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河南省南阳市南阳市第二中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
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这是一份河南省南阳市南阳市第二中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：高鹏歌审题人：马成霞
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知椭圆的焦距为2，则的值为（ ）
A．5B．C．3或5D．或
2．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点．若，，，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知为椭圆的焦点，为椭圆上一动点，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
7．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴的交点为，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线：与直线：的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列结论正确的是（ ）
A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为；
B．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1
C．已知，为坐标原点，点是圆：外一点，且直线的方程是，则直线与圆相交；
D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为；
10．已知椭圆：，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B．的最小值为
C．若为直角三角形，则的面积为
D．的范围为
11．已知直线：交椭圆于，两点，，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线的对称点为，则（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．若，则椭圆的离心率为
C．
D．若直线平行于轴，则
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．过作圆：的切线，则其切线方程为_________．
13．已知点，动点在圆：上运动，线段的垂直平分线交于点，则的轨迹方程为_________；若动点在圆上运动，则的最大值为_________．
14．已知是椭圆：的左焦点，直线交椭圆于，两点．若，，则椭圆的离心率为_________．
四、解答题（共5小题，共77分）
15．（13分）设直线：与直线：交于点．
（1）当直线过点，且与直线：垂直时，求直线的方程；
（2）当直线过点，且坐标原点到直线的距离为1时，求直线的方程．
16．（15分）已知圆过点，，且圆心在直线：上．
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程．
17．（15分）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆交于，两点，且，求的值．
18．（17分）已知椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率．
19．（17分）已知椭圆：的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为4，若为正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长；
（3）过点的直线与椭圆相交于，两点，，求直线的方程．
答案
1-8 BABDCACD 9．BC 10．ACD 11．ACD
12．或． 13．；6． 14．．
15．由，解得点．
（1）由直线：可知：．
，直线的斜率，
又直线过点，
故直线的方程为：，即．
（2）因为直线过点，
①当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即．
由坐标原点到直线的距离，解得，
因此直线的方程为：，即．
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证可知符合题意．
综上所述，所求直线的方程为或．
16．（1）由，，得直线的斜率为，线段中点
所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线即为直线，且，
直线方程为，即．
17．（1）直线与圆相切，且圆心的坐标为，
圆的半径，
则圆的方程为；
（2）联立，得，
由，解得，
设，，则，，
，，
即，
，解得，符合题意，
18．（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以，
又椭圆过点，所以，解得，，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率不可能为0，设其方程为，，，
联立，消去，得，
所以，，
恒成立，
所以的面积，
整理得，即，
解得或（舍），
所以，所以直线的斜率．
19．（1）由长轴长为4，，，
再由为正三角形，为上顶点，可得，
，解得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）由（1）可得上焦点，由题意可设直线的方程为：，
设，，联立，整理可得，
可得，，，
所以弦长；
（3）当直线的斜率为0时，则过的直线为轴，可得，为长轴的顶点，
因为，设，，，则，，
显然，所以设直线的方程为，
设，，
联立，整理可得：，
可得，，
因为，即，
可得，即，代入，可得，，
再代入，可得，解得：，
可得，
所以直线的方程为．
命题人：高鹏歌审题人：马成霞
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知椭圆的焦距为2，则的值为（ ）
A．5B．C．3或5D．或
2．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点．若，，，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知为椭圆的焦点，为椭圆上一动点，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
7．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴的交点为，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线：与直线：的交点为，椭圆的焦点为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列结论正确的是（ ）
A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为；
B．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1
C．已知，为坐标原点，点是圆：外一点，且直线的方程是，则直线与圆相交；
D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为；
10．已知椭圆：，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1
B．的最小值为
C．若为直角三角形，则的面积为
D．的范围为
11．已知直线：交椭圆于，两点，，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线的对称点为，则（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．若，则椭圆的离心率为
C．
D．若直线平行于轴，则
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．过作圆：的切线，则其切线方程为_________．
13．已知点，动点在圆：上运动，线段的垂直平分线交于点，则的轨迹方程为_________；若动点在圆上运动，则的最大值为_________．
14．已知是椭圆：的左焦点，直线交椭圆于，两点．若，，则椭圆的离心率为_________．
四、解答题（共5小题，共77分）
15．（13分）设直线：与直线：交于点．
（1）当直线过点，且与直线：垂直时，求直线的方程；
（2）当直线过点，且坐标原点到直线的距离为1时，求直线的方程．
16．（15分）已知圆过点，，且圆心在直线：上．
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程．
17．（15分）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆交于，两点，且，求的值．
18．（17分）已知椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率．
19．（17分）已知椭圆：的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为4，若为正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长；
（3）过点的直线与椭圆相交于，两点，，求直线的方程．
答案
1-8 BABDCACD 9．BC 10．ACD 11．ACD
12．或． 13．；6． 14．．
15．由，解得点．
（1）由直线：可知：．
，直线的斜率，
又直线过点，
故直线的方程为：，即．
（2）因为直线过点，
①当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即．
由坐标原点到直线的距离，解得，
因此直线的方程为：，即．
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证可知符合题意．
综上所述，所求直线的方程为或．
16．（1）由，，得直线的斜率为，线段中点
所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线即为直线，且，
直线方程为，即．
17．（1）直线与圆相切，且圆心的坐标为，
圆的半径，
则圆的方程为；
（2）联立，得，
由，解得，
设，，则，，
，，
即，
，解得，符合题意，
18．（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以，
又椭圆过点，所以，解得，，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率不可能为0，设其方程为，，，
联立，消去，得，
所以，，
恒成立，
所以的面积，
整理得，即，
解得或（舍），
所以，所以直线的斜率．
19．（1）由长轴长为4，，，
再由为正三角形，为上顶点，可得，
，解得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）由（1）可得上焦点，由题意可设直线的方程为：，
设，，联立，整理可得，
可得，，，
所以弦长；
（3）当直线的斜率为0时，则过的直线为轴，可得，为长轴的顶点，
因为，设，，，则，，
显然，所以设直线的方程为，
设，，
联立，整理可得：，
可得，，
因为，即，
可得，即，代入，可得，，
再代入，可得，解得：，
可得，
所以直线的方程为．
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