2025届天津市部分区（蓟州区）九年级数学第一学期开学教学质量检测试题【含答案】

这是一份2025届天津市部分区（蓟州区）九年级数学第一学期开学教学质量检测试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）解不等式，解题依据错误的是（ ）
解：①去分母，得5（x+2）＜3（2x﹣1）
②去括号，得5x+10＜6x﹣3
③移项，得5x﹣6x＜﹣3﹣10
④合并同类项，得﹣x＜﹣13
⑤系数化1，得x＞13
A．②去括号法则B．③不等式的基本性质1
C．④合并同类项法则D．⑤不等式的基本性质2
2、（4分）一蓄水池有水40m3,按一定的速度放水，水池里的水量y (m3)与放水时间t(分)有如下关系：
下列结论中正确的是
A．y随t的增加而增大B．放水时间为15分钟时，水池中水量为8m3
C．每分钟的放水量是2m3D．y与t之间的关系式为y=38-2t
3、（4分）下列各式中计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，则这种杂拌糖每千克的价格为 （ ）
A．元B．元C．元D．元
5、（4分）如图，矩形中，，，点是的中点，平分交于点，过点作于点，连接，则的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6、（4分）已知a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．＞C．﹣a＜﹣bD．6a＞6b
7、（4分）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中和分别表示甲、乙两人所走路程（千米）与时刻（小时）之间的关系．下列说法：
①乙晚出发1小时；
②乙出发3小时后追上甲；
③甲的速度是4千米/小时；
④乙先到达B地．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8、（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．+=B．×=3
C．÷=3D．=﹣3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）某一次函数的图象经过点（3，），且函数y随x的增大而增大，请你写出一个符合条件的函数解析式______________________
10、（4分）如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且△ABF的面积为24，则EC的长为__．
11、（4分）若方程有增根，则m的值为___________；
12、（4分）如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN的取值范围是______．
13、（4分）计算：＝________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）4月23日世界读书日之际，总书记提倡和鼓励大家多读书、读好书．在接受俄罗斯电视台专访时，总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应号召，建设书香校园，某初级中学对本校初一、初二两个年级的学生进行了课外阅读知识水平检测．为了解情况，现从两个年级抽样调查了部分学生的检测成绩，过程如下：
（收集数据）从初一、初二年级分别随机抽取了20名学生的水平检测分数，数据如下
（整理数据）按如下分段整理样本数据：
（分析数据）对样本数据进行如下统计：
（得出结论）
（1）根据统计，表格中a、b、c、d的值分别是______、______、______、______．
（2）若该校初一、初二年级的学生人数分别为1000人和1200人，请估计该校初一、初二年级这次考试成绩90分以上的总人数．
15、（8分）如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，右边数位上的数总比左边数位上的数大1，则我们称这样的自然数叫“美数”，例如：123，3456，67，…都是“美数”．
（1）若某个三位“美数”恰好等于其个位的76倍，这个“美数”为 ．
（2）证明：任意一个四位“美数”减去任意一个两位“美数”之差再减去1得到的结果定能被11整除；
（3）如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，则我们称这样的自然数叫“妙数”，若任意一个十位为为整数）的两位“妙数”和任意一个个位为为整数）的两位“美数”之和为55，则称两位数为“美妙数”，并把这个“美妙数”记为，则求的最大值．
16、（8分）某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA(千克)与时间x(时)的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求yB关于x的函数解析式；
(2)如果A，B两种机器人连续搬运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？
17、（10分）已知点P（2m+4，m－1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大3；
（3）点P在过点A（2，－4）且与y轴平行的直线上．
18、（10分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）若，，求的长.
（2）求证：四边形是平行四边形.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，函数y=3x和y=ax+4的图象相交于点A(1，3)，则不等式3x20、（4分）计算的结果等于______．
21、（4分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2， AD=1，点E的坐标为（0，2）．点F（x，0）在边AB上运动，若过点E、F的直线将矩形ABCD的周长分成2：1两部分，则x的值为__．
22、（4分）如图，菱形的周长为20，对角线的长为6，则对角线的长为______.
23、（4分）如图，在的两边上分别截取、，使，分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的周长为，则的长为___________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在中，延长至点，使，连接，作于点，交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）如果，求的度数．
25、（10分）已知三角形纸片,其中, ,点分别是上的点，连接.
(1)如图1,若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处，且,求的长;
(2)如图2,若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处，且.
试判断四边形的形状，并说明理由;
求折痕的长.
26、（12分）如图,在△ABC中.AC=BC=5.AB=6.CD是AB边中线.点P从点C出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C运动.在点P出发的同时，点Q也从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA向点A运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P运动的时间为t秒.
（1）用含t的代数式表示CP、CQ的长度.
（2）用含t的代数式表示△CPQ的面积.
（3）当△CPQ与△CAD相似时，直接写出t的取值范围.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据题目中的解答步骤可以写出各步的依据，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题目中的解答步骤可知，
②去括号法则，故选项A正确，
③不等式的基本性质1，故选项B正确，
④合并同类项法则，故选项C正确，
⑤不等式的基本性质3，故选项D错误，
故选D．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
2、C
【解析】
根据表格内的数据，利用待定系数法求出y与t之间的函数关系式，由此可得出D选项错误；由-2＜0可得出y随t的增大而减小，A选项错误；代入t=15求出y值，由此可得出：放水时间为15分钟时，水池中水量为10m3，B选项错误；由k=-2可得出每分钟的放水量是2m3，C选项正确．综上即可得出结论．
【详解】
解：设y与t之间的函数关系式为y=kt+b，
将（1，38）、（2，36）代入y=kt+b，
，解得：
∴y与t之间的函数关系式为y=-2t+40，D选项错误；
∵-2＜0，
∴y随t的增大而减小，A选项错误；
当t=15时，y=-2×15+40=10，
∴放水时间为15分钟时，水池中水量为10m3，B选项错误；
∵k=-2，
∴每分钟的放水量是2m3，C选项正确．
故选：C．
本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键．
3、D
【解析】
根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A. 不是同类项，不能合并，故本选项错误.
B. ,故本选项错误.
C. =，故本选项错误
D. ，本选项正确，
故选D
本题考查二次根的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键
4、B
【解析】
解：由题意可得杂拌糖总价为mx+ny，总重为x+y千克，那么杂拌糖每千克的价格为元．故选B．
5、C
【解析】
连接CG，由矩形的性质好已知条件可证明EF是△DGC的中位线，在直角三角形GBC中利用勾股定理可求出CG的长，进而可求出EF的长.
【详解】
连接CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD,∠B=90∘，AD=BC=8，
∴∠AGD=∠GDC，
∵DG平分∠ADC，
∴∠ADG=∠GDC，
∴∠AGD=∠ADG，
∴AG=AD=8，
∵AF⊥DG于点F，
∴FG=FD，
∵点E是CD的中点，
∴EF是△DGC的中位线，
∴EF=CG，
∵AB=14，
∴GB=6，
∴CG==10，
∴EF=×10=5，
故选C.
此题主要考查矩形的线段求解，解题的关键是熟知平行线的性质、三角形中位线定理及勾股定理的运用.
6、A
【解析】
利用不等式的性质判断即可．
【详解】
解：A、在不等式a＜b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a﹣3＜b﹣3，原变形正确，故本选项符合题意．
B、在不等式a＜b的两边同时除以2，不等式仍成立，即＜，原变形错误，故本选项不符合题意．
C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣1，不等号方向改变，即﹣a＞﹣b，原变形错误，故本选项不符合题意．
D、在不等式a＜b的两边同时乘以6，不等式仍成立，即6a＜6b，原变形错误，故本选项不符合题意．
故选：A．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．
7、C
【解析】
试题分析：根据函数的图像直接读取信息：①乙比甲晚出发1小时，正确；
②乙应出发2小时后追上甲，错误；
③甲的速度为12÷3=4（千米/小时），正确；甲到达需要20÷4=5（小时）；乙的速度为12÷2=6（千米/小时），SI④乙到达需要的时间为20÷6=3（小时），即乙在甲出发4小时到达，甲5小时到达，故乙比甲先到．正确．
故选C
考点：一次函数的图像与性质
8、C
【解析】
根据二次根式的性质和乘除法运算法则，对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选择：C.
本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除运算，以及同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，以及熟记乘除法运算的运算法则.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、y＝x-4
【解析】
首先设一次函数解析式为y＝kx+b，根据y随x的增大而增大可选取k＝1（k取任意一个正数即可），再把点（3，﹣1）代入可得﹣1＝3+b，计算出b的值，进而可得解析式．
【详解】
∵函数的值随自变量的增大而增大，
∴该一次函数的解析式为y=kx+b（k>0），
∴可选取k＝1，
再把点（3，﹣1）代入：﹣1＝3+b，
解得：b＝-4，
∴一次函数解析式为y＝x-4，
故答案为:y＝x-4（答案不唯一）．
本题考查一次函数的性质，掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
10、2
【解析】
先依据△ABF的面积为24，求出BF的长，再根据勾股定理求出AF，也就是BC的长，接下来，求得CF的长，设EC=x，则FE=DE=8﹣x，在△EFC中，依据勾股定理列出关于x的方程，从而可求得EC的长．
【详解】
解：∵AB=8，S△ABF=24
∴BF=1．
∵在Rt△ABF中，AF==10，
∴AD=AF=BC=10
∴CF=10﹣1=4
设EC=x，则EF=DE=8﹣x．
在Rt△ECF中，EF2=CF2+CE2，即（8﹣x）2=x2+42，解得，x=2．
∴CE=2．
故答案为2．
本题综合考查了翻折的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
11、-4或6
【解析】
方程两边同乘最简公分母(x-2)(x+2)，化为整式方程，然后根据方程有增根，求得x的值，代入整式方程即可求得答案.
【详解】
方程两边同乘(x-2)(x+2)，
得2(x+2)+mx=3(x-2)
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x+2)(x-2)=0，
解得x=-2或2，
当x=-2时，m=6，
当x=2时，m=-4，
故答案为：-4或6.
本题考查了分式方程增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12、2≤MN≤5
【解析】
根据中位线定理和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰直角三角形，求出MN=BD，然后根据点D在AB上时，BD最小和点D在BA延长线上时，BD最大进行分析解答即可．
【详解】
∵点P，M分别是CD，DE的中点，
∴PM=CE，PM∥CE，
∵点P，N分别是DC，BC的中点，
∴PN=BD，PN∥BD，
∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
∵PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM=PN=BD，
∴MN=BD，
∴点D在AB上时，BD最小，
∴BD=AB-AD=4，MN的最小值2；
点D在BA延长线上时，BD最大，
∴BD=AB+AD=10，MN的最大值为5，
∴线段MN的取值范围是2≤MN≤5．
故答案为：2≤MN≤5．
此题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，关键是根据全等三角形的判定和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰三角形．
13、7
【解析】
根据平方差公式展开，再开出即可；
【详解】
=
=
=7.
故答案为7.
本题考查了二次根式的化简，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较好，难度适中．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）4，8，87，1；（2）800人．
【解析】
（1）利用收集的数据以及中位数，众数的定义即可解决问题．
（2）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【详解】
解：（1）由数据可知初二年级60≤x＜70的有4人，80≤x＜90有8人，初一年级20人，中间两个数是86，1，故中位数==87，初二年级20人，出现次数最多的是1.故众数是1.由题意a=4，b=8，c=87，d=1．
故答案为：4，8，87，1．
（2）初一年级成绩90分以上的人数为1000×=300（人），
初二年级成绩90分以上的人数为1200×=500（人）
300+500=800（人）
答：初一、初二年级这次考试成绩90分以上的总人数为800人．
本题考查方差，平均数，中位数，众数，样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15、 (1)456 （2）见解析 （3）42
【解析】
（1）设这个“美数”的个位数为x，则根据题意可得方程，解方程求出x的值即可得出答案.
（2）设四位“美数”的个位为x、两位“美数””的个位为y,分别表示出四位“美数”和两位“美数”,再将四位“美数”减去任意一个两位“美数””之差再加上1的结果除以11判断结果是否为整数即可;
（3）根据题意两个数之和为55得出二元一次方程，化简方程，再根据x与y的取值范围，即可求出最大值.
【详解】
（1）设其个位数为x，则
解得：x=6
则这个“美数”为：
（2）设四位“美数”的个位为x、两位“美数””的个位为y，
根据题意得：

=
=
即：式子结果是11的倍数
（3）根据题意：



，
由10x+y可得x越大越大，即y为最小值时的值最大
则x=4，y=2时的值最大
的最大值为
本题主要考查二元一次方程的应用，解题关键是设个位数的数为x得出方程并解答.
16、 (1) yB＝1x－1(1≤x≤6)．(2)如果A，B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．
【解析】
试题分析：（1）设yB关于x的函数解析式为yB=kx+b（k≠0），将点（1，0）、（3，180）代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；
（2）设yA关于x的解析式为yA=k1x．将（3，180）代入可求得yA关于x的解析式，然后将x=6，x=5代入一次函数和正比例函数的解析式求得yA，yB的值，最后求得yA与yB的差即可．
试题解析：(1)设yB关于x的函数解析式为yB=kx＋b(k≠0)．
将点(1，0)，(3，180)代入，得，
解得：k=1，b=-1．
∴yB关于x的函数解析式为yB=1x－1(1≤x≤6)．
(2)设yA关于x的函数解析式为yA=k1x.
根据题意，得3k1=180.解得k1=60.
∴yA=60x.
当x=5时，yA=60×5=300；
当x=6时，yB=1×6－1=450.
450－300=150(千克)．
答：如果A，B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．
17、（1）（6，0）；（2）（-12，-9）； （3）（2，-2）
【解析】试题分析：（1）让纵坐标为0求得m的值，代入点P的坐标即可求解；（2）让纵坐标-横坐标=3得m的值，代入点P的坐标即可求解；（3）让横坐标为2求得m的值，代入点P的坐标即可求解.
试题解析：
（1））点P在x轴上，故纵坐标为0，所以m-1=0，m=1，点P的坐标（6，0）；
（2）因为点P的纵坐标比横坐标大3，故（m -1）-（2m+4）=3，m=-8，点P的坐标（-12，-9）；
(3) 点P在过A(2，-4)点，且与y轴平行的直线上,所以点P横坐标与A(2，-4）相同，即2m+4=2,m=-1，点P的坐标（2，-2）
18、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）根据角平分线的性质及平行线的判定得到，再根据即可证明.
【详解】
（1）解：∵四边形为平形四边形
∴
∵平分
∴
∴
∴，
∴
（2）证明：∵四边形为平行四边形
∴
∵平分
又∴
∴
∴
∴四边形为平行四边形
此题主要考查平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质定理.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
由题意结合图象可以知道，当x=1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集．
【详解】
解：两个条直线的交点坐标为A（1，3），
当x＜1时，
直线y=ax+4在直线y=3x的上方，
当x＞1时，
直线y=ax+4在直线y=3x的下方，
故不等式3x故答案为：x＜1．
本题主要考查正比例函数、一次函数和一元一次不等式的知识点，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
20、3
【解析】
根据平方差公式（）即可运算.
【详解】
解：原式=.
本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解决此题的关键.
21、或﹣．
【解析】
试题分析：当点F在OB上时，设EF交CD于点P，
可求点P的坐标为（，1）．
则AF+AD+DP=3+x， CP+BC+BF=3﹣x，
由题意可得：3+x=2（3﹣x），
解得：x=．
由对称性可求当点F在OA上时，x=﹣，
故满足题意的x的值为或﹣．
故答案是或﹣．
考点：动点问题．
22、8
【解析】
利用菱形的性质根据勾股定理求得AO的长，然后求得AC的长即可．
【详解】
如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO
∵BD=6，
∴BO=3，
∵周长为20，
∴AB=5，
由勾股定理得：AO==4，
∴AC=8，
故答案为：8
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是菱形问题转化为直角三角形问题求解．
23、
【解析】
OC与AB相交于D，如图，利用作法得到OA＝OB＝AC＝BC，则可判断四边形OACB为菱形，根据菱形的性质得到OC⊥AB，AD＝BD＝1，OD＝CD，然后利用勾股定理计算出OD，从而得到OC的长．
【详解】
解：OC与AB相交于D，如图，
由作法得OA＝OB＝AC＝BC，
∴四边形OACB为菱形，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝1，OD＝CD，
∵四边形OACB的周长为8cm，
∴OB＝2，
在Rt△OBD中，OD＝，
∴OC＝2OD＝2cm．
故答案为．
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）详见解析；（2）40°
【解析】
（1）先由HL判定Rt△BCE≌Rt△CDF，得到∠ABC＝∠DCF，然后由对顶角相等可得：∠DCF＝∠ACB，进而可得∠ABC＝∠ACB，然后由等角对等边，可得AB＝AC；
（2）由CD＝BC，可得∠CBD＝∠CDB，然后由三角形的外角的性质可得：∠ACB＝∠CBD＋∠CDB＝2∠CBD，由∠ABC＝∠ACB，进而可得：∠ABC＝2∠CBD，然后由∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝3∠CBD＝105，进而可求：∠CBD的度数及∠ABC的度数，然后由三角形的内角和定理即可求∠A的度数．
【详解】
解：（1）证明：∵，，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
此题考查了直角三角形全等的判定与性质，及等腰三角形判定与性质，解题的关键是：熟记三角形全等的判定与性质．
25、（1）；（2）边形是菱形，见解析，
【解析】
（1）首先根据折叠的性质，得出AE=DE，AF=DF，然后根据等腰三角形三线合一的性质，得出∠AFE=90°，判定，再根据得出和的相似比为，即可得解；
（2）①由折叠和平行的性质，得出，即可判定四边形是菱形；
②首先过点作于点，由得出，得出，然后根据，得出，进而得出FN、EN，根据勾股定理，即可求出EF.
【详解】
（1）根据题意，得AE=DE，AF=DF
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得∠AFE=90°
又∵∠EAF=∠BAC，∠AEF=∠ABC
∴
又∵，
∴，
∴和的相似比为
即
又∵, ,
∴
（2）四边形是菱形
由折叠的性质，得AE=EM，AF=FM，∠AEF=∠FEM，∠AFE=∠EFM
又∵
∴∠FEM=∠AFE
∴∠AEF=∠AFE，∠FEM=∠EFM
∴，
∴四边形是菱形
过点作于点
∵
∴
∴
∵, ,
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∴
此题主要考查折叠、平行线、等腰三角形和菱形的判定，熟练掌握，即可解题.
26、（1）当0＜t≤时，CP=2.5t，CQ=2t；当时，CP=8-2.5t，CQ=2t．
（2）当0＜t≤时，S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ=×2.5t××2t=；当时，S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ=×（8-2.5t）××2t=.
（3）0＜t≤或s
【解析】
（1）分两种情形：当0＜t≤时，当＜t时，分别求解即可．
（2）分两种情形：当0＜t≤时，当＜t≤时，根据S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ分别求解即可．
（3）分两种情形：当0＜t≤，可以证明△QCP∽△DCA，当＜t，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴CD===4，
当0＜t≤时，CP=2.5t，CQ=2t，
当时，CP=8-2.5t，CQ=2t．
（2）∵sin∠ACD==，
∴当0＜t≤时，S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ=×2.5t××2t=
当时，S△CPQ=•PC•sin∠ACD•CQ=×（8-2.5t）××2t=.
（3）①当0＜t≤时，
∵CP=2.5t，CQ=2t，
∴=，
∵=，
∴，
∵∠PCQ=∠ACD，
∴△QCP∽△DCA，
∴0＜t≤时，△QCP∽△DCA，
②当时，当∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，
∴，
∴，
解得：，
综上所述，满足条件的t的值为：0＜t≤或s时，△QCP∽△DCA．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
放水时间(分)
1
2
3
4
...
水池中水量(m)
38
36
34
32
...
初一年级
88
60
44
91
71
88
97
63
72
91
81
92
85
85
95
31
91
89
77
86
初二年级
77
82
85
88
76
87
69
93
66
84
90
88
67
88
91
96
68
97
59
88
分段
年级
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
初一年级
2
2
3
7
6
初二年级
1
a
2
b
5
统计量
年级
平均数
中位数
众数
方差
初一年级
78.85
c
91
291.53
初二年级
81.95
86
d
115.25