上海市嘉定区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）(含解析)

这是一份上海市嘉定区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的对称轴是直线，那么下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（ ）
A．6000米B．12000米C．米D．米
5．如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（ ）
A．B．
C．D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是36°的两个等腰三角形相似
B．有一个角是45°的两个等腰三角形相似
C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似
D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ．
8．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ．
9．如果抛物线经过两点和，那么的值是 ．
10．二次函数图像的最高点的横坐标是 .
11．如果（、都不等于零），那么 ．
12．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 .
13．如果向量、、满足关系式，那么 （用向量、表示）.
14．在中，点、分别在边、的延长线上，，，那么当 时，．
15．如图，在中，点、分别在边、上，，，，那么 ．
16．如图，在中，，，连接，，，，那么 ．
17．如图，在港口的南偏西方向有一座小岛，一艘船以每小时12海里的速度从港口出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在处测得小岛在船的正南方向，那么小岛与处的距离 海里（结果保留根号）．
18．在中，，，，点，分别在边、上，且，将沿直线翻折，翻折后点落在点处，如果，那么 .
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．计算：．
20．已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值.
21．如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点.
(1)求的值；
(2)如果，，，求四边形的面积.
22．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为74°．
(1)求坡顶到地面的距离的长；
(2)求古塔的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：，，，）
23．如图，在中，，点是延长线上一点，点是斜边上一点，且．
(1)求证：；
(2)连接，在上取一点，使，过点作交于点．求证，．
24．定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．
(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；
(2)点在这个黄金抛物线上．
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．
②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，在和中，，，，.
(1)求证：；
(2)已知点在边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点.
①如图2，设，，求与的函数关系式，并写出定义域：
②当是等腰三角形时，求的长.
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线开口向下，得到，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
2．C
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴为，进行求解后，判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查求锐角三角函数值．根据勾股定理求出的长，利用锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．熟记锐角三角函数的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，，；
故选A．
4．B
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．由题意可知，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，可以用正弦函数来计算．
【详解】解：由题意，得：这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是米；
故选B．
5．D
【分析】本题考查了向量的线性运算，根据、、即可求解．
【详解】解：∵，点是边的中点，
∴
∴
故选：D
6．C
【分析】本题考查相似三角形的判定方法，根据有两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】解：A、36度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题；
B、45度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题；
C、有一个角是60°的两个等腰三角形均为等边三角形，相似，为真命题；
D、有一个角是钝角，且钝角的度数相等的两个等腰三角形相似，选项为假命题；
故选C．
7．
【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出的值，再把点B的坐标代入，求出的值即可．
【详解】解：把，代入，得：，
∴，
把，代入，得：；
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
二次函数图像的最高点的横坐标是，
故答案为：．
11．##
【分析】此题考查比例的性质，用同一未知数正确表示出和是解题关键．利用已知把和用同一未知数表示，进而计算得出答案．
【详解】解：∵，
∴可设，则，
∴．
故答案为：．
12．##
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且，
∴，
故答案为：
13．
【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．根据平面向量的运算法则求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：
14．2
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边进行求解即可．
【详解】解：由题意，当，即：时，；
故答案为：2．
15．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据，得到，证明，进而得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴两个三角形的相似比为：，
∴，
∴．
故答案为：3．
16．##
【分析】本题考查求角的余弦值．勾股定理求出的值，再利用余弦等于邻边比斜边，求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查解直角三角形的应用．连接，由题意，，利用速度乘以时间求出的长，利用锐角三角函数，求出的长即可．
【详解】解：连接如图，
由题意，得：，
∴在中，；
故答案为：．
18．##0.5
【分析】本题考查折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，平行线的性质等，延长交于点D，先解，求出，，由折叠的性质可得，，设，则，，由推出，再解和求出x的值，进而即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点D，
中，，，，
，
，，
由折叠的性质可得，，
，
，
设，则，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可．
（1）将点和代入即可求解；
（2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解．
【详解】（1）解：将点和代入得：
解得
∴抛物线的表达式是：.
（2）解：由（1）配方得：
根据题意可设平移后的抛物线表达式为
∵经过点；
∴
解得：，
∵
∴.
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的判定与性质得到，根据比例的性质求解即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，则，根据锐角三角函数定义求出，则，根据勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1），
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
平行四边形的面积．
22．(1)15米
(2)古搭的高度约为30米．
【分析】本题考查解直角三角形的应用．
（1）根据坡度得到，设设，则，勾股定理求出的值即可；
（2）延长交于点，得到，四边形为矩形，在中，得到，列出算式，求解即可．
解题的关键是构造直角三角形，掌握锐角三角函数的定义．
【详解】（1）由题意，得，
，
图8
设，则


（米）
答：坡顶到地面的距离的长为15米
（2）延长交于点，则，四边形为矩形．
∴，，
，
，
，
，
；
在中，，
，
，，
，
，
（米）．
答：古搭的高度约为30米．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，得到，即可；
（2）由，推出，证明，得到，推出，即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得
即，
，
∴，
，
，
，
．
24．(1)，
(2)①，②存在，
【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可；
（2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定义，求解即可；
②分和，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线，
，
所求抛物线的表达式为，
配方得：，
点的坐标为；
（2）①由（1）得：抛物线的对称轴是直线，
点的坐标为，
点在这个黄金抛物线上，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
．
②存在
过点作，垂足为
抛物线与轴交于点，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况
第一种：，
又，，
∴与全等，相似比为1，不合题意，舍去；
第二种：，
∵，
，
，
，
，，
，
点在射线上，
点的坐标为．
25．(1)见解析
(2)（2）①，定义域：；②10或7或12.5.
【分析】（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论；
（2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论；②当是等腰三角形时，也是等腰三角形，分三种情况，当时；当时；当时，分别求出的长，即可解决问题．
【详解】（1）证明：
与都是直角三角形
在中，
，，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）解：①，又
又
在中，，
，，
，
定义域：；
②当是等腰三角形时，分三种情况：
第一种：当时，则，解得：，
第二种：当时，则，过点，垂足为，
，
∴，，则，解得：，
第三种：当时，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵是直角三角形，
同理可得，
∴，
所以，即，
则解得，，
综上所述：当是等腰三角形时，的长为10或7或12.5．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．