2025届天津市南开区翔宇学校数学九年级第一学期开学检测试题【含答案】

这是一份2025届天津市南开区翔宇学校数学九年级第一学期开学检测试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．DE∥BCB．BC=2DEC．DE=2BCD．∠ADE=∠B
2、（4分）如图，，两地被池塘隔开，小明想测出、间的距离；先在外选一点，然后找出，的中点，，并测量的长为，由此他得到了、间的距离为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）若点P（-2，a）在第二象限，则a的值可以是（ ）
A．1B．-1C．0D．-2
4、（4分）一元二次方程2x（x+1）=（x+1）的根是（）
A．x=0B．x=1
C．D．
5、（4分）某校八年级甲、乙两班学生在一学期里的多次检测中,其数学成绩的平均分相等,但两班成绩的方差不等,那么能够正确评价他们的数学学习情况的是( )
A．学一样
B．成绩虽然一样,但方差大的班里学生学习潜力大
C．虽然平均成绩一样,但方差小的班学习成绩稳定
D．方差较小的班学习成绩不稳定,忽高忽低
6、（4分）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠DB．AB=DCC．∠ACB=∠DBCD．AC=BD
7、（4分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时点P的坐标是( )
A．(2016，0)B．(2017，1)C．(2017，－1)D．(2018，0)
8、（4分）在20km的环湖越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如右上图所示，根据图中提供的信息，下列说法中错误的有（ ）
①出发后1小时，两人行程均为10km； ②出发后1.5小时，甲的行程比乙多2km；
③两人相遇前，甲的速度小于乙的速度； ④甲比乙先到达终点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知一次函数的图象过点，那么此一次函数的解析式为__________．
10、（4分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k＝_____．
11、（4分）如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．
12、（4分）一组数据2，3，1，3，5，4，这组数据的众数是___________．
13、（4分）王明在计算一道方差题时写下了如下算式：，则其中的____________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知点A、B、C、D的坐标分别为（-2，2），（一2，1），（3，1），（3，2），线段AD、AB、BC组成的图形记作G，点P沿D-A-B-C移动，设点P移动的距离为a，直线l：y=-x+b过点P，且在点P移动过程中，直线l随点P移动而移动，若直线l过点C，求
（1）直线l的解析式；
（2）求a的值．
15、（8分）阅读材料I:
教材中我们学习了:若关于的一元二次方程的两根为，根据这一性质，我们可以求出己知方程关于的代数式的值．
问题解决:
（1）已知为方程的两根，则: __ _，__ _，那么_ (请你完成以上的填空)
阅读材料:II
已知，且．求的值．
解:由可知
又且，即
是方程的两根．
问题解决:
（2）若且则 ；
（3）已知且．求的值．
16、（8分）已知：如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上的一个动点，连接OC，以OC为边在它的左侧作正方形OCDE连接BE、CE．
（1）当点C横坐标为4时，求点E的坐标；
（2）若点C横坐标为t，△BCE的面积为S，请求出S关于t的函数解析式；
（3）当点C在线段AB上运动时，点E相应随之运动，请求出点E所在的函数解析式．
17、（10分）先化简，再求值：当a=7时，求a+的值．
18、（10分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，E 为 BC 上一点，以 CE 为直径作⊙O 恰好经过 A、C 两点， PF⊥BC 交 BC 于点 G，交 AC 于点 F．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）如果 CF =2，CP =3，求⊙O 的直径 EC．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，平行四边形中，，，∠，点是的中点，点在的边上，若为等腰三角形，则的长为__________．
20、（4分）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且AP＝2，∠BAC＝60°，有一点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是______．
21、（4分）如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为_____．
22、（4分） “五一”期间，小红到某景区登山游玩，小红上山时间x（分钟）与走过的路程y（米）之间的函数关系如图所示，在小红出发的同时另一名游客小卉正在距离山底60米处沿相同线路上山，若小红上山过程中与小卉恰好有两次相遇，则小卉上山平均速度v（米/分钟）的取值范围是_____．
23、（4分）已知关于的方程的一个根是x=－1，则_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围。
25、（10分）如图1，矩形ABCD的四边上分别有E、F、G、H四点，顺次连接四点得到四边形EFGH．若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则四边形EFGH为矩形ABCD的“反射四边形”．
（1）请在图2，图3中分别画出矩形ABCD的“反射四边形EFGH”．
（2）若AB＝4，BC＝8，请在图2，图3中任选其一，计算“反射四边形EFGH”的周长．
26、（12分）用适当的方法解下列方程:
（1）
（2）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据三角形的中位线定理得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出结论．
【详解】
解：∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=BC，
∴BC=2DE，∠ADE=∠B，
故选C．
本题考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的定义得出DE是△ABC的中位线是解答此题的关键．
2、B
【解析】
根据三角形中位线定理解答．
【详解】
∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴AB＝2MN＝38（m），
故选B．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
3、A
【解析】
根据第二象限内点的纵坐标是正数判断.
【详解】
∵点P（-2，a）在第二象限，
∴a＞0，
∴1、0、-1、-2四个数中，a的值可以是1．
故选A．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4、D
【解析】
移项，提公因式法分解因式，即可求得方程的根．
【详解】
解：2x（x+1）=（x+1），
2x（x+1）-（x+1）=0，
（2x-1）（x+1）=0，
则方程的解是：x1= ，x2=-1．
故选：D．
本题考查一元二次方程的解法-因式分解法，根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．
5、C
【解析】
分析：由题意知数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，数学的平均成绩一样，说明甲和乙的平均水平基本持平，方差较小的同学，数学成绩比较稳定，选择学生参加考试时，还要选方差较小的学生．
解答：解：∵数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，
数学的平均成绩一样，说明甲和乙的平均水平基本持平，
方差较小的同学，数学成绩比较稳定，
故选C．
6、D
【解析】
A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
7、B
【解析】
试题解析：以时间为点P的下标．
观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-1），P4（4，0），P5（5，1），…，
∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，-1）．
∵2017=504×4+1，
∴第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）．
故选B.
8、B
【解析】
根据图像所给信息，结合函数图像的实际意义判断即可.
【详解】
解：由图像可得出发后1小时，两人行程均为10km，①正确；甲的速度始终为，乙在内，速度为，在内，速度为，所以出发后1.5小时，甲的行程为，而乙的行程为，，所以出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km，②错误；相遇前，在内，乙的速度大于甲的速度，在内，乙的速度小于甲的速度，③ 错误；由图像知，甲2小时后到达终点，而乙到达终点花费的时间比甲的长，所以甲比乙先到达终点，④正确.错误的说法有2个.
故答案为：B
本题是根据函数图像获取信息，明确函数图像所表达的实际意义是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
用待定系数法即可得到答案.
【详解】
解：把代入得，解得，
所以一次函数解析式为．
故答案为
本题考查求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
10、-1
【解析】
把点A（2，﹣3）代入y＝求得k的值即可．
【详解】
∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），
∴﹣3＝，
解得，k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．
11、180°
【解析】
解：∵AB∥CD
∴∠1=∠EFD
∵∠2+∠EFC=∠3
∠EFD=180°-∠EFC
∴∠1+∠3—∠2=180°
故答案为：180°
12、1
【解析】
根据众数的概念即可得到结果.
【详解】
解：在这组数据中1出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是1；
故答案为：1．
此题考查了众数的定义；熟记众数的定义是解决问题的关键．
13、1.865
【解析】
先计算出4个数据的平均数，再计算出方差即可.
【详解】
∵，
∴
=
=
=
=
=1.865.
故答案为：1.865.
此题主要考查了方差的计算，求出平均数是解决此题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（3）y=-x+2；（2）当l过点C时，a的值为3或3．
【解析】
（3）将点D坐标代入y=-x+b，解出b，再代回即可得函数的解析式；
（2）l过点C，点P的位置有两种：①点P位于点E时；②点P位于点C时；
【详解】
（3）当y=-x+b过点C（3，3）时，
3=-3+b，
∴b=2．
直线l的解析式为y=-x+2．
（2）∵点A，B，C，D的坐标分别为（-2，2），（-2，3），（3，3），（3，2）．
∴AD=BC=5，AB=3，
∵直线l的解析式为y=-x+2．
∴由得l与AD的交点E为（2，2）
∴DE=3．
∴①当l过点C时，点P位于点E时，a=DE=3；
②当l过点C时，点P位于点C时，a=AD+AB+BC=5+3+5=3．
∴当l过点C时，a的值为3或3．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，本题中等难度．
15、（1）-3；-1；11；（2）；（3）．
【解析】
（1）根据根与系数的关系可求出x1+x2和x1x2的值，然后利用完全平方公式将变形为，再代值求解即可；
（2）利用加减法结合因式分解解方程组，然后求值即可；
（3）根据材料中的的解法将等式变形，然后将m和看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出m+和m•的值，然后再代值求解．
【详解】
解：（1）∵为方程的两根，
∴，
故答案为：-3；-1；11；
（2）
①×b得：
②×a得：
③-④得：
或
∴或
又∵
∴，即
故答案为：；
（3）由n2+3n-2=0可知n≠0；
∴
∴
又2m2-3m-1=0，且mn≠1，即m≠；
∴m、是方程2x2-3x-1=0的两根，
∴m+＝，m•＝；
∴．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的关系是解答此题的关键．
16、（1）（﹣2，4）；（2）S＝﹣t2+1t；（3）y＝x+1
【解析】
(1)作CF⊥OA于F，EG⊥x轴于G．只要证明△CFO≌△OGE即可解决问题；
(2)只要证明△EOB≌△COA，可得BE＝AC，∠OBE＝∠OAC＝45°，推出∠EBC＝90°，即EB⊥AB，由C(t，﹣t+1)，可得BC＝t，AC＝BE＝(1﹣t)，根据S＝•BC•EB，计算即可；
(3)由(1)可知E(t﹣1，t)，设x＝1﹣t，y＝t，可得y＝x+1．
【详解】
解：(1)作CF⊥OA于F，EG⊥x轴于G．
∴∠CFO＝∠EGO＝90°，
令x＝4，y＝﹣4+1＝2，
∴C(4，2)，
∴CF＝2，OF＝4，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OC＝OE，OC⊥OE，
∵OC⊥OE，
∴∠COF+∠EOG＝90°，∠COF+∠OCF＝90°，
∴∠EOG＝∠OCF，
∴△CFO≌△OGE，
∴OG＝OF＝4，OG＝CF＝2，
∴G(﹣2，4)．
（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于B，
∴令x＝0得到y＝1，
∴B(0，1)，
令y＝0，得到x＝1，
∴A(1，0)，
∴OA＝OB＝1，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠AOB＝∠EOC＝90°，
∴∠EOB＝∠COA，
∵OE＝OC，
∴△EOB≌△COA，
∴BE＝AC，∠OBE＝∠OAC＝45°，
∴∠EBC＝90°，即EB⊥AB，
∵C(t，﹣t+1)，
∴BC＝t，AC＝BE＝(1﹣t)，
∴S＝•BC•EB＝×t•(1﹣t)＝﹣t2+1t．
(3)当点C在线段AB上运动时，由(1)可知E（t﹣1，t），
设x＝1﹣t，y＝t，
∴t＝x+1，
∴y＝x+1．
故答案为(1)(﹣2，4)；(2)S＝﹣t2+1t；(3)y＝x+1.
本题考查一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
17、，13
【解析】
先根据二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】
原式=
当a=7时，
原式=
本题考查的是二次根式的性质化简求值，熟知二次根式的性质是解答此题的关键．
18、（1）见解析；（2）⊙O 的直径EC= 1.
【解析】
（1）若要证明AB是⊙O的切线，则可连接AO，再证明AO⊥AB即可．
（2）连接OP，设OG为x，在直角三角形FCG中，由CF和角ACB为10°，利用10°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出CG的长，即可表示出半径OC和OP的长，在直角三角形CGP中利用勾股定理表示出PG的长，然后在直角三角形OPG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后求出直径即可．
【详解】
证明：（1）连接AO，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=10°，
∵AO=CO，
∴∠0AC=∠OCA=10°，
∴∠BAO=120°-10°=90°，
∵OA 是半径
∴AB 是⊙O 的切线；
（2）解：连接OP，
∵PF⊥BC，∴∠FGC=∠EGP=90°，
∵CF=2，∠FCG=10°，∴FG=1，
∴在Rt△FGC 中CG=
∵CP=1．∴Rt△GPC 中，PG=
设OG=x，则OC=x+，连接OP，，显然OP=OC=x+
在 Rt△OPG 中，由勾股定理知
即(x+)2=x2+()2∴x .
∴⊙O 的直径EC=EG+CG=2x++=1.
故答案为：（1）见解析；（2）⊙O 的直径EC= 1.
本题考查圆的切线的判定，常用的切线的判定方法是连接圆心和某一点再证垂直．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、或或1
【解析】
根据点P所在的线段分类讨论，再分析每种情况下腰的情况，然后利用直角三角形的性质和勾股定理分别求值即可．
【详解】
解：①当点P在AB上时,由∠ABC=120°,此时只能是以∠PBE为顶角的等腰三角形,BP=BE,过点B作BF⊥PE于点F,如下图所示
∴∠FBE=∠ABC=10°,EP=2EF
∴∠BEF=90°－∠FBE=30°
∵，点是的中点
∴BE=
在Rt△BEF中，BF=
根据勾股定理：EF=
∴EP=2EF=；
②当点P在AD上时，过点B作BF⊥AB于F，过点P作PG⊥BC，如下图所示
∵∠ABC=120°
∴∠A=10°
∴∠ABF=90°－∠A=30°
在Rt△ABF中AF=，BF=
∴BP≥BF＞BE，EP≥BF＞BE
∴此时只能是以∠BPE为顶角的等腰三角形,BP=PE,
∴PG=BF=，EG=
根据勾股定理：EP=；
③当点P在CD上时，过点E作EF⊥CD于F，过点B作BG⊥CD
由②可知：BE的中垂线与CD无交点，
∴此时BP≠PE
∵∠A=10°，四边形ABCD为平行四边形
∴∠C=10°
在Rt△BCG中，∠CBG=90°－∠C=30°，CG=
根据勾股定理：BG=
∴BP≥BG＞BE
∵EF⊥CD，BG⊥CD，点E为BC的中点
∴EF为△BCG的中位线
∴EF=
∴此时只能是以∠BEP为顶角的等腰三角形,BE=PE=1．
综上所述：的长为或或1．
故答案为：或或1
此题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定理，掌握三线合一、30°所对的直角边是斜边的一半、利用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
20、1．
【解析】
作PH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到PH=PE，根据余弦的定义求出AE，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
作PH⊥AB于H，
∵AD是∠BAC的平分线，PE⊥AC，PH⊥AB，
∴PH=PE，
∵P是∠BAC的平分线AD上一点，
∴∠EAP=30°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∴AE=AP×cs∠EAP=3，
∵△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，PH=PE，
∴AF=2AE=1，
故答案为1．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
21、100°
【解析】
根据线段垂直平分线的性质，得根据等腰三角形的性质，得再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】
∵BD垂直平分AE，
∴
∴
∴
故答案为100°．
考查线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
22、6＜v＜2或v＝4.2
【解析】
利用极限值法找出小卉走过的路程y与小红上山时间x之间的函数图象经过的点的坐标，由点的坐标利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再结合函数图象，即可找出小卉上山平均速度v（米/分钟）的取值范围．
【详解】
解：设小卉走过的路程y与小红上山时间x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
将（0，1）、（30，300）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴此种情况下，y关于x的函数关系式为y＝2x+1；
将（0，1）、（70，420）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴此种情况下，y关于x的函数关系式为y＝6x+1；
将（0，1）、（50，300）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴此种情况下，y关于x的函数关系式为y＝4.2x+1．
观察图形，可知：小卉上山平均速度v（米/分钟）的取值范围是6＜v＜2或v＝4.2．
故答案为6＜v＜2或v＝4.2
本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
23、
【解析】
试题分析：因为方程的一个根是x=－1，所以把x=－1代入方程得，所以，所以.
考点：一元二次方程的根.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据公式法即可求出答案两根，然后根据题意列出不等式即可求出答案．
【详解】
（1）证明：
.
∵，即，
∴此方程总有两个实数根.
（2）解：
解得，.
∵此方程有一个根是负数，而，
∴，即.
∴m的取值范围是.
本题考查一元二次方程根的判别式，以及求根公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
25、（1）见解析；（2）8
【解析】
（1）根据反射四边形的定义即可得；
（2）利用勾股定理分别求得各边的长度，由周长公式求解可得．
【详解】
解：（1）如图所示，四边形EFGH即为所求；
（2）在图②中，EF＝FG＝GH＝HE＝，
∴反射四边形EFGH的周长为8；
在图③中，EF＝GH＝，
∴反射四边形EFGH的周长为．
本题主要考查作图-应用与设计作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
26、（1）；（2）.
【解析】
（1）首先分解因式，再用十字相乘法计算；
（2）首先转化形式，然后直接采用平方差公式计算.
【详解】
原方程可转化为：
原方程可转化为：
此题主要考查一元二次方程的解法，熟练运用，即可解题.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人