月处理成本，
因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元.
【小问2详解】
因为，
所以每吨的平均处理成本.
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元.
17. 某电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”的人数为25人.
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，依据小概率值＝0.05的独立性检验，能否据此认为“体育迷”与性别有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，均值和方差．
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，认为“体育迷”与性别无关
（2）分布列见解析，＝，＝
【解析】
【分析】（1）根据公式计算出的观测值，再依据临界值表给出判断.
（2）利用二项分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差.
【小问1详解】
在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
零假设为：“体育迷”与性别无关．
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
＝
≈3.030<3.841＝
根据小概率值＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为“体育迷”与性别无关．
【小问2详解】
由频率分布直方图，知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意知，从而的分布列为
＝3×＝，＝3××＝.
18. 设，函数.
（1）解不等式；
（2）求在区间上的最小值.
（3）若，对于都有求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简不等式，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
（2）根据的对称轴进行分类讨论，结合函数的单调性，求得；
（3）分析可知：，结合（2）中结论分类讨论求最值，列式求解即可.
【小问1详解】
，即，
化简整理得，解得.
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
函数图象的对称轴方程是.
①当，即时，在区间上单调递增，所以；
②当，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，
所以；
③当，即时，在区间上单调递减，所以.
综上，.
【小问3详解】
易得函数和在上单调递增.
所以在上单调递增.
当
由题可得即
①当时，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以a不存在；
综上所述，
【点睛】关键点点睛：求解二次函数在区间上的最值问题，要牢牢把握住开口方向和对称轴.
19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”
（1）判断函数和函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）
（2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值；
（3）如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围.
【答案】（1）存在优美区间是，不存在优美区间；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解；
（2）由新定义及函数定义域，确定相应方程有两个同号的不等实根，由此求得参数范围；
（3）由函数的单调性，分类讨论：，，确定函数的最大值和最小值，转化为一元二次方程的根的分布，可得结论．
【小问1详解】
，在上单调递增，由得或1，存在优美区间是，
是增函数，若存在优美区间，则，无解，不合题意，不存在优美区间；
【小问2详解】
在和上都是增函数，
因此优美区间或，
由题意，所以有两个同号的不等实根，
，，
，，或，
，同号，满足题意，
，
，
因为或，所以当，即时，．
【小问3详解】
函数在上存在“优美区间”，设得其一个优美区间，
在上递减，在上递增，
若，则，即有两个不等的非负根，
，，，，
，则，所以；
若，则，即，两式相减得，，
，所以方程有两个不等的非正根，
方程整理为，
，，满足题意，，，
所以；
综上，的取值范围是或．
【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解题方法是利用新定义把问题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用．对学生的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难题．
性别
“体育迷”情况
合计
非体育迷
体育迷
男
女
10
55
合计
0.05
0.01
3.841
6.635
性别
“体育迷”情况
合计
非体育迷
体育迷
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
0
1
2
3