高一预习-专题强化1 三角函数中的最值问题（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

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求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acs2x＋bcs x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cs x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cs x)的有界性．
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(4) 对于形如或的函数，可采用常数分离后利用图象或单调性求其最值或值域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解.
【题型目录】
一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题
二、可化为y＝f(sin x)型的二次式的值域问题
三、含sin x±cs x，sin xcs x的最值问题
四、形如的最值问题
五、函数图象平移问题的最值
六、ω的最值问题
【例题详解】
一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题
1．已知，则的最大值为（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式、两角和与差的正余弦展开式、二倍角公式进行化简计算可得答案.
【详解】
，
因为，所以，
则的最大值为1.
故选：C.
2．函数的最大值为________________．
【答案】
【详解】此题考查三角函数最值问题的求法、诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角余弦公式和正弦公式的逆向应用、两角和的正弦公式的逆向应用、三角函数的有界性的应用;
求三角函数的值域的类型有：（1）形如
这些函数可利用换元法求值域或最值；（2）形如
可构造出一个动点和一个定点的斜率求最值或值域；（3）形如的利用两角和与差的正弦、余弦公式的逆向应用，把函数化成形式求值域；
，
所以函数的最大值是；
此题还可以考查求此函数的周期，单调区间以及给定区间上的值域或最值问题，函数的图像平移变换问题；
3．函数的最大值是_______．
【答案】
【解析】利用积化和差公式将函数化简为，再利用余弦函数的图像和性质即可得到最大值
【详解】
，
因为，所以．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是积化和差的公式以及余弦函数图像和性质的应用，考查学生的计算能力，是中档题.
4．已知函数的部分图像如图所示，则在区间上的值域为______.
【答案】
【分析】先由图像求出，得到解析式，即可求出值域.
【详解】由图像可得，最大值为2，最小值为-2，所以A=2.
设周期为T，则,解得：,所以，解得：.
由，且，解得：.
所以.
当时，.
由的图像可知，当时，.
即在区间上的值域为.
故答案为：
5．函数的最大值为_________.
【答案】1
【详解】由题意知：=
==
==，即，因为，所以的最大值为1.
考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.
二、可化为y＝f(sin x)型的二次式的值域问题
1．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－sin x－2cs2x的值域为________．
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,8)，2))
【详解】因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sin x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
又y＝3－sin x－2cs2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,4)))2＋eq \f(7,8)，
所以当sin x＝eq \f(1,4)时，ymin＝eq \f(7,8)，当sin x＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,8)，2)).
2．已知函数，的值域为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题意，可令，将原函数变为二次函数，通过配方，得到对称轴，再根据函数的定义域和值域确定实数需要满足的关系，列式即可求解.
【详解】设，则，
∵，∴必须取到，∴，
又时，，，
∴，∴.
故答案为：
3．函数的最大值为__，取得最大值时对应的_______．
【答案】 6 ，
【分析】首先利用余弦的二倍角公式和同角的三角函数关系式对化简并配方，然后利用换元法，并结合一元二次函数的性质即可求解.
【详解】由余弦二倍角公式以及同角的三角函数关系式可得，
，
不妨令，，
又因为的对称轴为：，且开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为当时，；当时，，
故在上的最大值为6，
即的最大值为6，
此时，即，.
故答案为：6；，.
4．已知函数，当时，取得最小值，则__________．
【答案】
【分析】根据x的取值范围求得tanx的范围，将tanx视为一个整体，利用二次函数的最值，求得tan的值，再利用两角和的正切公式，求解即可.
【详解】由可知tanx的值域为 ，
，
可知当 时，取得最小值，故tan=，
则 ，
故填:3.
【点睛】本题考查了二次函数的最值，考查了两角和的正切公式；本题中把tanx看成是一个整体，将含三角函数的式子看成是一个一元二次函数，解题过程中要注意三角函数的定义域和相应的值域．
5．函数的值域为________．
【答案】
【分析】利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得
【详解】因为
所以
令，
所以
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，
所以
即函数的值域为
6．若方程在内有解，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系式可将问题转化为在上有解，利用正弦函数及二次函数的性质求得a的取值范围.
【详解】把方程变为，
设，则
．
显然当且仅当的值域时,有解．
且由知,，
∴当时，有最小值，当时，有最大值
的值域为,
∴的取值范围是．
故答案为：.
三、含sin x±cs x，sin xcs x的最值问题
1．函数的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】令，则，将原函数变形为，再根据的取值范围及二次函数的性质计算可得；
【详解】解：根据题意，设，
则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值.
故选：C.
2．函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x的值域为________．
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2\r(2),2)，1))
【详解】设t＝sin x－cs x，则t2＝sin2x＋cs2x－2sin x·cs x，sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，且－eq \r(2)≤t≤eq \r(2).
∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1，t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]．
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－eq \r(2)时，ymin＝－eq \f(1＋2\r(2),2).
∴函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2\r(2),2)，1)).
3．若，则函数的值域是___________.
【答案】
【分析】令换元，根据辅助角公式化简后求出的范围，原函数转化为关于的二次函数，求值域即可.
【详解】，∴，∴，
令，
则，，
，故当t＝1时，函数y取得最小值为1，当t时，函数y取得最大值为，故函数的值域为，
故答案为：
4．函数的最小值为___________________．
【答案】-1
【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简函数为，令，，可将函数化为二次函数的形式，根据二次函数性质可求得最小值.
【详解】
令，则
，
当时，，即的最小值为
本题正确结果：
【点睛】本题考查换元法求解三角函数的最值问题，涉及到利用诱导公式、二倍角公式化简三角函数、二次函数最值的求解等知识；易错点是在进行换元时，忽略新的自变量的取值范围，造成求解错误.
5．函数的值域为___________.
【答案】
【分析】由正弦的二倍角公式、两角和的正弦公式变形后，令换元，化为的二次函数，求得的范围后，由二次函数性质得结论．
【详解】；
令，则
故答案为：．
6．已知函数，则的值域为_______．
【答案】
【分析】利用换元法，令，进而可得，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】由
令，则，
所以，
又对勾函数的单调递减区间为，；
单调递增区间为，，
结合对勾函数的图象，如下：
所以，
所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
7．函数的值域为_____________．
【答案】
【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.
【详解】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
8．若对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】先分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，再换元求出最值，即可得到答案.
【详解】和在均大于0，∴在上大于0，得.令，则.令，则，且，于是，且在上为减函数，所以，所以.
故选D.
【点睛】本题结合与的关系，考查不等式恒成立问题，属于容易题.
四、形如的最值问题
1．函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先换元，再分离常数求值域即可.
【详解】令，，
可得，，
，故.
故选：B.
2．函数的最大值为__________；
【答案】
【详解】试题分析：根据题意，由于函数，根据三角函数的有界性可知，得到y的最大值为3，故答案为3.
考点：三角函数的值域
点评：主要是考查了分式函数的值域的求解，属于基础题．
3． 求下列函数的值域：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1） 可用常数分离法，也可用正弦函数的有界性求解.
（2） 由定义域可得，令则，所以，再根据幂函数的性质计算可得.
【详解】解：（1） 方法1： .
因为，所以.
所以当时，.
所以函数的值域为.
方法2：由，得，即，显然y≠1.
故.
因为，所以 即
解得：，所以函数的值域为.
（2）因为，所以
令则
所以
因为，所以，，，
，即
【点睛】方法点睛：（1） 对于常规的求三角函数的值域或最值问题，一般情况下，只要注意到正弦函数、余弦函数的“有界性”即可解决.
（2） 对于形如或的函数，可采用常数分离后利用图象或单调性求其最值或值域，也可利用正弦函数、余弦函数自身的有界性求解.
（3） 对于形如或（或可化为此形式，其中A≠0）的函数，可用配方法求其值域. 注意当x有具体范围限制时，需考虑或的范围.
五、函数图象平移问题的最值
1．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，得到函数的图象，若函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数平移变换得，再结合函数图象关于轴对称得，即，由于，故的最小值为.
【详解】解：根据题意函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到，再向右平移个单位，得到函数，
由于函数图象关于轴对称，
所以，即，
因为，故的最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数平移变换，函数的对称性，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键理解平移变换和伸缩变换都是针对本身而言，即本身加减多少值，而不是依赖于加减多少值，在解题的过程中需要注意，避免出错.
2．设函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意有，若为偶函数则，结合可得出答案.
【详解】解：由题意可得
因为为偶函数，则，即
因为，所以当时取得最小值.
故选：A.
【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式；
（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；
（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
3．若函数与在上的图象没有交点，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数图象的平移即可求解.
【详解】解：是周期为的正弦函数，
，是由向左平移个单位得到
①当时，如下图所示，
此时函数与在上有交点，不符合题意
②当时，如下图所示
此时函数与在上无交点，符合题意
③当，如下图所示
此时函数与在上无交点，符合题意
综上所述，，
故的取值范围是
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对三角函数平移的过程利用数形结合找到相交的临界位置.
4．将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到的图象关于直线对称（向左移动，向右移动），当最小时，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图像的平移公式先求出平移后的解析式，再根据平移后的图像关于直线对称，结合正弦函数的图像性质可得答案.
【详解】将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到
即
由题意的图像关于直线对称.
所以，即
当时，，此时最小
故选：C
5．已知函数（，，）的部分图象如图所示，且.将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图像；若，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数图象求得，再根据图象变换可得的解析式，结合，，，求得的值，可得答案.
【详解】设的最小正周期为T，则由图可知，得，则，所以，
又由题图可知图象的一个对称中心为点，
故，，故，，
因为，所以，所以.
又因为，
故，
所以；
将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，
得到的图象；
因为，所以 同时令取得最大值3，
由，可得，，
又，要求的最大值，故令，得；
令，得，所以的最大值为，
故选：D.
6．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.
【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，.
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
要使该图象关于原点对称，则，，所以，，
又，所以当时，取得最大值，最大值为．
故选：A
【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.
7．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是，已知函数的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图像重合，且在上是减函数，则a的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出解析式，求出单调递减区间，结合在上是减函数，得到关于的不等式组，从而求出a的最大值.
【详解】将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位后得到函数，
又∵，∴，则
令，，∴，
∵在上是减函数，∴，，解得：，经验证，当时，，此时满足不等式组，故a的最大值为
故选：A
8．将函数图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到函数的图象，若在区间上的最大值为1，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题先求出，可得，要满足题意，则，即可求出.
【详解】将横坐标缩短为原来的得到，再向右平移个单位得到，
，则，
要使在区间上的最大值为1，则，即，
则的最小值为.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出，再根据正弦函数的性质求解.
9．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对满足，有恒成立，且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可得，根据题意可求出最小正周期，得出，求出的单调递减区间，根据包含关系可求出.
【详解】由题可得，
若满足，则和必然一个极大值点，一个极小值点，
又，则，即，所以，
令，可得，
即的单调递减区间为，
因为在区间上单调递减，所以，
则，解得，
因为，所以可得.
故选：D.
六、ω的最值
1．设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则的最小值等于（ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】根据平移可得，然后令，可得结果.
【详解】由题可知：
平移之后函数表达式为
由该函数图像与函数图像重合，
所以，
则，又，
所以当时，的最小值为
故选：C
【点睛】本题考查三角函数的平移知识，以及余弦函数的周期，关键在于重合的条件，相当于加上的是周期，属基础题.
2．已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意先求出并将函数化简，进而根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，列出关于的不等式，最后解得答案.
【详解】因为函数为偶函数，且在单调递减，所以，而，则，于是，函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以.
故选：D.
3．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的增区间，然后由已知得出的一个范围，然后由再由方程在区间上有且仅有一解，结合正弦函数的最大值点求得的另一个范围，两者结合可得结论．
【详解】因为，令，，
即，，
所以函数的单调递增区间为，，
又因为函数在上单调递增，
所以，得，且，
又因为，
所以，又在区间上有唯一的实数解，
所以，且，可得.
综上，．
故选：D.
4．函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件求出平移后的解析式，再借助函数的奇偶性列式即可计算作答.
【详解】依题意，，因函数为奇函数，
则有，即，而，必有，即，
所以的最小值为.
故选：B
5．已知函数在内是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题设有为减函数，且，恒成立，所以，解得，选B.
6．已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.
【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，
由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，
由，，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，
由，当时，，
故选：B.
7．已知函数，是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据条件利用余弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在单调，可得，检验可得它的最大值．
【详解】函数，为的零点，为图象的对称轴，，且，
相减可得，
即，，即为奇数．
在单调，，
，故奇数的最大值为．
当时，，
，．
此时在上不单调，不满足题意．
当时，，
，，
此时在上不单调，不满足题意．
当时，，
，，
此时在上单调递减，满足题意；
故的最大值为，
故选：D．
8．已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】根据，得为函数的最大值，建立方程求出的值，利用函数的单调性进行判断即可．
【详解】解：对任意，都有，
为函数的最大值，则，，
得，，
在区间，上不单调，
，
即，即，得，
则当时，最小.
故选：B.
9．函数在上单调递增，则取值范围为_____
【答案】
【分析】根据题意可求得函数的单调区间，结合在上单调递增，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】令，
可得，
因为函数在上单调递增，
故，解得，
结合，故当时，取值范围为，时不符合题意，
故取值范围为，
故答案为：