高一预习-5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

这是一份高一预习-5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版），共38页。学案主要包含了知识梳理，基础自测，例题详解，课堂巩固，课时作业等内容，欢迎下载使用。
知识点一 简谐运动的有关概念
知识点二 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
知识点三 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
知识点四 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
【基础自测】
1．已知ω>0，函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的一条对称轴为x＝eq \f(π,3)，一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
【答案】A
【详解】由题意知eq \f(π,3)－eq \f(π,12)≥eq \f(T,4)，故T＝eq \f(2π,ω)≤π，ω≥2.
2．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则具有性质( )
A．最小正周期为
B．图象关于直线对称
C．图象关于点对称
D．在上单调递减
【答案】D
【详解】由题意可得，
所以的最小正周期，故A错误；
因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；
因为，所以的图象不关于点对称，故C错误；
因为时，，所以在上单调递减，故D正确.
故选：D
3．将曲线C1：y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))上的点向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为( )
A．y＝2sin 4x B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))
C．y＝2sin x D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
【答案】A
【详解】将曲线C1：y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))上的点向右平移eq \f(π,6)个单位长度，可得y＝2sin 2x的图象，再将各点横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，可得曲线C2：y＝2sin 4x，故选A.
4．要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度B．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,4)个单位长度D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度
【答案】A
【详解】y＝sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))－\f(π,4))).
若设f(x)＝sin 2x＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))－\f(π,4)))，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
所以向左平移eq \f(π,8)个单位长度．
5．函数的部分图象如图所示，则可能是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由图象可知：，且，所以，不妨设：，将代入得：，即，，解得：，，当时，，故A正确，其他选项均不合要求.
故选：A
【例题详解】
一、平移变换
例1 (1)将函数的图象向右平移个单位，可以得到（ ）
A．的图象 B．的图象 C．的图象 D．的图象
【答案】D
【分析】利用相位变化和诱导公式直接得到答案.
【详解】将函数的图象向右平移个单位得到的图像
故选：D
(2)要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移3个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移3个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】利用相位变化直接求解.
【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度．
对照四个选项，选B.
故选：B
(3)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则可能的取值是______．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（满足，即可）
【分析】由题可先将平移后的函数解析式求出，再将点代入函数解析式，即可进行求解．
【详解】函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数解析式，又因为平移后的图象经过点，
所以得到，所以，
解得，，不妨令，则，
故答案为：．（答案不唯一）
跟踪训练1 (1)要得到的图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】利用诱导公式将变形为，从而根据三角函数的图象变换即可求解.
【详解】解：因为，
所以要得到的图象，只要将的图象向左平移个单位，
故选：C.
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象经过点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数的图象，由所得图象经过点和的范围可得答案.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，由所得图象经过点，可得，
则，，则，，又，所以的最小值为．
故选：C．
二、伸缩变换
例2 (1)将函数的图像上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图像对应的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据图像的变换原则即可得到结果
【详解】由题,将函数的图像上各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,即得到,
故选：B
【点睛】本题考查三角函数图像变换,属于基础题
(2)函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为，则的值为________．
【答案】
【解析】直接由函数图象的周期变化求得的值．
【详解】解：把函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
所得图象对应的函数解析式为，
的值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了型函数的周期变化，属于基础题．
跟踪训练2 (1)将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图像变换原则可得新曲线为,令求解即可
【详解】将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线,
令,得
故选：A
【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心
(2)将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到____________的图像.
【答案】
【分析】根据正弦型函数的图像变换的性质进行求解即可.
【详解】将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到的图像，
故答案为：
【点睛】本题考查了正弦型函数图像的变换性质的应用，属于基础题.
三、图象的综合变换
例3 (1)已知函数，为了得到函数的图象，只需（ ）
A．先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位
B．先将函数图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位
C．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的
D．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍
【答案】B
【分析】直接利用三角函数图像变换可得.
【详解】对于A：先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到，故A错误；
对于B：先将函数图象上点的横坐标变为原来的，得到，再右移个单位，得到，即为，故B正确；
对于C: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的，得到，故C错误；
对于D: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到，故D错误；
【点睛】：
关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变ωa；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa，那么平移长度不等于a.
(2)已知函数，先将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.
【详解】解：先将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，
再向左平移个单位长度，则，
故选：A．
(3)将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知将图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度可得的图象，从而可求出的解析式.
【详解】因为函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
所以将图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
得，再向左平移个单位长度可得
的图象，
故选：D.
(4)说明y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的．
【详解】方法一 先伸缩后平移y＝sin x的图象eq \(――――――――――――→,\s\up7(各点的纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d5(且关于x轴作对称变换))y＝－2sin x的图象eq \(――――――――――――→,\s\up10(各点的横坐标缩短到原来的\f(1,2)))y＝－2sin 2x的图象eq \(―――――――――→,\s\up10(向右平移\f(π,12)个单位长度)) y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(向上平移1个单位长度))
y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象．
方法二 先平移后伸缩
y＝sin x的图象eq \(―――――――――――――→,\s\up7(各点的纵坐标伸长到原来的2倍),\s\d5(且关于x轴作对称变换))y＝－2sin x的图象eq \(――――――――→,\s\up10(向右平移\f(π,6)个单位长度))y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的图象eq \(――――――――→,\s\up7(各点的横坐标缩短到),\s\d8(原来的\f(1,2)))y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(向上平移1个单位长度))y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的图象．
跟踪训练3 (1)要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
【答案】A
【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论．
【详解】，
将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到，
故选：.
(2)为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可.
【详解】
将函数向左平移个单位得：
故选：B
(3)把函数图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．1B．C．－1D．
【答案】D
【分析】由题意，将函数的图像，向右平移个单位长度，再把所得曲线图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，即可得的图像，即可得解析式，由此可得答案.
【详解】解：由题意，将函数的图像，向右平移个单位长度，得，
再把所得曲线图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得，
解析式为，
则，
故选：D
四、由图象求三角函数的解析式
例4 (1)函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图象可求出周期T以及A，从而求出，再根据图象过即可求解.
【详解】观察图象知，A＝2，函数周期， 则，，
又函数图象过，则，k∈Z，而，有，，
所以.
故选：B
(2)已知函数的部分图像如图所示，则________．
【答案】
【分析】根据函数的周期求出的值，再根据五点法求出即得解.
【详解】解：由知，，由五点法可知，
，即，又，所以
故答案为：
跟踪训练4 (1)若如图所对应的是某个函数的一部分图象，则此函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出函数表达式，根据其图像，依次求出，计算可得函数图像过点，代入函数表达式可得，进而得到答案.
【详解】设函数为，
由函数图像可知，，
函数周期为，所以，
所以，
当时，函数取得最大值，即函数过，
所以，
解得即，时，，
所以.
故选：A.
(2)已知函数（，，）的部分图象如图所示.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合图像性质求出解析式，再根据诱导公式与二倍角公式，即可求解.
【详解】根据题意，结合图像易知，，，因此，
因为函数图像过点，所以，
即，，由，解得，故.
又因为，所以，即，
因此.
故选：C.
五、三角函数性质的综合问题
例5 (1)已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间的最小值为
D．为偶函数
【答案】D
【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断
【详解】因为的图象过点，
所以，
因为，所以，
因为的图象过点，
所以由五点作图法可知，得，
所以，
对于A，因为，所以为的图象的一条对称轴，所以A错误，
对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B错误，
对于C，当时，，所以，所以在区间的最小值为，所以C错误，
对于D，，令，
因为，所以为偶函数，
所以D正确，
故选：D
(2)函数的的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将给定函数变形成，再借助正弦函数单调性列不等式求解即得.
【详解】函数，由得：
，
所以函数的的单调递减区间是：.
故选：B
(3)已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值.
【详解】因为，所以，即，，
又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后，
所得函数，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以，，即，，
当时，，所以的最小值为.
故选:A.
跟踪训练5 (1)已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
①函数的图象关于点对称
②函数的图象关于直线对称
③函数在单调递减
④该图象向右平移个单位可得的图象
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
【答案】A
【解析】根据的图象及三角函数图像和性质，解得函数的解析式，得到，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.
【详解】由函数的图象可得，周期
所以，
当时函数取得最大值，即，
所以，则，
又，得 ，
故函数，
对于①，当时，，正确；
对于②，当时，，正确；
对于③，令得，
所以函数的单调递减区间为，，所以不正确；
对于④，向右平移个单位，，所以不正确；
故选：A.
【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.
(2)已知函数（）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将的图象上所有点向右平移个单位后，所得函数图象关于y轴对称，则的最小正值为___________.
【答案】
【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为得到及，由的图象上所有点向右平移个单位得到的图象关于y轴对称，可得.
【详解】由题意的最小正周期，∴，，
的图象上所有点向右平移个单位后，得到
的图象关于y轴对称，
∴，，，
，∴的最小正值为.
故答案为：.
【课堂巩固】
1．把函数图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像；再将图像上所有点向左平移个单位，得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图像变化求解即可.
【详解】函数图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数；
将图像上所有点向左平移个单位，得到函数，
故选：A
2．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】A
【分析】首先求平移后的解析式，再根据函数的性质，求的一个可能取值.
【详解】函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，函数关于奇函数，
所以当时，，解得：，
当时，.
故选：A
3．为得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
故可由的图象向左平移个单位长度得到.
故选：A.
4．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
【答案】D
【解析】根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.
【详解】由图象可知
，，
∴，
则.
将点的坐标代入中，
整理得，
∴，
即；，∴，
∴.
∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
∴.
，
∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
∴的最小正周期，故B不正确.
令，解得，
则函数图像的对称轴为直线.
故C错误；
由，
可得，
∴函数的单调递增区间为.
故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.
5（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为B．的一条对称轴为
C．是奇函数D．在区间上单调递增
【答案】AD
【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.
A. 的最小正周期为，所以该选项正确；
B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；
C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.
故选：AD
6．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为______________．
【答案】
【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式．
【详解】由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过,，
把点的坐标代入三角函数的解析式，
，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
7．已知函数=.
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)当x，求函数的值域.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据正弦型函数周期的计算公式，即可求得函数的最小正周期；
（2）令，即可求得函数的单调递增区间；
（3）由求得，结合正弦函数的性质求得其的最值，即可得到函数的值域.
【详解】(1)由解析式可知：最小正周期为.
(2)由解析式，令，解得，
∴的单调递增区间为.
(3)当，可得，
结合正弦型函数的性质得：
当时，即时，函数取得最大值，最大值为；
当时，即时，函数取得最小值，最小值为，
∴函数的值域为.
8．已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴；
(2)若，求函数的值域．
【答案】(1)，（）；(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换得到，再计算周期和对称轴得到答案.
（2），则，得到函数值域.
【详解】(1)，
，对称轴满足：，对称轴为，.
(2)，则，，.
故函数的值域为.
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ0)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝________.
【答案】eq \f(14,3)
【详解】依题意知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，∴f(x)图象关于直线x＝eq \f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)对称，
即关于直线x＝eq \f(π,4)对称，且eq \f(π,3)－eq \f(π,6)