高一预习-专题强化3：一元二次函数、方程和不等式 考点梳理（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

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【考点突破】
考点一、不等式性质的应用
1．若，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．，若，则
C．若，则D．，，若，则
【答案】C
【分析】利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，当时，，故D错误，
故选：C.
2．设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式求各项中代数式的范围，注意等号成立条件.
【详解】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误；
B：由，仅当时等号成立，故，正确；
C：由，仅当时等号成立，故，错误；
D：由，仅当时等号成立，故，错误.
故选：B
考点二、解不等式
1．解下列不等式.
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将不等式转化为即可得解；（2）等价转化为，可求解集.
【详解】（1）由可得：，所以，故解集为：；
（2），等价转化为，
解得
所以不等式的解集为．
(3)﹣x2+2x﹣3＜0；
(4)﹣3x2+5x﹣2＞0.
【答案】(3)R；(4){x|1}
【分析】（3）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）2+2＞0，结合二次函数的性质分析可得答案；
（4）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x）＜0，解可得答案.
【详解】（3）根据题意，﹣x2+2x﹣3＜0⇒x2﹣2x+3＞0⇔（x﹣1）2+2＞0，
又由（x﹣1）2+2≥2，则不等式的解集为R；
（4）根据题意，﹣3x2+5x﹣2＞0⇔3x2﹣5x+2＜0⇔（x﹣1）（x）＜0，
解可得：x＜1，即不等式的解集为{x|x＜1}.
(5)；
(6)；
(7)．
【答案】(5)或；(6)；(7)
【分析】（5）将式子变形为，即可求出不等式的解集；
（6）依题意可得，由，即可得解；
（7）移项、通分，再写成等价形式，即可求出不等式的解集；
【详解】（5）解：因为，即，解得或，
所以不等式的解集为或；
（6）解：因为，即，
因为，所以方程无实数根，
又函数开口向上，所以恒成立，
所以不等式的解集为；
（7）解：由，即，可得，
等价于，解得，
所以不等式的解集为．
2．已知不等式：.
(1)若，求不等式解集；
(2)若，求不等式解集.
【答案】(1)或；(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】（1），，
当时，解得或.
所以不等式的解集为或.
（2），，
当时，由（1）得不等式的解集为或.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为或.
3．已知函数．
(1)若不等式的解集为，求，的值；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)，；；(2)答案见解析.
【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，且，根据韦达定理即可求解；
（2）等式即，对分类讨论即可求解.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以和是方程的两个根，且，
可得，解得，．
（2）当时，不等式即，即，
①当时，，解得；
②当时，不等式可化为，解得或；
③当时，不等式化为，
若，则；
若，则；
若，则，
综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
考点三、基本不等式的应用
1．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．
2．（多选）已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】对A，利用基本不等式即可判断；对B，将展开利用基本不等式可求解；对C，做差即可比较；对D，利用基本不等式可判断.
【详解】对A，，，当且仅当时等号成立，故A正确；
对B，，，当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，，即，故C错误；
对D，，，，即，当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：AB.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
【答案】BD
【分析】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.
【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误，
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数、满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，故C选项错误，
对于D选项，，
所以,当且仅当时，等号成立，可得，
时取最大值，故的最大值为，D选项正确．
故选：BD．
4．已知，，，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】利用代入变形后根据基本不等式可求出结果.
【详解】
，当且仅当析，时，等号成立.
故答案为：
考点四、不等式在实际问题中的应用
1．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】(1)10米；(2)平方米
【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少多10米，
所以，又，
所以，解得，
所以宽的最大值为10米；
（2）记整个绿化面积为S平方米，由题意得，
，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米
2．某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为，已知此生产线年产量最大为220吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
（2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？
【答案】（1）年产量为200（吨）时每吨平均成本最低，最低成本为32万元；（2）210吨．
【分析】（1）平均成本等于总成本除以年产量，得到的式子符合乘积为定值，利用基本不等式求出最小值；
（2）表示出利润得到关于x的二次不等式，求出范围即可.注意实际问题下取值范围的限制.
【详解】解∶（1）设每吨的平均成本为W，
则W=
当且仅当，即x=200（吨）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．
（2）由题意得，，
解得，x≥230或x≤210
∵0∴0当最大利润不超过1660万元时，年产量的最大值应为210吨．
【随堂演练】
1．不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘，再利用十字相乘法，可得答案，
【详解】法一：原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为．
法二：当时，不等式不成立，排除A，C；当时，不等式不成立，排除D．
故选：B．
2．已知不等式的解集为，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得2和3是方程的两个根，根据韦达定理可得，从而转化为，解该一元二次不等式即可.
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴2和3是方程的两个根.
∴，可得.
可化为，即，
即,解得.
故选:A.
3．若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】D
【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.
【详解】实数，，，
整理得，当且仅当时取，故选项A错误；
(，
当且仅当时取，故选项B错误；
，，

，当且仅当时取，
但已知,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项D正确，
故选：D
4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为（ ）
A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间
【答案】C
【解析】设销售价定为每件元,利润为,根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得每件销售价的范围.
【详解】设销售价定为每件元,利润为
则
依题意,得
即,解得
所以每件销售价应定为12元到16元之间
故选:C
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系,一元二次不等式的解法,属于基础题.
5．（多选）已知关于的不等式解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.
【详解】因为关于的不等式解集为，
所以和是方程的两个实根，且，故错误；
所以，，所以，
所以不等式可化为，因为，所以，故正确；
因为，又，所以，故正确；
不等式可化为，又，
所以，即，即，解得,故正确.
故选：BCD.
【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.
6．（多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
【答案】ABC
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．
【详解】解：因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，所以，故有最大值，故A正确；，当且仅当时取等号，
故，即有最大值，故B正确；
，当且仅当时取等号，故有最小值4，故C正确；
，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误．
故选：ABC．
7．不等式的解是___________.
【答案】
【分析】将分式不等式化为，则有即可求解集.
【详解】由题设，，
∴，可得，
原不等式的解集为.
故答案为：.
8．已知，，，则的最小值是______.
【答案】16
【分析】利用基本不等式求解．
【详解】由题意
，当且仅当，即时取等号，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是16.
故答案为：16.
9．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则的最大值为______.
【答案】9
【分析】利用均值定理求得的最小值，进而求得的最大值.
【详解】两个正实数，满足，则
则
当且仅当时等号成立，
则的最大值为9.
故答案为：9
10．若关于的不等式 解集是空集，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意推出对于恒成立，讨论是否为0，不等于0时，列出相应的不等式，综合讨论结果，即可求得答案.
【详解】由题意关于的不等式 解集是空集，
可得对于恒成立，
当时，，若，则恒成立，适合题意；
若，则，不合题意；
当时，需满足且，
解得 ，
综合以上可得实数的取值范围，
故答案为：
11．解关于x的不等式
(1)
(2)
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可.
【详解】（1）方程，即，
方程的解为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
（2）方程，即，
方程的解为，
因为，
所以，
所以不等式的解集为.
12．已知关于的不等式的解集为或.
(1)求、的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求实数的范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且求解；
（2）由（1）得到，再利用“1”的变换，结合一元二次不等式的解法求解.
【详解】（1）因为不等式的解集为或
所以，关于的方程有两个实根分别为，，且有，
所以得；
（2）由（1）知，不等式恒成立，则，
∵，
当且仅当时，取等号，
所以：，即，即
13．设p：实数x满足，q：实数x满足．
(1)若q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）通过分式不等式的等价变形，转化为一元二次不等式进行求解.
（2）通过解一元二次不等式以及必要不充分条件进行求解.
【详解】（1）若q为真，则实数x满足，即，
所以，解得：，
即q为真时，实数x的取值范围为；
（2）对于p：实数x满足，变形为：，
即，所以，
对于q，由（1）有：，
因为p是q的必要不充分条件，则q可推出p，而p不能推出q
则，解得，
故实数a的取值范围为.
14．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：（）.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？
【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于且小于.
【分析】（1）化简得，再利用基本不等式求解；
（2）解不等式即得解.
【详解】（1）依题得.
当且仅当，即时，上时等号成立，
（千辆/时）.
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得，因为，
所以整理得，即，解得.
如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和解决实际问题的能力.