[数学]安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期开学摸底考试题(解析版)

这是一份[数学]安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期开学摸底考试题(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由可得或，
故，
故，
故选：C.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，
由可得或，
故能得到，同时也无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A. 86B. 87C. 88D. 90
【答案】B
【解析】将数据从小到大排序得，
因为，
所以第75百分位数是．
故选：B．
4. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 事件A与事件B互斥
C. 事件A与事件B相互独立D.
【答案】C
【解析】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；
事件B含有的基本事件有8个：，
其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，
即事件A与事件B相互独立，C正确；
，D不正确.
故选：C.
5. 已知，，若，则实数m的值为（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】C
【解析】，
即，
，故，
则，
由于，故，
解得或，
因为，所以，故，
即，解得.
故选：C.
6. 已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
在上的投影向量为，故，故，
所以，
则在上的投影向量为.故选：A.
7. 已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，则故，令，则或，
由解析式知：在上递减且值域，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为．
作出的草图如下，
令且，则，，，为与的交点横坐标，
由图知：，且，
则，
由对勾函数可知在上递减，
故,
故,
故选：C.
8. 在中，M为BC上一点且满足，，，若，则的外接圆半径为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】设，则，
因为，
所以，
由三角形面积公式得，
解得，
在中，由余弦定理得
，
故，
在中，由余弦定理得
，
故，
在中，由余弦定理得，故，
则的外接圆半径为.
故选：D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A. 虚部为1
B. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D. 若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1
【答案】AC
【解析】A选项，，故的虚部为1，A正确；
B选项，，
故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，B错误；
C选项，，
故，C正确；
D选项，若，，
故，，
则，
故，
当，即时，面积取得最大值，最大值为，D错误.
故选：AC.
10. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B.
C. 当时，的值域为
D. 若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由，得
故，
由于为奇函数，
故，
由于，故取，
则，
故，
对于A，最小正周期为，A错误，
对于B，由于，故B正确，
对于C，当时，则，
故，
故的值域为1,2，C正确，
对于D，时，
则，
要使在区间上恰有六个不等实根，
则，
解得，故D正确，
故选：BCD.
11. 如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ）

A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值
B. 当在直线上运动时，与所成角的取值范围为
C. 使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为
D. 若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值
【答案】ACD
【解析】对于A，因为底面正方形的面积不变，在平面内运动时,
又到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确；
对于B，由于，故与所成的角即为与所成的角，
当在端点时，为等边三角形，此时所成的角最小，最小为，
当在的中点时，所成的角最大，最大为，
故与所成角的取值范围为，故B错误；

对于C，由于在正方体表面上，若直线与平面所成的角为60°，
则,
故以为圆心，以为半径作球，与棱相交于点，
则的轨迹为线段，
以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，如图①，
故的轨迹长度为，故C正确；

分别取、、、、的中点、、、、，
由正方体的性质可知、、、、，六点共面，且为正六边形，如图②,
由中位线定理，，平面，平面，所以平面，
同理平面，且，平面，
所以平面平面，
在底面内运动,所以轨迹为线段，
取中点，连接,则平面，
故,
故当最小时，最小，由于故，故当为时，的长最小，此时,故最小为，D正确．

故选：ACD．
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若则______．
【答案】
【解析】由
，
则，
因此.
13. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，， 又，
所以，
所以，所以，
所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米）.
14. 已知是球O的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，平面，则球O的表面积为______．
【答案】
【解析】取中点，由于，，
故,则四边形为平行四边形，
故，同理可得，故，
故为梯形外接圆圆心，过作平面，且使得，

则四边形为矩形，故球心在的中点，设球的半径，
，
根据球的性质得，，故，
故表面积为．
四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.
（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数.
（2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.
解：（1）由题意知，，所以，
所以满意度得分的平均值为，
因为，，
所以第百分位数位于第三个区间内，
所以第百分位数为分.
（2）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为，
把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为，总样本方差为，
则总样本平均数，
由方差的定义，样本总方差为：,
所以，
所以总样本的平均数为，方差为.
16. 已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围．
解：（1）由正弦定理得，
则，
所以，
即，
由于，所以，
所以，
则，，由于，
所以.
（2）若，由正弦定理得，
所以，
所以三角形周长为
，
由于三角形是锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以三角形周长的取值范围是.
17. 如图1，矩形中，，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置．

（1）如图2，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面；
（2）如图3，设点在平面内的射影落在线段上．
①求证：平面；
②当时，求直线与平面所成的角的余弦值．
解：（1）如图，取是线段的中点，连接，，
因为点是线段的中点，所以，，
因为，，所以，，
即四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；

（2）①由题意可知平面，平面，故，
又平面，故平面
②由于平面，故为直线与平面所成的角，
，，故,
,
则，故,
故直线与平面所成的角的余弦值为.

18. 设函数，．
（1）判断函数的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；
（2）求证：；
（3）若在区间上的最小值为，求的值．
解：（1）由题意可知，的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数；
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以，在上单调递增；
（2）因为，
，
所以可得；
（3）由,
令，由，则，
又，
则令，
对称轴，
当，即时，，解得，
当，即时，，
解得，又，因此不符合题意，
当，即时，，
解得，
综上知，.
19. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”．
（1）若集合，，求A相对的的“正弦标准差”；
（2）若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）
，
其中.
（2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由如下：
，
只需，
则，
即，整理得，
因为，，
所以，，，
则，
所以，
则，
所以，
即，
整理得，故，
因，所以，，
则，，
检验，将，代入得
，满足要求，
故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，
此时.