2025届肇庆市重点中学九年级数学第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】

这是一份2025届肇庆市重点中学九年级数学第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
2、（4分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ）
A．7B．9C．2D．1
4、（4分）若分式方程＝2+有增根，则a的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
5、（4分）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．8，13，5D．1，，1
6、（4分）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为( )
A．2B．3C．4D．5
7、（4分）若ab＞0，ac＜0，则一次函数的图象不经过下列个象限（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8、（4分）下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是 ．
10、（4分）如图，已知一次函数y＝kx+b经过A（2，0），B（0，﹣1），当y＞0时，则x的取值范围是_____．
11、（4分）小张和小李练习射击，两人10次射击训练成绩（环数）的统计结果如表所示，
通常新手的成绩不稳定，根据表格中的信息，估计小张和小李两人中新手是_____．
12、（4分）如图所示，△ABC为等边三角形，D为AB的中点，高AH=10 cm，P为AH上一动点，则PD+PB的最小值为_______cm．
13、（4分）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某校在一次献爱心捐款活动中，学校团支部为了解本校学生的各类捐款人数的情况，进行了一次统计调查，并绘制成了统计图①和②，请解答下列问题．
（1）本次共调查了多少名学生．
（2）补全条形统计图．
（3）这些学生捐款数的众数为 ，中位数为 ．
（4）求平均每个学生捐款多少元．
（5）若该校有600名学生，那么共捐款多少元．
15、（8分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过300元后的价格部分打7折．
（1）以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出与的函数解析式；
（2）在同一直角坐标系中画出（1）中函数的图象；
（3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
16、（8分）计算：÷+×﹣．
17、（10分）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
18、（10分）四边形中，，，，，垂足分别为、.
（1）求证：；
（2）若与相交于点，求证：.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若分式方程有增根,则等于__________.
20、（4分）当m=____时，关于x的分式方程无解．
21、（4分）如图在中，，，的平分线交于，交的延长线于，则的值等于_________.
22、（4分）某公司测试自动驾驶技术,发现移动中汽车“”通信中每个数据包传输的测量精度大约为0.0000018秒，请将数据0.0000018用科学计数法表示为__________．
23、（4分）如图，已知函数和的图象交于点P, 则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是_____________。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知点A（6，0），B（8，5），将线段OA平移至CB，点D（x，0）在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．
（1）求对角线AC的长；
（2）△ODC与△ABD的面积分别记为S1，S2，设S＝S1﹣S2，求S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等，如果存在，请求出x的值（或取值范围）；如果不存在，请说明理由．
25、（10分）（1）计算：（1+2）（﹣）﹣（﹣）2
（2）因式分解：2mx2﹣8mxy+8my2
26、（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（2﹣x）＝x2﹣2
（2）（2x+5）2﹣3（2x+5）+2＝0
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
2、C
【解析】
由题意得函数关系式为，所以该函数为反比例函数．B、C选项为反比例函数的图象，再依据其自变量的取值范围为x＞0确定选项为C．
3、D
【解析】
先将化简为最简二次根式，，根据同类二次根式的定义得出a+1=2，求出a即可．
【详解】
∵与最简二次根式是同类二次根式
∴a+1=2
解得a=1
故选：D
本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；把几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．
4、A
【解析】
分式方程无解有两种可能，一种是转化为的整式方程本身没有解，一种是整式方程的解使分式方程的分母为0.
【详解】
原式可化为，因为分式方程无解，即等式不成立或无意义，当时，方程无意义，代入求得.
理解无解的含义是解题的关键.
5、D
【解析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形；
B、因为52+42≠62，所以不能组成直角三角形；
C、因为52+82≠132，所以不能组成直角三角形；
D、因为12+12＝（）2，所以能组成直角三角形．
故选：D．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6、D
【解析】
试题解析：∵=，且是整数，
∴2是整数，即1n是完全平方数，
∴n的最小正整数为1．
故选D．
点睛：主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则．除法法则．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
7、C
【解析】
根据ab＞0，ac＜0，可以得到a、b、c的正负，从而可以判断一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【详解】
解：∵ab＞0，ac＜0，
∴当a＞0时，b＞0，c＜0，当a＜0时，b＜0，c＞0，
∴当a＞0时，b＞0，c＜0时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
当a＜0时，b＜0，c＞0时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
由上可得，一次函数的图象不经过第三象限，
故选：C．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
8、A
【解析】
试题分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形性质做出判断．①既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；②不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；③不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；④是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确．
故选A．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
试题分析：延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．
解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE=DE，
在△AEB和△KED中，
，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF=CK=（DC﹣DK）=（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC，
又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD，
∴EG+GF=（AD+BC），
∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC﹣AB=6，
∴EG+GF=6，FE=3，
∴△EFG的周长是6+3=1．
故答案为：1．
点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
10、x＞1
【解析】
利用待定系数法可得直线AB的解析式为y＝x−1，依据当y＞0时，x−1＞0，即可得到x的取值范围．
【详解】
解：由A（1，0），B（0，﹣1），可得直线AB的解析式为y＝x﹣1，
∴当y＞0时，x﹣1＞0，
解得x＞1，
故答案为：x＞1．
本题主要考查了一次函数与不等式之间的联系，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx＋b，解题关键是求出直线解析式.
11、小李
【解析】
根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定. 观察表格可得，小李的方差大，说明小李的成绩波动大，不稳定，
【详解】
观察表格可得，小李的方差大，意味着小李的成绩波动大，不稳定
此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
12、10
【解析】
连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线．
【详解】
连接PC,
∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，
∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm.
故答案为：10
考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，找出点P的位置是解题的关键.
13、
【解析】
根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果.
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）本次调查的学生总人数为50人；（2）补全条形图见解析；（3）15元、15元；（4）平均每个学生捐款13元；（5）该校有600名学生，那么共捐款7800元．
【解析】
（1）由捐款5元的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以对应百分比求得捐10元、20元的人数，据此补全图形可得；
（3）根据众数和中位数的定义计算可得；
（4）根据加权平均数的定义求解可得；
（5）总人数乘以样本中每个学生平均捐款数可得．
【详解】
（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人）；
（2）10元的人数为50×28%＝14（人），20元的人数为50×12%＝6（人），
补全条形图如下：
（3）捐款的众数为15元，中位数为＝15（元），
故答案为：15元、15元．
（4）平均每个学生捐款 ＝13（元）；
（5）600×13＝7800，
答：若该校有600名学生，那么共捐款7800元．
本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获取准确的信息．
15、（1）甲商场：y=0.8x，乙商场：y=x（0≤x≤300），y=0.7x+90（x＞300）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
（2）利用两点法作出函数图象即可；
（3）求出两家商场购物付款相同的x的值，然后根据函数图象作出判断即可．
【详解】
解：（1）甲商场所有商品按8折出售，
则甲商场：y=0.8x，
乙商场对一次购物中超过300元后的价格部分打7折，
则乙商场：y=x（0≤x≤300），
y=（x-300）×0.7+300=0.7x+90（x＞300）；
（2）如图，函数的图象如图所示；
（3）当0.8x=0.7x+90时，x=900，
所以，x＜900时，甲商场购物更省钱，
x=900时，甲、乙两商场购物更花钱相同，
x＞900时，乙商场购物更省钱．
本题考查了一次函数的应用，一次函数图象，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意乙商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．
16、.
【解析】
先进行二次根式化简和乘除运算，然后再进行加减即可.
【详解】
解：原式
＝4﹣．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
17、 (1)见解析；（1）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）c1=a1+ab+b1
【解析】
试题分析：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、
（1）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.
试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠1，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠1=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（1）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c1=（a+b）1+（b）1，
∴c1=a1+ab+b1．
考点：1.全等三角形的判定与性质；1.勾股定理.
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【详解】
证明：（1）∵BE=DF，
∴BE-EF=DF-EF，
即BF=DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE=∠CBF，
∴AD∥BC，又AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、4
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】
解：方程两边都乘以（x-2），得
，
∵原方程的增根是，
把增根代入，得：，
∴，
故答案为：4.
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
20、-6
【解析】
把原方程去分母得，2x+m=-(x-3)①，把x=3代入方程①得，m=-6，故答案为-6.
21、4
【解析】
根据平行四边形的性质得到∠F=∠DCF，根据角平分线的性质得到BF=BC=8，从而解得答案.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，
∴∠F=∠DCF，
∵∠C平分线为CF，
∴∠FCB=∠DCF，
∴∠F=∠FCB，
∴BF=BC=8，
同理：DE=CD=6，
∴AF=BF-AB=2，AE=AD-DE=2，
∴AE+AF=4；
本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和角平分线的性质.
22、
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
．
故答案为：．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
23、
【解析】
由图可知：两个一次函数的交点坐标为（-4，-2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】
函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（-4，-2），
即x=-4，y=-2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解是．
故答案为：．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1） ；（2）D（x，0）（x＞6）
【解析】
（1）根据平移的性质可以求得点C的坐标，然后根据两点间的距离公式即可求得AC的长；
（2）根据题意，可以分别表示出S1，S2，从而可以得到S关于x的函数解析式，由图和题目中的条件可以求得△CDB的面积，从而可以求得满足条件的点D的坐标，本题得以解决．
【详解】
（1）由题意知，将线段OA平移至CB，
∴四边形OABC为平行四边形．
又∵A（6，0），B（8，5），∴点C（2，5）．
过点C作CE⊥OA于E，连接AC，在Rt△CEA中，
AC===．
（2）∵点D的坐标为（x，0），
若点D在线段OA上，即当0＜x＜6时，
，，
∴＝5x－1．
若点D在OA的延长线上，即当x＞6时，
，，
∴＝1．
由上可得，
∵，
当0＜x＜6时，时，x=6（与A重合，不合题意，舍去）；
当x＞6时，，点D在OA延长线上的任意一点处都可满足条件，
∴点D所在位置为D（x，0）（x＞6）.
本题考查一次函数的应用、平移的性质、两点间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
25、（1）﹣+1；（1）1m（x﹣1y）1．
【解析】
（1）利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可
（1）先提取公因式1m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
（1）原式＝﹣+6﹣1 ﹣（1﹣1+3）
＝﹣+6﹣1﹣5+1
＝﹣+1；
（1）原式＝1m（x﹣4xy+4y）
＝1m（x﹣1y）1．
此题考查提公因式法与公式法的综合运用，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则
26、（1）x1＝，x1＝；（1）x1＝﹣，x1＝﹣1．
【解析】
（1）整理后求出b1﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）x（1﹣x）＝x1﹣1，整理得：x1﹣x﹣1＝0，△＝b1﹣4ac＝（﹣1）1﹣4×1×（﹣1）＝5，x，∴x1，x1；
（1）（1x+5）1﹣3（1x+5）+1＝0，（1x+5﹣1）（1x+5﹣1）＝0，1x+5﹣1＝0，1x+5﹣1＝0，∴x1，x1＝﹣1．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解答此题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
平均数
中位数
众数
方差
小张
7.2
7.5
7
1.2
小李
7.1
7.5
8
5.4