内蒙古呼和浩特市部分学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份内蒙古呼和浩特市部分学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列实数中，是有理数的是（ ）
A．B．C．πD．
2．年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．2020年，在全球经济受到新冠疫情的影响下，我国仍逆势增长2.3%，经济总量达到1016000亿元．数1016000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．可能性为的事件在一次实验中一定会发生
B．调查潇河的水质问题，采用抽样调查的方式
C．数据2，0，，1，3的中位数是
D．某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是被抽取的100名学生家长
7．将一次函数的图象绕它与y轴的交点顺时针旋转后所得到的直线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程的解为非负数解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．6B．10C．11D．15
9．如图，在正方形中，点G是上一点，且，连接交对角线于F点，过D点作交的延长线于点E，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．对于函数，下列说法
①图象关于y轴对称；
②有最小值；
③是平行于x轴的一条直线，当方程有两个不相等的实数根时，；
④直线与函数的图象有三个交点时，．正确的有（ ）个
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分•本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．分解因式： ．
13．甲、乙、丙三个好朋友照毕业照时准备站成一排拍照合影留念，则甲和丙相邻的概率为 ．
14．圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形圆心角的度数为 ．
15．在中，，，D为边上一点，点F是射线上一点，与射线相交于点E，点G是的中点，若，则 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最大值为 ．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算求解：
(1)计算：；
(2)先化简：，再选择一个合适的a值代入求值．
18．如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
19．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）；
．A课程成绩在这一组是：
70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79
．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数．
20．数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）

21．如图．将函数图象向上平移b个单位后恰好与有唯一公共点B，并交于点A交x轴于点C．
(1)求b的值；
(2)连接，若，求不等式的解集．
22．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜，B蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
(2)设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案．
23．如图，在中，，以为直径的交，边于点D、F．过点D作于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若半径为5，且，求的长．
24．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C（(0，﹣3)．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查实数的分类，重点区分有理数和无理数，有限小数和无限循环小数是有理数，也可以说分数和整数统称为有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是无理数，本选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，本选项符合题意；
C、是无理数，本选项不符合题意；
D、是无理数，本选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
通过选项中的图形判断可得C选项中的图形为中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
3．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1016000=1.016×106．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．C
【分析】根据同底数幂的除法、单项式乘法、幂的乘方、完全平方公式进行计算，即可得到答案，此题考查了同底数幂的除法、单项式乘法、幂的乘方、完全平方公式，熟练掌握法则和公式是解题的关键．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
5．B
【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得，再由邻补角得出，结合图形代入求解即可．
【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键．
6．B
【分析】根据概率的意义，全等调查与抽样调查，中位数，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、可能性为的事件在一次实验中不一定会发生，故A不符合题意；
B、调查潇河的水质问题，采用抽样调查的方式，故B符合题意；
C、数据2，0，，1，3的中位数是1，故C不符合题意；
D、某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是被抽取的100名学生家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的意义，全等调查与抽样调查，中位数，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，也考查了等腰三角形的判定与性质，先求解与坐标轴的交点A，C的坐标，再确定C旋转后的对应点B的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】解：如图，
∵，
当，则，当，则，
∴，，
∴，
∴，
∵直线绕点C顺时针旋转与x轴交于点B ，
∴，
∴，
∴，
设旋转后的解析式为，
把B点坐标代入得：，
∴，
∴旋转后的解析式为：．
故答案为：C．
8．B
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况可求出；再解分式方程得到，再根据分式方程的解为非负数得到且，由此推出满足题意的m的值可以为0，1，2，3，4，据此可得答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，
∴，
∴；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵关于y的分式方程的解为非负数解，
∴，
∴且，
∴综上所述，且，
∴满足题意的m的值可以为0，1，2，3，4，
∴满足条件的所有整数m的和为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解得情况求参数，正确解不等式组和解分式方程是解题的关键．
9．D
【分析】过点作的垂线交的延长线于点，根据正方形的性质求得，根据，求得，从而求得，然后根据相似三角形的性质求得， 在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，
四边形是正方形
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
中，．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，画出函数的图象，利用图象逐个判断即可求解．利用数形结合思想求解是解答的关键．
【详解】解：画出函数的图象，如图：
由图可知，
①图象关于y轴对称，故①正确；
②有最小值，
∵，
∴有最小值，故②正确；
③是平行于x轴的一条直线，当方程有两个不相等的实数根时，或，故③错误；
④当时，直线与函数的图象有三个交点；
当直线与函数的图象相切时，直线与函数的图象有三个交点，
联立方程组，整理，得，
由得，
由图象得：当时，直线与函数的图象有四个交点，故④错误，
综上，正确的有2个，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负即可求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴
∴，
故答案为：．
12．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解的方法是解答的关键．
13．
【分析】用树状图表示出所有情况，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：根据题意画出树状图如下：

一共有6种等可能结果，其中甲和丙相邻的有4种等可能结果，
∴甲和丙相邻的概率为．
故答案为：
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
14．##180度
【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆的面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．设出母线长与底面半径，根据题意和圆的面积，扇形的面积公式求解．
【详解】解：设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．
∴底面周长，底面面积，侧面积，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，等腰三角形三线合一的性质，以及分类讨论思想．本题无图需分类讨论，因为已知两个角的度数，所以的形状固定．分为两种情况，点F在射线上，点E在线段上，点E在射线上，点F在线段上；即可．
【详解】解：如图1：
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵G是中点，
∴．
如图2：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵G是中点，
∴，
∴∠．
故答案为：或．
16．28
【分析】连接，由垂径定理得，再由圆周角定理得点C在以为直径的圆上（点O、A除外），以为直角作⊙P，过P点作直线于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定，，则，然后证，利用相似比求出的长，得的长，当C点与M点重合时，的面积最大，即可求解．
【详解】解：连接，如图，

∵点C为弦的中点，
，
，
∴点C在以为直径的圆上（点O、A除外），
以为直径作⊙P，过P点作直线于H，交⊙P于M、N，
当时，，则，
∴
当时，，
解得，则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
，
，
当C点与M点重合时，面积的最大值为28，
故答案为：28．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质和一次函数的与坐标轴的交点，判断出点C的运动轨迹是解答本题的关键．
17．(1)
(2)，当时，原式
【分析】（1）先进行分母有理化，计算零指数幂，负指数幂，二次根式的化简，然后再进行加减计算即可；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，根据分式有意义的条件选择合适的值，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】（1）

；
（2）


，
，，
，，
当时，原式．
【点睛】本题考查实数的混合运算，含特殊角三角函数值的计算，零指数幂、负整数指数幂，分式的化简求值等，综合性较强．
18．(1)见详解
(2)△ABC的面积为
【分析】（1）由题意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵ABCD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，
∴，
∵，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：由（1）知：，
∵∠D＝120°，
∴，
∵E为AB中点，
∴，
∴△BCE是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
19．（1）78.75；（2）B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数；（3）180人．
【分析】（1）根据中位数的概念直接进行计算即可；
（2）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程；
（3）用总人数300乘以抽取的学生中A课程成绩超过分的比例即可．
【详解】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为 ，即m=78.75；
（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．
（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过的人数为36人．
∴（人）
答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过的人数为180人．
【点睛】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数的计算方法和意义是解题的关键．
20．米
【分析】过作于，设米，则在中得到，在中，得到，则，解得分，即可得到答案．
【详解】解：过作于，设米，

在中，
即，
，
在中，
，
即，
，
解得分，
（米）．
答：河宽大约为72.6米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键．
21．(1)4
(2)
【分析】（1）设平移后的函数表达式为，与联立，再根据有唯一公共点B即求解即可；
（2）求得平移后的函数表达式为：，即可求得C点的坐标，然后利用三角形面积公式，根据，求得A点的纵坐标，进一步求得横坐标，然后观察图象即可求得不等式的解集．
【详解】（1）设平移后的函数表达式为：，
联立方程组得，
∴，
∵有唯一公共点B，
∴，
∴，
∴（舍去），
故b的值为4；
（2）∵，
∴平移后的函数表达式为：，
令，则，解得，
∴，
∴，
解方程，得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
代入得，，
解得，
∴，
观察图象，不等式的解集为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数与方程的关系，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
22．(1)表格见解析，的值为200
(2)w与x之间的函数关系式是，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨；B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整，并写出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的方程，然后求解即可；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到w与x之间的函数关系式，然后求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总运费最小的调运方案．
【详解】（1）作表如下所示：
∵两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等，
∴，
解得，
答：两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值是200，
故答案为：；；；
（2）由题意可得，
，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，w取得最小值，此时，
此时，
答：w与x之间的函数关系式是，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨；B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质证得．得出，由平行线的性质得出，则可得出答案；
（2）连接，证得，然后依据相似三角形的性质得到，即可得证；
（3）过点O作于点G，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，设，则．由勾股定理得出，解方程可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图1，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
又为的半径．
∴是的切线；
（2）证明：连接，如图2，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴D为的中点，
∵，
∴，
∴
∴点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过点O作于点G，如图3，
∴，，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
设，
，则．
在中，，
即，
解得（不合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）(﹣，)，(﹣，﹣)
【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解；
（2）先求出点B坐标，可得OB＝OC，可得∠OBC＝∠OCB＝45°，再分点D在点C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解；
（3）在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，由“SAS”可证△OCE≌△OCA，可得∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，由面积法可求EF的长，由勾股定理可求CF的长，可求tan∠ECA＝tan∠PAB＝，分点P在AB上方和下方两种情况讨论，求出AP解析式，联立方程组可求点P坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，
∴点B（﹣3，0），
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图1，当点D在点C上方时，

∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝30°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝×3＝，
∴CD＝3﹣；
若点D在点C下方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝60°，
∴tan∠DBO＝＝，
∴OD＝3，
∴DC＝3﹣3，
综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；
（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，

∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝＝，
∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCE≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，
∴∠ECA＝2∠ACO，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠PAB＝∠ECA，
∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，
∴EF＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴tan∠ECA＝＝，
如图2，当点P在AB的下方时，设AO与y轴交于点N，
∵∠PAB＝∠ECA，
∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，
∴ON＝，
∴点N（0，），
又∵点A（1，0），
∴直线AP解析式为：y＝x﹣，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，﹣）
当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点P坐标为：（﹣，），
综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，求出tan∠ECA=tan∠PAB=是本题的关键．
课程
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A
B
70
83
C
D
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A


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260
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