甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷

这是一份甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知，则，已知定义在上的偶函数满足且，则，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．3D．
4．已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
6．“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的偶函数满足且，则（ ）
A．4049B．2025C．4048D．2024
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，且，，若，则下列不等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象的一条对称轴方程为
C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在区间上单调递增
11．已知曲线的方程为，是以点为圆心、1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的焦点坐标为
B．曲线过点
C．若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为
D．若曲线在的上方，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是______．
13．若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是______．
14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知点，圆：，若圆上存在点，使得，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的长．
16．（本小题满分15分）
人工智能（英语：Artificial intelligence，缩写为AI）亦称智械、机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技术．人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、使用工具和操控机械的能力等．当前有大量的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来源于大脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库．某中学计划在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了400人进行调查，整理得到如下列联表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行采访，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
17．（本小题满分15分）
如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且．
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，是上两点（点，不同于点），直线，分别交直线于，两点，若，证明：直线过定点．
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；
（3）若数列满足且，记数列的前项和为，求证：．
永昌县第一高级中学2024－2025－1第一次月考试卷・高三数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 由题意，得，所以．故选C．
2．A 因为复数满足，所以，所以．故选A．
3．D 因为，所以，即．因为，所以．故选D．
4．B 设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，所以，所以，所以，解得，所以该圆锥的底面直径为．故选B．
5．C 根据题意设双曲线的方程为，因为经过点，所以，即，所以双曲线的方程为，即．故选C．
6．B 先将《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座全排列，共有种排法，再将《大学》《论语》《周易》看作3个元素，插入产生的7个空隔中，共有种排法，故总共有种排法．故选B．
7．A 因为，所以，即，所以．故选A．
8．A 由，令，得，又令得，再令，又，所以，又，，所以，4为的一个周期，，．故选A．
9．ABD 若，因为，所以．当时，A正确，当时，B正确；若，因为，所以．综上，，故C错误，D正确．故选ABD．
10．ABC ，函数的最小正周期为，故A正确；由，得，当时，，故B正确；由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确．因为，函数在上不单调，故D错误．故选ABC．
11．BCD 对于选项A，，抛物线的焦点坐标为，故A错误；对于选项B，圆的标准方程为：，点代入圆的方程得，所以圆过点（，故B正确；对于选项C，设被所截得的线段为，中点为，联立和有，故，故代入得，解得，故C正确；对于选项D，如图所示，在的上方时，抛物线和圆无交点，联立和有，且，解得，故D正确．故选BCD．
12．50 先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78，共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为．
13． 命题“，使得”是假命题，即“0”是真命题，所以解得，即的取值范围是．
14．[8，12] 设，因为，所以，整理得，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，所以圆与圆有公共点，所以，又，所以，解得，即的取值范围是[8，12]．
15．解（1）因为，所以，
根据正弦定理得，
根据余弦定理得，
由于，所以．
（2）因为，所以．
由余弦定理可知，所以．
16．解：（1）零假设为：对人工智能是否感兴趣与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联．
（2）从对人工智能感兴趣的学生中抽取的男生人数为人，抽取的女生人数为人．
的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，，，，
的分布列为：
所以．
17．（1）证明：设是的中点，连接，
因为是的中点，则．
因为，所以，所以．
因为平面，平面，所以，
因为，所以．
又，，平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）解：因为平面平面，所以，四边形是正方形，结合（1）的结论可知，，两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，可得．
设平面的法向量为，则令，可得．
所以，
即平面与平面的夹角的正弦值为．
18．（1）解：设椭圆的半焦距为，由题意得解得
故椭圆的标准方程为．
（2）证明：由（1）知，由题意可知直线的斜率不为0，否则，将位于轴同侧，，不合题意；
设的方程为，代入，得，
由，得，
设，，则，，
所以，
，
直线的方程为，令，得，
故，同理可得，
所以，
由，得，
即，所以，
所以，，解得（舍），
所以直线的方程为，故直线过定点．
19．（1）解：若，则，所以，
所以，又，
所以的图象在处的切线方程为，即．
（2）解：，
令，所以．
当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，符合题意；
当，即时，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，
又，所以存在，使得，
所以当时，，所以在上单调递减，
所以，不符合题意．
综上，的取值范围是．
（3）证明：因为，所以，即，
所以是公差为的等差数列，
又，所以，所以．
由（2）知当时，，
所以当时，，即，
所以
，
所以，
又，所以．感兴趣
不感兴趣
合计
男生
180
40
220
女生
120
60
180
合计
300
100
400
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3