高一预习-5.5 三角恒等变换（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

这是一份高一预习-5.5 三角恒等变换（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版），共32页。学案主要包含了知识梳理，基础自测，例题详解，课堂巩固，课时作业等内容，欢迎下载使用。
知识点一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
(2) cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
(3) tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ．
知识点二 二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcs α；
②cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
(2)公式变形：
由cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
知识点三 辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ). （其中）
＝eq \r(a2＋b2)cs(x—φ). （其中）
【基础自测】
1．若tan α＝eq \f(1,2)，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C. eq \f(4,5) D. eq \f(3,5)
【答案】D
【详解】∵tan α＝eq \f(1,2)，
∴cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(1－\f(1,4),1＋\f(1,4))＝eq \f(3,5).
2．若cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为( )
A. eq \f(\r(2),2) B. eq \f(1,2) C. eq \f(56,65) D. eq \f(36,65)
【答案】C
【详解】因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以α＋β∈(0，π)，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).
又因为cs(α＋β)＝eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(5,13)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(4,5)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(12,13)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＝eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＝eq \f(56,65).
故选C.
3．tan 10°＋tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝ .
【答案】eq \r(3)
【详解】∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan 10°＋tan 50°,1－tan 10°tan 50°)，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°，
∴原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝eq \r(3).
4．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .
【答案】eq \f(1,6)
【详解】方法一 cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))))＝eq \f(1,2)(1－sin 2α)＝eq \f(1,6).
方法二 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs α－eq \f(\r(2),2)sin α，
所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)(cs α－sin α)2 ＝eq \f(1,2)(1－2sin αcs α)＝eq \f(1,2)(1－sin 2α)＝eq \f(1,6).
5．已知α，β均为锐角，cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，则cs 2α＝ ，2α－β＝ .
【答案】eq \f(1,7) eq \f(π,3)
【详解】因为cs α＝eq \f(2\r(7),7)，所以cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(1,7).
又因为α，β均为锐角，sin β＝eq \f(3\r(3),14)，
所以sin α＝eq \f(\r(21),7)，cs β＝eq \f(13,14)，
因此sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(4\r(3),7)，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2).
因为α为锐角，所以0