浙江省温州市育英实验学校、温州第十四高级中学2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

这是一份浙江省温州市育英实验学校、温州第十四高级中学2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1.设集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.下列命题为假命题的是（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，则D.若，则
4.做一个体积为，高为2m的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（ ）
A.B.C.D.
5.下列命题为真命题的是（ ）
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.“”是“”的充要条件
D.“”是“”的既不充分也不必要条件
6.已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
7.已知，则有（ ）
A.最大值B.最小值C.最小值6D.最大值6
8.如图，一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金。有一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客。则顾客购得的黄金（ ）
A.无法判断得多少B.恰好为10gC.小于10gD.大于10g
二、选择题：每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
9.已知集合，则下列结论成立的是（ ）
A.B.C.D.
10.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
11.关于的方程恰有一个实数根的充分不必要条件可以是（ ）
A.B.或C.或D.
三、填空题：每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应的位置上。
12.设集合，，则________.
13.根据下述事实，写出一个含有量词的命题是________.
，
，
，
……
14.已知集合，，若，则实数的值为________.
四、解答题：共5小题，共77分。解答应写出证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知全集，集合，，求：
（1）；（2）；（3）.
16.（15分）已知集合或，或。
（1）（3分）当时，求；
（2）（5分）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（3）（7分）若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围。
17.（15分）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域。计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元。设总造价为（单位：元），AD长为（单位：米）。当为何值时，最小？并求出这个最小值。
18.（17分）在“基本不等式”应用探究课中，老师提出了下列问题：已知正实数a，b满足，求的最小值。
甲、乙两位同学对该问题给出了两种不同的解法，甲给出的解法是：
，，
所以的最小值为4。
乙给出的解法是：，
所以的最小值为。
（1）（4分）请你判断哪位同学的解法正确，并指出解法错误的原因；
（2）结合上面的材料，求解下面的问题：
①（6分）已知正实数a，b满足，求的最小值，并求出取得最小值时a，b的值；
②（7分）已知，试求的最小值，并求出取得最小值时的值。
19.（17分）迪卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”。高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“迪卡尔积”是一个很有趣的问题。
设A，B是任意两个非空集合，则称集合为“与的迪卡尔积”，并记集合的元素个数为。
（1）（4分）若，，求与；
（2）（13分）若，，为素数，且对任意素数恒成立，求实数的取值范围，并写出当取到最值时应满足的条件及一组符合条件的集合A，B。
（提示：当，且时，式子在处取得最小值。）
温州第十四高级中学、育英中学第一次联考数学参考答案及评分标准
12.； 13.，； 14.2
15.解：
（1）
（2），
（3），
14.解：（1）当时，或，
（2）是的必要不充分条件，是的真子集
（3）是的充分不充分条件，是的真子集
①当时，，符合题意
②当时，有
故的取值范围为
（注：是的真子集写成或没有写，结果正确不扣分，不等号端点写错扣1分，不等号方向有错不给分）
15.解：设，则，则
当，时，取等号
故当m时，元。
16.解：（1）乙的解法正确
甲的解法中使用两次基本不等式时，等号不能同时成立
解：（2）①
当，即，时，等号成立
的最小值为8
②，，
当，解得时，等号成立
的最小值为
17.解：（1）
（2），，且为素数，，或，
当，时，
当时取等号，所以等号不成立；
又为素数，，，
当，时，
当时取等号；
故，当时，
此时符合条件的一组集合可以是：，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
D
D
B
A
D
ABD
BCD
BD