2023-2024学年内蒙古乌海市海勃湾区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年内蒙古乌海市海勃湾区九年级（上）期末数学试卷，共24页。

总分120分 考试时间120分钟
一.选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1.如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
2.平面直角坐标系内，点P(2，-3)关于原点对称点的坐标是 ( )
A.(3，-2)B.(2，3)C.(-2，-3)D.(2，-3)
3.抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标分别为 ( )
A.(2，1) B.(-2，1)C.(2，5) D.(-2，5)
4.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为3，则等边三角形ABC的边长为 ( )
A.B.C.3D.3

第4题图 第6题图 第7题图 第9题图
5.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根.则k的取值范围为 ( )
A.k>B.k>4C.k<-1D.k<4
6.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长为 ( )
A.4B.C.D.
7.如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t(s).∠APB=y°，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是 ( )
A.B.C.D.
8.将抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 ( )
A.y=-2x2+1B.y=-2x2-1C. D.
9.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若
∠A=23°，则∠D的度数是 ( )
A.23°B.44°C.46°D.57°
10.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O半径为 ( )
A.4B.C.5D.
第10题图 第12题图 第15题图 第19题图
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其中正确的结论是 ( )
A.abc>0B.2a-b=0Cb>a+cD.b2-4ac<0
12.在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，0)，B(2，0)，若点C在一次函数的图象上，且
△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有 ( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
13.方程x(x-2)=x的解是
14.用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 cm.
15.如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则
∠BDF= 度.
16.已知方程x2-3x+1=0的两个实数根为x1，x2，则
17.我市前年的投入资金是578万元用于校舍改造，今年投入资金是805万元.若设这两年投入改造资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 .
18.如图，分别是甲、乙两名同学手中的扑克牌两人在看不到对方牌的前提下，
分别从对方手中随机抽取一张牌，若牌上数字与自己手中某一张牌上数字
相同，则组成一对．若甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率是 ．
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC=4，∠ABC=60°，则线段MN的最大值为______.
20.小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：
①c<0；②abc>0；③a-b+c>0；④2a-3b=0；⑤c-4b>0，
你认为其中正确信息是________(填序号).
三、解答题(本大题共6小题，共60分)
21(8分).小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法：拿了8张扑克牌，将数字为2、3、5、9的四张牌给小颖，将数字为4、6、7、10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去.
(1)请用画树状图或列表的方法求小颖去看电影的概率；
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平.
22(8分).如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以点O为圆心的弧DE上，若OA=3，∠1=∠2.求扇形ODE的面积.
23(10分).某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件.为了迎接“六一儿童节”，童装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利.经调查发现：如果每件童装降价1元，那么每天就可多售出2件.
(1)若童装店想每天销售这种童装盈利1050元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降多少元？
(2)每件童装降价多少元时，童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
24(10分).如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE；
(1)求证：CE=CF；
(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，
∠B=90°，AB=BC=24，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=8，求DE的长.
25(12分).如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.(1)求AD的长；(2)设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
(3)探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.
26(12分).已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P(﹣4，)，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为(1，0).
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共16小题)
1.如图所示的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解.
【解答】解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、即不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形也是中心对称，故本选项正确；
故选：D.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合.
2.平面直角坐标系内，点P(2，﹣3)关于原点对称点的坐标是( )
A.(3，﹣2)B.(2，3)C.(2，﹣3)D.(﹣2，3)
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(﹣x，﹣y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答.
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点A(2，﹣3)关于原点对称的点的坐标是(﹣2，3).
故选：D.
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单.
3.抛物线y=x2-4x+5的对称轴、顶点坐标分别为( )
A.(2，1) B.(-2，1)C.(2，5) D.(-2，5)
【分析】将抛物线的一般式通过公式法或者配方法转化，可求抛物线的对称轴及顶点坐标.
【解答】解：∵y=x2-4x+5=(x-2)2+1
∴顶点坐标为(2，1).
故选：A.
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法.
4.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为3，则等边三角形ABC的边长为( )
A.B.C.3D.3
【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长.
【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC=×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB===30°，
∵⊙O的半径为3，
∴OB=3，
∴BD=OB•cs∠OBD=2×cs30°=3×=，
∴BC=2BD=3，
∴等边△ABC的边长为3，
故选：C.
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识.此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法.
5.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.则k的取值范围为( )
A.k＞﹣B.k＞4C.k＜﹣1D.k＜4
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论.
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+1)2﹣4×1×k2=4k+1＞0，
∴k＞﹣.
故选：A.
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
6.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长为( )
A.4B.C.D.
【分析】在直角三角形ABC中，根据30°的余弦求出AB的长，再根据中心对称的性质得到BB′的长.
【解答】解：在直角三角形中，根据csB=，求得AB=.
再根据中心对称图形的性质得到：BB′=2AB=.
故选：D.
【点评】此题综合运用了解直角三角形的知识和中心对称图形的性质.
7.如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t(s).∠APB=y(°)，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( )
A.B.
C.D.
【分析】本题考查动点函数图象的问题.
【解答】解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大.
故选：C.
【点评】本题主要考查学生对圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题.要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象.
8.将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )
A.y=﹣2x2+1B.y=﹣2x2﹣1C.y=﹣x2+1D.y=﹣x2﹣1
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.
【解答】解：y=2x2+1的顶点坐标为(0，1)，
∵抛物线y=2x2+1绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为(0，﹣1)，
∴旋转后的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣1.
故选：D.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便.
9.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A=23°，则∠D的度数是( )
A.23°B.44°C.46°D.57°
【分析】连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD=90°，再根据圆周角定理得到∠COD=2∠A=46°，然后利用互余计算∠D的度数.
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠COD=2∠A=46°，
∴∠D=90°﹣46°=44°.
故选：B.
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了圆周角定理.
10.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E，则⊙O的半径为( )
A.4B.C.5D.
【分析】连接EO并延长交AD于F，连接AO，由切线的性质得OE⊥BC，再利用平行线的性质得到OF⊥AD，则根据垂径定理得到AF=DF=AD=6，由题意可证四边形ABEF为矩形，则EF=AB=8，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8﹣r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到(8﹣r)2+62=r2，再解方程求出r即可.
【解答】解：如图，连接EO并延长交AD于F，连接AO，
∵⊙O与BC边相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∴OF⊥AD，
∴AF=DF=AD=6，
∵∠B=∠DAB=90°，OE⊥BC，
∴四边形ABEF为矩形，
∴EF=AB=8，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8﹣r，
在Rt△AOF中，∵OF2+AF2=OA2，
∴(8﹣r)2+62=r2，
解得r=，
故选：D.
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了垂径定理和矩形的性质.解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程.
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其中正确的结论是 ( )
A.abc>0B.2a-b=0Cb>a+cD.b2-4ac<0
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，由于抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，则b=﹣2a＞0；则abc＜0；根据抛物线与x轴有2个交点得到Δ=b2﹣4ac＞0；由于x=﹣1时，y＜0，于是有a﹣b+c＜0.
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
由于抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，则b=﹣2a＞0；则2a+b＞0，abc＜0；
∴①错误，
∴②错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2﹣4ac＞0，所以④错误；
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③正确.
故选：C.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当 a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
12.在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，0)，B(2，0)，若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【分析】设C(m，﹣m+2).构建方程即可解决问题；
【解答】解：设C(m，﹣m+2).
①当CA=CB时，点C在线段AB的垂直平分线上，此时C(﹣1，).
②当AC=AB时，(m+4)2+(﹣m+2)2=36，
解得：m=，
∴C(，)或(，)
③当BC=AB时，(m+2)2+(﹣m+2)2=36，
解得m=，
∴C(，)或(，)；
综上所述，满足条件的点有5个，
故选：D.
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.
二.填空题(共8小题)
13.方程x(x﹣2)=x的解是 x1=0，x2=3 .
【分析】首先移项，再提取公因式x，因式分解即可；
【解答】解：x(x﹣2)=x
x(x﹣2)﹣x=0
x(x﹣3)=0
x=0，x﹣3=0
解得x1=0，x2=3.
故答案为：x1=0，x2=3.
【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程.
14.用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 2 cm.
【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，利用扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，列出方程，解方程即可得出答案.
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，
由题意得：2πr=，
解得：r=2，
∴这个圆锥的底面圆的半径为2cm，
故答案为：2.
【点评】本题考查了圆锥的计算，理解扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，从而列出方程是解决问题的关键.
15.如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF= 80 度.
【分析】由折叠的性质，即可求得AD=DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB=DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB=∠B=50°，又由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数.
【解答】解：根据折叠的性质，可得：AD=DF，
∵D是AB边上的中点，
即AD=BD，
∴BD=DF，
∵∠B=50°，
∴∠DFB=∠B=50°，
∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠DFB=80°.
故答案为：80.
【点评】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理.此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用.
16.已知方程x2﹣3x﹣1=0的两个实数根为x1，x2，求的值___3___：
【分析】由一元二次方程及韦达定理，逐一分析即可．
【解答】解：由x﹣3x﹣1=0，根据韦达定理，
得x1+x2=3，x1x2=1，
，
【点评】本题考查一元二次方程及韦达定理，属于容易题．
：15344109066；邮箱：15344109066；学号：273217.我市前年的投入资金是578万元用于校舍改造，今年投入资金是805万元.若设这两年投入改造资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 578(1+x)2=805 .
【分析】因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则去年投入资金是578(1+x)，今年的投入资金是578(1+x)2，所以可以列出方程.
【解答】解：设这两年投入改造资金的年平均增长率为x，
则去年投入资金是578(1+x)，
今年的投入资金是578(1+x)2，
所以可以列出方程：578(1+x)2=805.
故答案为：578(1+x)2=805.
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量.
18.如图，分别是甲、乙两名同学手中的扑克牌两人在看不到对方牌的前提下，分别从对方手中随机抽取一张牌，若牌上数字与自己手中某一张牌上数字相同，则组成一对．若甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率是 ．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出组成一对的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中组成一对的结果数为3，
所以甲从乙手中抽取一张，恰好组成一对的概率==．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC=4，∠ABC=60°，则线段MN的最大值为( )
A.4B.8C.4D.6
【分析】连接CN，根据直角三角形斜边中线的性质求出CN=A′B′=4，利用三角形的三边关系即可得出结果.
【解答】解：连接CN，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=A′B′=2BC=8，
∵NB′=NA′，
∴CN=A′B′=4，
∵CM=BM=2，
∴MN≤CN+CM=6，
∴MN的最大值为6，
故选：D.
【点评】本题考查旋转的性质、含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系.
20.小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：
①c<0；②abc>0；③a-b+c>0；④2a-3b=0；⑤c-4b>0，
你认为其中正确信息是 ①②③⑤_(填序号).
【分析】观察图象易得a＞0，﹣，所以b＜0，2a﹣3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；
当x=﹣1，y=a﹣b+c，由点(﹣1，a﹣b+c)在第二象限可以判定a﹣b+c＞0③是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×(﹣3b)+2b+c=c﹣4b，由点(2，c﹣4b)在第一象限可以判定c﹣4b＞0⑤是正确的.
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵﹣，
∵a＞0，
∴b＜0，
2a﹣3b＞0，
∴abc＞0，
∴①②是正确的，
④对称轴x=﹣=，
∴3b=﹣2a，
∴2a+3b=0，
∴④是错误的；
当x=﹣1，y=a﹣b+c，
而点(﹣1，a﹣b+c)在第二象限，
∴a﹣b+c＞0是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×(﹣3b)+2b+c=c﹣4b，
而点(2，c﹣4b)在第一象限，
∴c﹣4b＞0.
【点评】本题考查同学们从函数图象中获取信息的能力，以及考查二次函数的图象和性质.
三.解答题(共6小题)
21.小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法：拿了8张扑克牌，将数字为2、3、5、9的四张牌给小颖，将数字为4、6、7、10的四张牌给自己，并按如下游戏规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去.
(1)请用画树状图或列表的方法求小颖去看电影的概率；
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平.
【分析】(1)利用画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两数和为偶数的结果数，然后根据概率公式可计算出小颖去看电影的概率；
(2)由于小颖去看电影的概率=，哥哥去看电影的概率=，则可判断游戏规则不公平，然后交换4和5两张牌可使游戏规则公平.
【解答】解：(1)画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两数和为偶数的结果数为6，
所以小颖去看电影的概率==；
(2)哥哥设计的游戏规则不公平.
小颖去看电影的概率=，哥哥去看电影的概率=1﹣=，
修改规则：将数字为2、3、4、9的四张牌给小颖，将数字为5、6、7、10的四张牌给自己，小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去.
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.也考查了树状图法.
22.如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以点O为圆心的弧DE上，若OA=3，∠1=∠2.求扇形ODE的面积.
【分析】连接OB，根据菱形的性质结合OB=OA可得出△OAB为等边三角形，通过角的计算可求出∠AOC=120°，再利用扇形的面积公式即可求出结论.
【解答】解：连接OB，如图所示.
∵四边形OABC为菱形，
∴OA=AB.
∵OB=OA，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°.
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOE=∠AOE+∠1，即∠DOE=∠AOC=120°，
∴S扇形ODE=π×OA2=3π.
【点评】本题考查了扇形面积公式以及菱形的性质，根据菱形的性质、圆的半径相等结合角的计算求出∠AOC的度数是解题的关键.
23.某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件.为了迎接“六一儿童节”，童装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利.经调查发现：如果每件童装降价1元，那么每天就可多售出2件.
(1)如果童装店想每天销售这种童装盈利1050元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？
(2)每件童装降价多少元时，童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】(1)设每件童装降价m元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；
(2)设每件童装降价x元，可获利y元，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题.
【解答】解(1)设每件童装降价m元，根据题意，得(100﹣60﹣m)(20+2m)=1050，
解得：m1=5，m2=25，
∵要使顾客得到较多的实惠，
∴取m=25，
答：童装店应该降价25元.
(2)设每件童装降价x元，可获利y元，根据题意，得y=(100﹣60﹣x)(20+2x)，
化简得：y=﹣2x2+60x+800
∴y=﹣2(x﹣15)2+1250
答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解决问题的关键.最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.
24.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE；
(1)求证：CE=CF；
(2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC=24，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=8，求DE的长.
【分析】(1)利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF(SAS)，即CE=CF；
(2)借助(1)的全等得出∠BCE=∠DCF，∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°﹣∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，再由全等三角形的判定与性质可得结论；
(3)过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).再设DE=x，利用(1)、(2)的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE.
【解答】(1)证明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)解：GE=BE+GD成立.
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD.
即∠ECF=∠BCD=90°.
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG.
∴EG=GF.
∴GE=DF+GD=BE+GD.
(3)解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形.
∴AG=BC=24.
已知∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x﹣8，
∴AD=AG﹣DG=32﹣x，AE=AB﹣BE=24﹣8=16.
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2，即x2=(32﹣x)2+162
解得：x=20.
∴DE=20.
【点评】本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题.本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异.从阅卷的情况看，本题的得分在4﹣8分的学生居多.前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低.
25.如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
(1)求AD的长；
(2)设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
(3)探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.
【分析】(1)可通过构建直角三角形来求解：过A作AE⊥CD，垂足为E.那么可在直角三角形AED中根据两底的差和∠D的度数来求出AD的长.
(也可通过作辅助线将梯形分成平行四边形和等边三角形两部分来求解.)
(2)可通过求△PDQ的面积与x的函数关系式来得出△PDQ的最大值.由于P、Q速度相同，因此CP=QD=x，那么可用x表示出PD，而△PQD中，PD边上的高=QD•sin60°，由此可根据三角形的面积公式求出S△PQD与x之间的函数关系式，可根据函数的性质求出S的最大值以及对应的x的值.
(3)假设存在这样的M点，那么DM就是PQ的垂直平分线，可得出QD=PD、PM=AM，然后证PM=PD即可.根据(2)中得出PD、DQ的表达式，可求出x=，即P是CD的中点，不难得出△QPD为等边三角形，因此∠QPD=∠C=60°，因此PQ∥CM，即∠DMC=90°，在直角三角形DMC中，P为斜边CD的中点，因此PM=PD，即可得出四边形PDQM是菱形.那么此时根据BM=BC﹣CM可求出BM的长.
【解答】解：(1)解法一：如图1
过A作AE⊥CD，垂足为E.
依题意，DE==.
在Rt△ADE中，AD==.
解法二：如图2
过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4.
∠AED=∠C=60度.
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形.
∴AD=DE=9﹣4=5.
(2)如图1
∵CP=x，h为PD边上的高，依题意，
△PDQ的面积S可表示为：
S=PD•h=(9﹣x)•x•sin60°
=(9x﹣x2)=﹣(x﹣)2+.
由题意知0＜x≤5.
当x=时(满足0＜x≤5)，S最大值=.
(3)如图4
存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ.
于是9﹣x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图4所示，△PDQ恰为等边三角形.
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连接PM、QM，则DM垂直平分PQ，
∴MP=MQ.
易知∠1=∠C.
∴PQ∥BC.
又∵DO⊥PQ，
∴MC⊥MD
∴MP=CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M，且BM=BC﹣MC=5﹣=.
【点评】本题是一道压轴题，也是一道开放探索题，第(2)问是条件开放，第(3)问是结论开放.本题既考查了学生的分析作图能力，又考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识.这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间.
26.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P(﹣4，)，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为(1，0).
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q使得△ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【分析】(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a(x+4)2﹣，然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解；
(2)先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA、OC、AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角函数求出∠OAC的正弦值与余弦值，再分①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ1，再利用∠OAC的正弦求出Q1E1的长度，根据∠OAC的余弦求出AE1的长度，然后求出OE1，从而得到点Q1的坐标；②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，利用∠OAC的正弦求出Q2E2的长度，根据∠OAC的余弦求出AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点Q2的坐标；③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE3的长度，然后求出OE3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度，从而得到点Q3的坐标.
【解答】解：(1)∵抛物线顶点坐标为(﹣4，﹣)，
∴设抛物线解析式为y=a(x+4)2﹣，
∵抛物线过点B(1，0)，
∴a(1+4)2﹣=0，
解得a=，
所以，抛物线解析式为y=(x+4)2﹣，
即y=x2+4x﹣；
(2)存在点Q1(﹣1，﹣4)，Q2(2﹣9，﹣)，Q3(﹣，﹣).
理由如下：∵抛物线顶点坐标为(﹣4，﹣)，
∴点D的坐标为(﹣4，0)，
令x=0，则y=﹣，
令y=0，则x2+4x﹣=0，
整理得，x2+8x﹣9=0，
解得x1=1，x2=﹣9，
∴点A(﹣9，0)，C(0，﹣)，
∴OA=9，OC=，AD=﹣4﹣(﹣9)=﹣4+9=5，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC===，
∴sin∠OAC===，
cs∠OAC===，
①AD=Q1D时，过Q1作Q1E1⊥x轴于点E1，
根据等腰三角形三线合一的性质，AQ1=2•ADcs∠OAC=2×5×=4，
Q1E1=AQ1•sin∠OAC=4×=4，
AE1=AQ1•cs∠OAC=4×=8，
所以，OE1=OA﹣AE1=9﹣8=1，
所以，点Q1的坐标为(﹣1，﹣4)；
②AD=AQ2时，过Q2作Q2E2⊥x轴于点E2，
Q2E2=AQ2•sin∠OAC=5×=，
AE2=AQ2•cs∠OAC=5×=2，
所以，OE2=OA﹣AE2=9﹣2，
所以，点Q2的坐标为(2﹣9，﹣)；
③AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3⊥x轴于点E3，
则AE3=AD=×5=，
所以，OE3=9﹣=，
∵Q3E3⊥x轴，OC⊥OA，
∴△AQ3E3∽△ACO，
∴=，
即=，
解得Q3E3=，
所以，点Q3的坐标为(﹣，﹣)，
综上所述，在线段AC上存在点Q1(﹣1，﹣4)，Q2(2﹣9，﹣)，Q3(﹣，﹣)，使得△ADQ为等腰三角形.
【点评】本题是二次函数和综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点的求解，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，综合性较强，但难度不大，(2)要分情况讨论.