安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题

这是一份安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题，共14页。试卷主要包含了已知函数，则满足的的取值范围是，已知，若，则下列命题正确的是，已知，且，则等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A．B．C．D．
2．已知直线与直线，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列四个数中最大的是
A．B．C．D．
4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为
A．4hB．6hC．8hD．12h
5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是
A．B．
C．D．
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
7．已知函数，则满足的的取值范围是
A．B．C．D．
8．定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，若，则下列命题正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知，且，则
A．B．C．D．
11．已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为为奇函数，则
A．B．为偶函数C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若“”是假命题，则实数的最小值为______．
13．若函数在时取得极小值，则的极大值为______．
14．已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（Ⅰ）已知函数满足，求在区间上的值域；
（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.
16．（15分）
设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为．
（Ⅰ）求实数m，n的值；
（Ⅱ）求的零点个数.
17．（15分）
已知函数.
（Ⅰ）若，证明：；
（Ⅱ）若且存在，使得成立，求的取值范围．
18．（17分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的极值；
（Ⅲ）若恒成立，求的取值范围．
19．（17分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性．
（Ⅱ）当时．
（ⅰ）证明：当时，；
（ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：．
附：当时，．
数学•答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案B
命题意图本题考查集合的交运算.
解析由已知，得，由，得，所以，所以．
2．答案A
命题意图本题考查充分必要条件的判断．
解析若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．
3．答案C
命题意图本题考查对数函数的性质．
解析由的单调性可知，即．故最大的是．
4．答案C
命题意图本题考查函数的实际应用．
解析依题意得，当时，，当时，，则，可得，即，所以，当时，解得，故至少需要过滤8h才能达到排放标准．
5．答案D
命题意图本题考查函数图象的识别．
解析对于A，当时，，排除A；对于B，因为，所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，当时，由0，得，排除C，故选D．
6．答案B
命题意图本题考查函数的单调性．
解析易知在上单调递减，要使在上单调递减，则需满足解得，即的取值范围是．
7．答案D
命题意图本题考查利用函数性质解不等式．
解析令为奇函数，且易知在上单调递增．原不等式可转化为，即，解得．
8．答案B
命题意图本题考查新定义及不等式与函数综合问题．
解析设，作出的图象，因为不等式的解集对应区间的长度为2，所以解集只可能为或．当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解．当解集为时，如图，数形结合易知即解得所以．综上，实数的取值范围为．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案ABC
命题意图本题考查指、对数的运算性质和函数的性质．
解析由题意知，所以，所以．
对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则，所以，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，则，不能得到，故D错误．
10．答案BC
命题意图本题考查基本不等式的应用．
解析对于A，因为，所以，所以，故A错误；
对于，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D错误．
11．答案ACD
命题意图本题考查抽象函数及函数的性质．
解析对于A，因为为奇函数，所以，令，得，故A正确；
对于B，由，得，又，所以，即，所以，又的定义域为，故为奇函数，故B错误；
对于C，由，可得为常数）.，又，所以，所以，所以，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C正确；
对于D，，令，得，则，再令，得，又是周期为8的函数，所以，因为，所以，又，所以，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案
命题意图本题考查全称量词命题．
解析因为“”是假命题，所以“”是真命题，所以，故实数的最小值为．
13．答案
命题意图本题考查利用导数研究函数的极值．
解析由题意可得，，解得，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为．
14．答案
命题意图本题考查导数的几何意义、公切线及函数与方程．
解析设曲线上的切点坐标为，由已知得，则公切线的方程为，即．设曲线上的切点坐标为，由已知得，则公切线的方程为，即，所以，消去，得．若存在两条不同的直线与曲线均相切，则关于的方程有两个不同的实数根．设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由可得，当且时，，当时，且，则的大致图像如图所示，所以，解得．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．命题意图本题考查二次函数的性质、基本不等式．
解析（I）由题意得，即，………………（1分）
所以且，解得．
所以，…………………………………………………………………………………（3分）
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以在区间上的值域为．…………………………………………………………（6分）
（II），
当时，，
由（I）知，所以，即．……………………………………（9分）
所以，……（12分）
当且仅当时等号成立．
所以的最小值为1.…………………………………………………………………………（13分）
16．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．
解析（I）因为，
所以，
所以，………………………………………………………………（3分）
又因为的图象的对称中心为，
所以…………………………………………………………………（5分）
即解得…………………………………………………………………………（7分）
（II）由（I）知，，
所以，…………………………………………………………（9分）
令，得或，……………………………………………………………………（10分）
当变化时，的变化情况如下表：
所以的极大值为，极小值为，…………………………………………（13分）
又，
所以有3个零点．………………………………………………………………………………（15分）
17．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．
解析（I）若，则，所以．…………（2分）
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，……………………………………………（4分）
所以有极小值，也是最小值，且，
所以．……………………………………………………………………………………………（6分）
（II）由题意得，…………………………………………………（7分）
因为，所以令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增．………………………………………………（9分）
若，则在上的最小值为．………………………………（10分）
要使条件成立，只需，解得．…………………………………（12分）
若，则在上的最小值为，………………………………………（13分）
令，无解．……………………………………………………………………………（14分）
故的取值范围为．……………………………………………………………………………（15分）
18．命题意图本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题．
解析（I）当时，，
故曲线在点处的切线方程为．…………………………………………（4分）
（II）当时，，则，………………………………（6分）
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，………………………………………（8分）
所以，无极大值．………………………………………………………（9分）
（III）令，
由得，…………………………………………………………（10分）
令，则在上单调递减，
又，
故．……………………………………………………………………………………………………（11分）
下面证明当时，．
易知．……………………………………………（12分）
设，则，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，则，即．……（14分）
设，则，
当时，，当时，，
故，则，即．……………………………………………（15分）
故，则．
故所求的取值范围是．………………………………………………………………………（17分）
19．命题意图本题考查利用导数讨论函数的单调性、证明不等式．
解析（I）由已知，得．………………………（1分）
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；………………………………………………（2分）
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增；……………………………（3分）
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；…………………（4分）
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增．……………………………（5分）
（II）（i）由题可知，即证当时，．
令，则．………………………………（7分）
令，则．
令，则，易知在上单调递增．………（8分）
所以，则在上单调递增，
所以，则在上单调递增，……………………………………（9分）
所以，则在上单调递增，
所以，
原不等式得证．…………………………………………………………………………………………（10分）
（ii）当时，，由（I）知在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且时，，由（i）可知当时，，
由方程有两个不同的实数根，得．………………………………………（12分）
不妨设，则，
要证，即证，又在上单调递增，所以只需证，
即证．………………………………………………………………………………（13分）
设，
则．…………………………………………（14分）
设，则，
设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
又因为，
所以存在，使得，………………………………………………………………（15分）
当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………（16分）
又因为，
所以当时，，当时，，
所以当时，单调递减，
因为，所以，
所以，故原命题得证．…………………………………………………………（17分）-3
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