雅礼2024级高一第一次月考数学试卷及参考答案含答题卡

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一．选择题（共8小题）
1．下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可求得集合，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系.
【详解】根据题意由可得，即；
解方程可得或，解得或或或，
即可得；
因此可得集合有交集，但没有包含关系.
故选：A
2．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[﹣1.6]＝﹣2，那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：若[x]＝[y]，设[x]＝[y]＝k，
则x∈[k，k+1），且y∈[k，k+1），
∴|x﹣y|＜1；
若|x﹣y|＜1，不妨取x＝0.5，y＝1.2，则[x]≠[y]，
∴“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的充分不必要条件，
故选：A．
3.已知命题P: ∀x∈R , xx−1>0 , 则 ¬p 为(D)
A. ∀x∈R,xx−1≤0
B. ∃x∈R,xx−1≤0
C. ∀x∈R , xx−1≤0 或 x−1=0
D. ∃x∈R , xx−1≤0 或 x−1=0
【答案】
因为全称命题的否定是特称命题,所以命题P, ∀ x ∈ R, x/(x-1)>0,则 ¬p 为 ∃ x ∈ R.x/(x-1)≤0或x-1=0,故选D.
4.若正实数 x , y 满足 x+4y−xy=0 , 则 xy 的取值范围为( )
A. (0,4]
B. [2,+∞)
C. [4,+∞)
D. [16,+∞)
【答案】
x>0 , y>0 , x+4y=xy ,
由基本不等式得 x+4y≥24xy=4xy , 即 xy≥4xy ,
解得 xy≥16 .
故选 : D .
5．已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（ ）
A．0＜a≤12B．0＜a≤13C．a≤13D．a≥13
【答案】C
【解答】解：若命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，
①当a＝0时，则有2x+3＞0，不符合题意；
②当a＜0时，开口向下，不符合题意；
③当a＞0时，Δ＝22﹣4•a•3＜0，解得a＞13．
综上可得，a＞13，
故命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0的否定是真命题，实数a的取值范围是a≤13．
故选：C．
6．若实数α，β满足﹣13＜α＜β＜﹣12，则α﹣β的取值范围是（ ）
A．﹣13＜α﹣β＜﹣12B．﹣25＜α﹣β＜0
C．﹣1＜α﹣β＜0D．﹣1＜α﹣β＜1
【答案】C
【解答】解：因为﹣13＜α＜β＜﹣12，所以α﹣β＜0，
且﹣13＜α＜﹣12，﹣13＜β＜﹣12，
所以12＜﹣β＜13，
所以﹣1＜α﹣β＜0，
即α﹣β的范围为（﹣1，0）．
故选：C．
8．已知长为a，宽为b的长方形，如果该长方形的面积与边长为k1的正方形面积相等；该长方形周长与边长为k2的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为k3的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为k4的正方形面积和周长的比相等，那么k1、k2、k3、k4大小关系为（ ）
A．k1≤k4≤k2≤k3B．k3≤k1≤k2≤k4
C．k4≤k1≤k3≤k2D．k4≤k1≤k2≤k3
【答案】D
【解答】解：由题意可得，ab=k12 ①，a+b＝2k2 ②，a2+b2=2k3 ③，aba+b=k422k4 ④，且a，b＞0，
由基本不等式的关系可知：a+b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，；
由①②得，2k2≥2k1，所以 k2≥k1⑤；
由a2+b2≥(a+b)22，当且仅当a＝b时等号成立，
由②③得，2k32≥4k222，所以 k3≥k2⑥．
由aba+b≤ab2ab=ab2，当且仅当a＝b时等号成立．
由①④得，k422k4≤k12，所以k4≤k1⑦．
综合⑤⑥⑦可得，k4≤k1≤k2≤k3．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
9．下列说法不正确的是（ ）
A．“a＜b”是“1a＞1b”的必要不充分条件
B．若x+y＝1，则xy的最大值为2
C．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（x1，x2），则必有a＜0
D．命题“∃x∈R，使得x2+1＝0．”的否定为“∀x∉R，使得x2+1≠0”
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A：例如a＝﹣1，b＝1，则1a=−1，1b=1，
即a＜b，满足题意，但1a＞1b不成立，即充分性不成立；
例如a＝1，b＝﹣1，则1a=1，1b=−1，
即1a＞1b，满足题意，但a＞b，即必要性不成立；
所以“a＜b”是“1a＞1b”的既不充分也不必要条件，故A不正确；
对于选项B：若x+y＝1，则xy≤(x+y)24=14，当且仅当x=y=12时，等号成立，
所以xy的最大值为12，故B不正确；
对于选项C：若a＝0，则bx+c＞0的解集不可能为两数之间，不合题意；
若a＞0，则ax2+b x+c＞0的解集不可能为两数之间，不合题意；
综上所述：若不等式ax2+b x+c＞0的解集为（x1，x2），则必有a＜0，故C正确；
对于选项D：命题“∃x∈R，使得x2+1＝0．”的否定为“∀x∈R，使得x2+1≠0”，故D不正确．
故选：ABD．
10．已知正数a，b满足2a+3b＝8，则下列说法正确的是（ ）
A．ab≤83B．2a+2b＞7
C．4a2+9b2≥32D．12a+6b+14a+3b≥16
【答案】ACD
【解答】解：A：8=2a+3b≥22a⋅3b，
故ab≤83，当且仅当2a＝3b＝4时等号成立，故A正确；
B：当b＝2，a＝1时，B显然错误；
C：4a2+9b2＝（2a+3b）2﹣12ab＝64﹣12ab≥32，故C正确；
D：由2a+3b＝8可得6a+9b＝3（2a+3b）＝24，
即2a+6b+（4a+3b）＝24，
所以12a+6b+14a+3b=124（2a+6b+4a+3b2a+6b+2a+6b+4a+3b4a+3b）=124（2+4a+3b2a+6b+2a+6b4a+3b）≥124（2+24a+3b2a+6b⋅2a+6b4a+3b）=16，
当且仅当2a+6b＝4a+3b，即，即a＝2，b=43时等号成立，故D正确．
故选：ACD．
11．对于一个非空集合B，如果满足以下四个条件：
①B⊆{（a，b）|a∈A，b∈A}；
②∀a∈A，（a，a）∈B；
③∀a，b∈A，若（a，b）∈B且（b，a）∈B，则a＝b；
④∀a，b，c∈A，若（a，b）∈B且（b，c）∈B，则（a，c）∈B．
就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ）
A．设A＝{1，2}，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合B共有3个
B．设A＝{1，2，3}，则集合B＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，3）}是集合A的一个“偏序关系”
C．设A＝{1，2，3}，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个
D．R'＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个“偏序关系”
【答案】ACD
【解答】解：A，∵A＝{1，2}，∴集合B＝{（1，1），（2，2）}或B＝{（1，1），（2，2），（1，2）}或B＝{（1，1），（2，2），（2，1）}共3个，∴A正确，
B，由③知，（1，2），（2，1）不能同时出现，∴B错误，
C，必须含有（1，1），（2，2）（3，3），
∵（1，2）与（2，1），（1，3）与（3，1），（2，3）与（3，2）不能同时出现，
∴再从（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2）中取一个，共6个，∴C正确，
D，R′＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}满足①②，
∵∀（a，b）∈R′，a≤b，∀（b，a）∈R′，b≤a，∴a＝b，满足③，
∵∀（a，b）∈R′，a≤b，∀（b，c）∈R′，b≤c，∴a≤c，∴（a，c）∈R′，∴D正确，
故选：ACD．
二．填空题（共3小题）
12．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}⊇{0，ba}，则a+b＝ 0 ．
【答案】0．
【解答】解：∵a，b∈R，集合{1，a+b，a}⊇{0，ba}，
∴由ba可知a≠0，
又{1，a+b，a}⊇{0，ba}，故a+b＝0．
故答案为：0．
13．已知条件¬p：﹣3＜x＜0，条件¬q：x＞a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是 （﹣∞，﹣3] ．
【答案】（﹣∞，﹣3]．
【解答】解：∵¬p：﹣3＜x＜0，∴p：x≥0或x≤﹣3，设P＝{x|x≥0或x≤﹣3}，
∵¬q：x＞a，∴q：x≤a，设Q＝{x|x≤a}，
由于q是p的充分不必要条件，则Q⊊P，∴a≤﹣3．
故答案为：（﹣∞，﹣3]．
14．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理．在下面两个图中，若AC＝b，BC＝a（b≥a），AB＝c，图中两个阴影三角形的周长分别为l1，l2，则l1+l2a+b的最小值为 ．
【答案】1+22．
【解答】解：如图1，易知△BDE∽△ACB，且BD＝CD﹣BC＝b﹣a，
所以BDAC=b−ab=l1a+b+c，所以l1=b−ab×(a+b+c)；
如图2，易知△GFH∽△ACB，且FG＝a，
所以FGAC=ab=l2a+b+c，所以l2=ab×(a+b+c)，
所以l1+l2a+b=a+b+ca+b=1+a2+b2a+b=1+a2+b2a2+b2+2ab=1+11+2aba2+b2，
又因为a2+b2≥2ab，所以2aba2+b2≤1，当且仅当a＝b时取等号，
所以l1+l2a+b≥1+11+1=1+22，
所以最小值为1+22．
故答案为：1+22．
三、解答题（共5小题）
15.已知 A={x∣−2≤x≤3} , B={x∣a−5