高一预习-4.3 对数（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

这是一份高一预习-4.3 对数（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版），共23页。学案主要包含了知识梳理，基础自测，例题详解，课堂巩固，课时作业等内容，欢迎下载使用。

知识点一 对数的有关概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，
其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，
lg10N可简记为lg N，
lgeN简记为ln N.
知识点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔lgaN＝x.
对数恒等式：＝N；
lgaax＝x(a>0，且a≠1)．
知识点三 对数的性质
1．1的对数为零．
2．底的对数为1.
3．零和负数没有对数．
知识点四 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
知识点五 换底公式
1．lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)lgaN＝eq \f(1,lgNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝eq \f(m,n)lgab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
【基础自测】
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3)
C．lg39＝2与＝3
D．lg77＝1与71＝7
【答案】C
2．化简eq \f(1,2)lg612－2lg6eq \r(2)的结果为( )
A．6eq \r(2) B．12eq \r(2) C．lg6eq \r(3) D.eq \f(1,2)
【答案】C
【详解】原式＝lg6eq \r(12)－lg62＝lg6eq \f(\r(12),2)＝lg6eq \r(3).
3．eq \f(lg29,lg23)＝________.
【答案】2
4．设，则x＝ .
【答案】13
5．若对数lg(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)
【详解】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≠1，,2x－3>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,x≠2，,x>\f(3,2)，))得x>eq \f(3,2)且x≠2.
【例题详解】
一、指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7)；(8)
【分析】根据对数式与指数式的互化即可得解.
【详解】(1)解：因为，所以；
(2)解：因为，所以；
(3)解：因为，所以；
(4)解：因为，所以；
(5)解：因为，所以；
(6)解：因为，所以；
(7)解：因为，所以；
(8)解：因为，所以.
跟踪训练1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【分析】（1）由对数的定义改写；
（2）由对数的定义改写；
（3）由对数的定义改写；
（4）由对数的定义改写．
【详解】（1）由对数定义得；
（2）由对数定义得；
（3）由对数定义得；
（4）由对数定义得．
二、利用对数式与指数式的关系求值
例2 求下列各式中的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【分析】根据对数的定义，进而进行指对数式的互化即可求得答案.
【详解】(1)由题意，.
(2)由题意，，而且，所以.
(3)由题意，.
(4)由题意，.
跟踪训练2 求下列各式中x的值：
（1）lgx3＝；
（2）lg64x＝－；
（3）－lne2＝x；
（4）；
（5）lg5[lg3(lg2x)]＝0.
【答案】（1）9；（2）；（3）－2；（4）3；（5）8.
【分析】利用对数的概念及指数式对数式互化即得.
【详解】（1）由lgx3＝，得＝3，所以x＝9.
（2）由lg64x＝－，得x＝＝＝4－2＝，所以x＝.
（3）因为－lne2＝x，所以lne2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.
（4）由，得2x2－4x＋1＝x2－2，
解得x＝1或x＝3，又因为x＝1时，x2－2＝－1<0，舍去；
x＝3时，x2－2＝7>0，2x2－4x＋1＝7>0，符合题意．
综上，x＝3.
（5）由lg5[lg3(lg2x)]＝0，得lg3(lg2x)＝1，
所以lg2x＝3，
故x＝23，即x＝8.
三、利用对数性质及对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值：
(1)lg2(lg5x)＝0；(2)lg3(lg x)＝1；(3) (4).
【详解】(1)∵lg2(lg5x)＝0，∴lg5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
(3)
(4)∵，∴2x+1=27，∴x=13
跟踪训练3 (1)求下列各式中的的值：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②．
【答案】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②．
【分析】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①根据对数式与指数式互化公式进行求解即可；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②根据对数式与指数式互化公式，结合对数的定义进行求解即可.
【详解】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①由，得，解得；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②由，
得，，且，且，解得（舍去）．
(2)若lg2(lg3x)＝lg3(lg4y)＝lg4(lg2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【详解】∵lg2(lg3x)＝0，∴lg3x＝1.
∴x＝3. 同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
四、对数运算性质的应用
例4 (1)__________
【答案】
【分析】根据对数运算性质解决即可.
【详解】由题知，，
故答案为：
(2)______
【答案】
【分析】利用对数的性质进行计算.
【详解】.
故答案为：.
(3)计算：_________.
【答案】
【分析】由对数和指数幂的运算性质计算即可.
【详解】原式.
故答案为：.
(4)计算： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
【答案】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②1
【分析】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①根据对数的运算法则化简，即可求得答案;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②根据对数的运算法则结合完全平方公式化简，即可求得答案;
【详解】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②.
跟踪训练4 (1)（多选）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据对数的运算逐项分析判断.
【详解】对A：，A正确；
对B：，B错误；
对C：，C正确；
对D：，D正确.
故选：ACD.
(2)__________
【答案】1
【分析】根据对数的运算法则性质化简即可得解.
【详解】
故答案为：1
五、对数换底公式的应用
例5 (1)已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由得到，用换底公式把写出以18为底的对数，即可分解.
【详解】由，，
所以，，
所以.
故选：C.
(2)已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用对数的定义和换底公式、以及运算性质，计算即可得到所求值．
【详解】解：若，
可得，，
则
，
故选：A．
(3)_________.
【答案】
【分析】根据对数运算法则和换底公式直接求解即可.
【详解】.
故答案为：.
跟踪训练5 (1)已知,则＝（ ）
A．a+bB．2a-bC．D．
【答案】C
【分析】根据换底公式将写为,再用对数运算法则展开,将代入即可.
【详解】解:因为,而.
故选:C
(2)已知（a为常数，且，），则________．（用a表示）
【答案】
【分析】先利用指数式和对数式互化得到所以，再利用换底公式得到，然后利用对数运算求解.
【详解】因为，
所以，
则，
所以，
故答案为：
六、对数的综合应用
例6 地震的强烈程度通常用里震级表示，这里A是距离震中100km处所测得地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅，则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的（ ）倍．
A．1000B．100C．2D．
【答案】B
【分析】利用，求得，代入，从而求得结果.
【详解】解：依题意，，则，即
则,则里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍.
故选：B.
跟踪训练6 芙萨克·牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》为太昍中心说提供了强有力的理论支持，推动了科学革命．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（単位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得，再根据指数与对数的关系计算可得.
【详解】依题意可得，即，所以，
所以.
故选：A
【课堂巩固】
1．已知，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】指数式化为对数式，得出结果.
【详解】因为，所以.
故选：D
2．lg 8＋3lg 5的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】D
【详解】lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3.
3．已知函数，且，则（ ）
A．a＝1，b＝4B．a＝2，b＝﹣2C．a＝4，b＝3D．a＝4，b＝﹣4
【答案】D
【分析】由题得方程2a+b＝4，3a+b＝8，解方程即得解.
【详解】解：∵，
∴，，
∴2a+b＝22＝4，3a+b＝23＝8，
解得a＝4，b＝﹣4，
故选：D．
4．已知某品牌手机电池充满电量为毫安，每经过小时，电量消耗，若电池电量不超过毫安时充电最佳，那么该手机至少可以待机小时．（待机小时取整数，参考数据：，）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知小时后，该手机剩余的电量为毫安，解不等式可得结论.
【详解】由题意可知，小时后，该手机剩余的电量为毫安，
小时后，该手机剩余的电量为毫安，，
以此类推可知，小时后，该手机剩余的电量为毫安，
由，即，
所以，，
因此，该手机至少可以待机小时.
故选：A.
5．（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】AC
【分析】根据逐项判断即可求解.
【详解】依题意，由可得：
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：AC.
6．若，则___________．
【答案】/
【分析】将对数式化为指数式来求得正确答案.
【详解】由，则
故答案为：
7．计算：_________．
【答案】1
【分析】根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算即可.
【详解】．
故答案为：1．
8．__________
【答案】
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故答案为：.
9．若，，用a，b表示____________
【答案】
【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：.
10．若_____．
【答案】8
【分析】根据对数的概念计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴，解得，
故答案为：8.
11．将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答.
【详解】（1）因为，所以有：.
（2）因为，所以有：.
（3）因为，所以有：.
（4）因为，所以有：.
（5）因为，所以有：.
（6）因为，所以有：.
12．求下列各式中的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)125；(2)；(3)；(4)
【分析】将对数式化为指数式，从而可得出答案.
【详解】(1)解：因为，所以；
(2)解：因为，所以，解得
(3)解：因为，所以，所以；
(4)解：因为，所以，所以.
13．已知，，求的值.
【答案】
【分析】由指对互化得，，再根据指数幂的运算即可得到答案.
【详解】，，
，，
.
14．计算下列各式的值：
(1)lg535＋2－lg5eq \f(1,50)－lg514；
(2)[(1－lg63)2＋lg62·lg618]÷lg64；
(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)．
【详解】(1)原式＝lg535＋lg550－lg514＋2＝lg5eq \f(35×50,14)＋＝lg553－1＝2.
(2)原式＝[(lg66－lg63)2＋lg62·lg6(2×32)]÷lg64
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg6\f(6,3)))2＋lg62·lg62＋lg632))÷lg622
＝[(lg62)2＋(lg62)2＋2lg62·lg63]÷2lg62
＝lg62＋lg63＝lg6(2×3)＝1.
(3)(lg43＋lg83)(lg32＋lg92)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))
＝eq \f(5lg 3,6lg 2)×eq \f(3lg 2,2lg 3)＝eq \f(5,4).
【课时作业】
1．设，则的值是（ ）
A．1B．2C．4D．9
【答案】B
【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案.
【详解】由，则，，.
故选：B.
2．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.
【详解】对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；
对于选项B，，故B选项错误；
对于选项C，错误，正确的应该是，故C不正确；
对于选项D，，故D正确．
故选：D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得的变形式.
【详解】，
又，则
故选：B
4．声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：W/m2）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB；一般说话时，声音的等级约为60 dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A．106倍B．108倍C．1010倍D．1012倍
【答案】B
【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，根据题意得出，，计算求的值．
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，则，
，则，
所以，
因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍．
故选：B．
5．若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，再代入的解析式即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故选：D.
6．已知，，且，则ab的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.
【详解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选：C.
7．已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意判断的单调性，根据函数单调性确定函数值大小.
【详解】对任意，均有成立，
所以在单调递减，
又因为上的偶函数，所以在单调递增，
，，即，
故，即.
故选：A
8．我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍，则m的值为（参考数据：，）（ ）
A．100B．115C．230D．345
【答案】B
【分析】根据指数与对数的联系计算即可.
【详解】由题意可得：，两边取常用对数可得，即．
故选：B
9．计算：______．
【答案】
【分析】根据指数和对数的运算公式进行求解.
【详解】.
故答案为：.
10．__________.
【答案】1
【分析】由对数换底公式以及对数恒等式、对数运算法则进行计算求得结果.
【详解】.
故答案为：1.
11．______．
【答案】
【分析】直接利用对数的换底公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
12．=____________ ；
【答案】
【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果.
【详解】原式
．
故答案为：.
13．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据）
【答案】
【分析】根据题意解方程即可得解.
【详解】由题意可知：，解得，
所以.
故答案为：.
14．已知，求x的值．
【答案】64
【分析】利用指数和对数的形式转化求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
则.
15．计算:
(1)；
(2).
【答案】(1)2；(2)4
【分析】（1）利用对数的运算法则和换底公式即可求出结果；
（2）利用换底公式、对数的运算法则和即可求出结果
【详解】（1）
.
（2）
.
16．已知实数，满足，．
(1)用表示；
(2)计算的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】根据对数的运算法则及性质求解即可.
【详解】（1）由题意可知，
所以．
（2）因为，
所以．
17．若＝m，＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．
【详解】因为＝m，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m.
因为＝m＋2，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4.
所以eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
18．已知函数（且）.
(1)若函数的图象经过点，求的值；
(2)比较与大小，并写出比较过程；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)或
【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，结合的取值范围可求得的值；
（2）计算可得，分、两种情况讨论，利用函数的单调性可得出与大小关系；
（3）由已知可得，等式两边取常用对数可得出关于的方程，解之即可.
【详解】（1）解：因为函数的图象经过，则，
因为且，解得.
（2）解：因为，
当时，函数在上为增函数，则；
当时，函数在上为减函数，则.
综上，当时，；当时，.
（3）解：由可得，所以，，
即，可得或，所以，或.