2025届山东省青岛市黄岛区弘文学校九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】

这是一份2025届山东省青岛市黄岛区弘文学校九年级数学第一学期开学监测试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列语句正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．平行四边形是轴对称图形
2、（4分）如图，从几何图形的角度看，下列这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）已知下列命题：
①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；
②若a2＝b2，则a＝b；
③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
④矩形的对角线相等．
以上命题为真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、（4分）若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是（ ）
A．12和2B．3和4C．14和16D．4和8
5、（4分）下列各式计算正确的是
A．B．C．D．
6、（4分）如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（ ）
A．2B．3C．3D．无法确定
7、（4分）的平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．3和﹣3D．
8、（4分）关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ）
A．1B．0C．-1D．不能确定
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）等式成立的条件是_____．
10、（4分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．
11、（4分）如图，在△ABE中，∠E＝30°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝AC，则∠B＝________．
12、（4分）如图，在正方向中，是对角线上一点，的延长线与交于点，若，则______；
13、（4分）如图，边长为的菱形中，，连接对角线，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；…按此规律所作的第2019个菱形的边长为______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）有一块薄铁皮ABCD，∠B=90°，各边的尺寸如图所示，若对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？
15、（8分）如图，在▱ABCD中，AB=6，AC=10，BD=16，求△COD的周长．
16、（8分）本学期开学初，学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳绳项目的测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．
根据统计图解答下列问题：
（1）本次测试的学生中，得4分的学生有多少人？
（2）本次测试的平均分是多少分？
（3）通过一段时间的训练，体育组对该班学生的跳绳项目进行了第二次测试，测得成绩的最低分为3分．且得4分和5分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得4分、5分的学生各有多少人？
17、（10分）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形
（2）若AC⊥BD，且AB=4，则四边形ABCD的周长为________.
18、（10分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．
(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式；
(2)小明选择哪家快递公司更省钱？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、的坐标分别为，，．若点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点移动，连接并延长到点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若点在移动的过程中，使成为直角三角形，则点的坐标是__________．
20、（4分）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是______ ．
21、（4分）已知：在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E在直线AD上，连接BE，CE，若BE＝AD，则∠BEC的大小为_____度．
22、（4分）若反比例函数y＝的图象在二、四象限，则常数a的值可以是_____．(写出一个即可)
23、（4分）平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）安岳是有名的“柠檬之乡”，某超市用3000元进了一批柠檬销售良好；又用7700元购来一批柠檬，但这次的进价比第一批高了10%，购进数量是第一批的2倍多500斤．
（1）第一批柠檬的进价是每斤多少元？
（2）为获得更高利润，超市决定将第二批柠檬分成大果子和小果子分别包装出售，大果子的售价是第一批柠檬进价的2倍，小果子的售价是第一批柠檬进价的1.2倍．问大果子至少要多少斤才能使第二批柠檬的利润不低于3080元？
25、（10分）在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（-1，-3）：直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（-2，a）.
（1）求a的值；
（2）（-2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？
26、（12分）用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法．
（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．
（2）如图2，在8×6的正方形网格中，请用无刻度直尺画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
分析：
根据各选项中所涉及的几何图形的性质或判断进行分析判断即可.
详解：
A选项中，因为“对角线互相垂直的平行四边形才是菱形”，所以A中说法错误；
B选项中，因为“有两对邻角互补的四边形不一定是平行四边形，如梯形”，所以B中说法错误；
C选项中，因为“矩形的对角线是相等的”，所以C中说法正确；
D选项中，因为“平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形”，所以D中说法错误.
故选C.
点睛：熟记“各选项中所涉及的几何图形的性质和判定”是解答本题的关键.
2、B
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个选项一一判断即可得出答案.
【详解】
A.是轴对称图形，不是中心对称图形；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形.
故选B.
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别.熟练应用中心对称图形和轴对称图形的概念进行判断是解题的关键.
3、C
【解析】
根据有理数的加法法则、乘方的意义、角平分线的性质定理、矩形的性质判断即可．
【详解】
若a＞0，b＞0，则a+b＞0，①是真命题；
若a2=b2，则a=±b，②是假命题；
角的平分线上的点到角的两边的距离相等，③是真命题；
矩形的对角线相等，④是真命题；
故选：C．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4、C
【解析】
平行四边形的长为7的一边，与对角线的交点，构成的三角形的另两边应满足三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．设两条对角线的长度分别是x、y，即三角形的另两边分别是x、y，那么得到不等式组，解得，所以符合条件的对角线只有14，1．
【详解】
解：如图，▱ABCD中，
AB＝7，设两条对角线AC、BD的长分别是x，y．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∴OA＝x，OB＝y，
∴在△AOB中，，
即：，
解得：，
将四个选项分别代入方程组中，只有C选项满足．
故选：C．
本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系，确定出对角线的长度范围是解题的关键，有一定的难度．
5、B
【解析】
利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据算术平方根的定义对D进行判断．
【详解】
解：A、3与不能合并，所以A选项错误；
B、原式==4，所以B选项正确；
C、原式==，所以C选项错误；
D、原式=2，所以D选项错误．
故选B．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6、B
【解析】
由旋转的性质，得
BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．
在Rt△PBP′中，由勾股定理，得
PP′=，
故选B．
7、D
【解析】
首先根据算术平方根的定义求出的值，再根据平方根的定义即可求解．
【详解】
解：∵＝3，
∴的平方根也就是3的平方根是±．
故选：D．
此题主要考查了算术平方根和平方根的定义．本题容易出现的错误是把的平方根认为是9的平方根，得出±3的结果．
8、C
【解析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△＝（﹣1）2﹣4a≥0，求出a的范围后对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得a≠0且△＝（﹣1）2﹣4a≥0，
解得a≤且a≠0，
所以a的最大整数值是﹣1．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、﹣1≤a＜3
【解析】
根据负数没有算术平方根列出不等式组，求出解集即可．
【详解】
依题意，得：，解得：﹣1≤a＜3
此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则
10、
【解析】
先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【详解】
如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==
∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，
故答案为-1．
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
11、60°
【解析】
分析：根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠E，根据三角形的外角的性质得到∠ACB=2∠E，根据等腰三角形的性质得到∠B即可．
详解：∵MN是AE的垂直平分线，
∴CA=CE，
∴∠CAE=∠E，
∴∠ACB=2∠E，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=2∠E=60°，
故答案为：60°
点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12、4
【解析】
由正方形的对称性和矩形的性质可得结果.
【详解】
连接DE交FG于点O,由正方形的对称性及矩形的性质可得：
∠ABE=∠ADF=∠OEF=∠OFE=15°, ∴∠EOH=30°, ∴BE=DE=2OE=4EH, ∴=4.
故答案为4.
本题考查了正方形的性质与矩形的性质，解答本题的关键是利用正方形的对称性求得∠ABE=∠ADF=∠OEF=∠OFE=15，进而利用RT△中30°所对的直角边等于斜边的一半解决问题.
13、
【解析】
根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律根据规律不难求得第2019个菱形的边长．
【详解】
连接DB交AC于M点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=，
∴AM=，
∴AC=2AM=，
同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n-1，
当n=2019时，第2019个菱形的边长为（）2018，
故答案为．
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的运用；根据第一个和第二个菱形的边长得出规律是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、是，理由见解析．
【解析】
先在△ABC中，由∠B=90°，可得△ABC为直角三角形；根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2=8，那么AD2+AC2=9=DC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD也为直角三角形．
【详解】
都是直角三角形．理由如下：
连结AC．
在△ABC中，∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形；
∴AC2=AB2+BC2=8，
又∵AD2+AC2=1+8=9，而DC2=9，
∴AC2+AD2=DC2，
∴△ACD也为直角三角形．
考点：1．勾股定理的逆定理；2．勾股定理．
15、19
【解析】
根据平行四边形的性质可知对角线相互平分，，推出 即可推出周长.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，OC=AC=，OD=，
∴的周长．
本题主要考查了平行四边的性质，熟知平行四边形的对角线相互平分是解题关键.
16、（1）25人
（2）37分
（3）第二次测试中得4分的学生有15人、得5分的学生有30人．
【解析】
（1）根据频数、频率和总量的关系：频数=总量频率计算即可．
（2）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，据此计算即可．
（3）设第二次测试中得4分的学生有x人、得5分的学生有y人，根据“得4分和5分的人数共有45人”和“平均分比第一次提高了0.8分”列方程组求解即可．
【详解】
解：（1）本次测试的学生中，得4分的学生有人．
（2）本次测试的平均分平均分（分）．
（3）设第二次测试中得4分的学生有x人、得5分的学生有y人，
根据题意，得：，
解得：．
答：第二次测试中得4分的学生有15人、得5分的学生有30人．
17、（1）证明见解析；（2）16.
【解析】
（1）已知O是AC的中点，可得AO=CO．又因AD∥BC，根据平行线的性质可得，再由，利用ASA即可判定，由全等三角形的性质可得AD=BC，再由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可判定四边形ABCD是平行四边形；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形判定四边形ABCD为菱形，由此即可求得四边形ABCD的周长.
【详解】
（1）证明：∵O是AC的中点，
∴AO=CO．
∵AD∥BC ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴AD=BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB=4，
∴菱形ABCD的周长为16.
本题考查了平行四边形的判定及菱形的判定与性质，证明是解决问题的关键.
18、答案见解析
【解析】
试题分析：（2）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y乙关于x的函数关系式；
（2）分0＜x≤2和x＞2两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论．
试题解析：（2）由题意知：
当0＜x≤2时，y甲=22x；当2＜x时，y甲=22+25（x﹣2）=25x+2．y乙=26x+3；
∴，；
（2）①当0＜x≤2时，令y甲＜y乙，即22x＜26x+3，解得：0＜x＜；
令y甲=y乙，即22x=26x+3，解得：x=；
令y甲＞y乙，即22x＞26x+3，解得：＜x≤2．
②x＞2时，令y甲＜y乙，即25x+2＜26x+3，解得：x＞3；
令y甲=y乙，即25x+2=26x+3，解得：x=3；
令y甲＞y乙，即25x+2＞26x+3，解得：0＜x＜3．
综上可知：当＜x＜3时，选乙快递公司省钱；当x=3或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞3时，选甲快递公司省钱．
考点：一次函数的应用；分段函数；方案型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（5，1），（−1）
【解析】
当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：
①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，BP=6-t，DP=1OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t1-1t+5，那么PF1=（1CP）1=4（t1-1t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF1÷PD=t1-1t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t1-1t+5=6-t，即t= ；
②B为直角顶点，得到△PFB∽△CPO，且相似比为1，那么BP=1OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=1．
【详解】
解：能；
①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，则BP=6-t，DP=1OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t-1，
由勾股定理易求得CP1=t1-1t+5，那
么PF1=（1CP）1=4（t1-1t+5）；
在Rt△PFB中，FD⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF1÷PD=t1-1t+5，
而PB的另一个表达式为：PB=6-t，
联立两式可得t1-1t+5=6-t，即t=，
P点坐标为（，0），
则F点坐标为：（ −1）；
②B为直角顶点，得到△PFB∽△CPO，且相似比为1，
那么BP=1OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=1，
P点坐标为（1，0）．FD=1（t-1）=1，
则F点坐标为（5，1）．
故答案是：（5，1），（−1）．
此题考查直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质，解题关键在于求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
20、
【解析】
由图可知：两个一次函数的交点坐标为（1，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】
解：∵函数y=ax+b和y=kx的图象的交点P的坐标为（1，1），
∴关于的二元一次方程组的解是．
故答案为．
本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，学生们认真认真分校即可.
21、75或1
【解析】
分两种情况：①当点E在线段AD上时，BE＝AD，由矩形的性质得出BC＝AD＝BE＝2AB，∠BAE＝90°，AD∥BC，得出BE＝2AB，∠BEC＝∠BCE，∠CBE＝∠AEB，得出AB＝ BE，证出∠AEB＝30°，得出∠CBE＝30°，即可得出结果；②点E在DA延长线上时，BE＝AD，同①得出∠AEB＝30°，由直角三角形的性质得出∠ABE＝60°，求出∠CBE＝90°+60°＝10°，即可得出结果．
【详解】
解：分两种情况：
①当点E在线段AD上时，BE＝AD，如图1所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝BE＝2AB，∠BAE＝90°，AD∥BC，
∴BE＝2AB，∠BEC＝∠BCE，∠CBE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴∠AEB＝30°，
∴∠CBE＝30°，
∴∠BEC＝∠CBE＝（180°﹣30°）＝75°；
②点E在DA延长线上时，BE＝AD，如图2所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝BE＝2AB，∠ABC＝∠BAE＝∠BAD＝90°，
∴BE＝2AB，∠BEC＝∠BCE，
∴AB＝BE，
∴∠AEB＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∴∠CBE＝90°+60°＝10°，
∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣10°）＝1°；
故答案为：75或1．
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
22、2(答案不唯一)．
【解析】
由反比例函数y=的图象在二、四象限，可知a-3