河南省郑州市省级示范性高中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份河南省郑州市省级示范性高中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点（-2，1，4）关于x轴对称的点坐标是（ ）
A.（-2，1，-4）B.（2，1，4）C.（-2，-1，-4）D.（2，-1，4）
2.已知直线：，：，若，则（ ）
A.-1或2B.1C.1或-2D.-2
3.直线：与圆O：交于A，B两点，则的面积为（ ）
A.B.2C.D.
4.在正方体中，E是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
5.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为（-1，2，3），则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A.B.C.D.
6.点P在直线：上运动，，，则的最大值是（ ）
A.B.C.3D.4
7.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”.用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为分别和，则这两平面所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知动点M与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（共4题，每题5分）
9.已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A.向量与向量的夹角为B.
C.向量在向量上的投影向量为D.向量与向量，共面
10.已知直线：与圆C：相交于E，F两点，则（ ）
A.圆心C的坐标为（1，0）B.圆C的半径为
C.圆心C到直线7的距离为2D.
11.已知圆C：，直线：，则以下命题正确的有（ ）
A.直线恒过定点（3，0）
B.y轴被圆C截得的弦长为
C.直线与圆C恒相交
D.直线/被圆C截得弦长最长时，直线的方程为
12.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A.B.
C.与夹角是60°D.直线与直线的距离是
三、填空题（共4题，每题5分）
13.已知向量，，且与互相垂直，则的值是_________.
14.过点且与圆C：相切的直线方程为_________.
15.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如下图，四面体为鳖臑，平面，，且，则二面角的余弦值为_________.
16.已知点和直线：，则点P到直线的距离的取值范围是_________.
四、解答题（共6题，总分70分）
17，（10分）已知三个顶点的坐标分别是，，.
（1）求的面积；
（2）求外接圆的方程.
18.（12分）已知直线：，直线：.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值，
19.（12分）在棱长为1的正方体中，为线段中点，F为线段的中点.
（1）求点B至直线的距离：
（2）求直线到平面的距离.
20.（12分）如图，在多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值，
21.（12分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险?
22.（12分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三校锥，且.
（1）证明：平面平面；
（2）点M是棱上不同于P，A的动点，设，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
参考答案：
1.C
【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点（-2，1，4）关于x轴对称的点坐标为（-2，-1，-4）.
故选：C.
2.B
【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验.
【详解】因为，：，：，
所以，所以，解得或，
当时，：，：，直线，重合，不满足要求，
当时，：，：，直线，平行，满足要求，
故选：B.
3.B
【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心作于D，分别计算和，即可求得的面积.
【详解】
如图，由圆：配方得，，知圆心为，半径为2，
过点作于D，由到直线：的距离为，
则，
故的面积为.
故选：B.
4.A
【分析】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A.
5.A
【分析】借助待定系数法设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标计算即可得.
【详解】由题意可得，
设，
即有，
即可得，解得，即，
即向量在基底下的斜坐标为.
故选：A.
6.A
【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可.
【详解】设B关于：的对称点为，
则，解得，即
故，，
当且仅当，P，A，C三点共线时，等号成立.
故选：A
7.B
【分析】由定义得出两直线的法向量，数量积公式求出法向量的夹角余弦值.
【详解】平面的法向量为而，平面的法向量为，
则，则两平面所成角的余弦值为，
故选：B.
8.C
【分析】根据题意，求出点M的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.
【详解】设动点，则，
化简得，
所以点M的轨迹为圆E：，
如图，过点O作圆E的切线，连接，则，，
所以，同理，
则直线的斜率范围为.
故选：C.
9.ABD
【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D.
【详解】因为，所以，
可得，则向量与向量的夹角为，故A正确；
因为，
所以，即B正确；
根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为
，，所以C错误；
由向量，，，可知，
向量与向量，共面，所以D正确.
故选：ABD
10.ACD
【分析】化圆的方程为标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D.
【详解】对于AB，圆C：的圆心，半径，A正确，B错误；
对于C，点到直线：的距离，C正确；
对于D，，D正确.
故选：ACD
11.CD
【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判项D.
【详解】对于A，直线：，即，
由，解得，，故直线过定点，故A错误；
对于B，圆C：，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；
对于C，直过定点，，故点P在圆内，则直线与圆C恒相交，故C正确；
对于D，当直线被圆C截得弦长最长时，直线过圆心（1，2），则，解得，
故直线方程为：，即，故D正确.
故选：CD
12.ABD
【分析】设，，，依题得，，运用向量数量积的运算律计算即可判断A，B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项：利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项.
【详解】
如图，设，，，
则，，
对于A，因，，
则，故A正确；
对于B，因，，
则，故B正确；
对于C，，，则，
且，，
设与夹角为，则，
因，则，
即C错误：
对于D，在平行六面体中，易得，，
则得，故，故点到直线的距离即直线与直线的距离.
因，，
且，，
则，故D正确.
故选：ABD.
13./1.4
【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
【详解】，
.
因为与互相垂直，
所以，
即，
解得：.
故答案为：.
14.或
【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解.
【详解】解：将圆C方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为是圆C的切线，满足题意：
当过点的直线斜率存在时，
可设直线方程为，即，
利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，
即此直线方程为，
故答案为：或.
15./0.5
【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面与平面的法向量，然后利用公式计算即可.
【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为
，∴
不妨设，则，
设平面的法向量为
，∴
不妨设，则，，
设为，则.
故答案为：.
16.
【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可
【详解】：可化为：
设直线的定点为A，点P到直线的距离为d，则有：
可得：为直线的定点
则有：，此时为点P到直线的最大距离
若在直线上，则有：，即-5=0
可得：不可能在直线上，则有：
综上可得：
故答案为：.
17.（1）
（2）
【分析】（1）利用斜率可得，则，由已知数据求解即可；
（2）由，外接圆是以线段为直径的圆，求出圆心和半径即可得外接圆的方程.
【详解】（1）三个顶点的坐标分别是，，，
直线的斜率，直线的斜率，
则，即.
，，
.
（2）由，外接圆是以线段为直径的圆，
线段的中点为，半径，
所以外接圆的方程是.
18.（1）
（2）或，
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参
【详解】（1）因为，所以，
整理得，
解得或.
当时，：，：，，重合；
当时，：，：，符合题意.
故.
（2）因为，所以，
解得或.
19.（1）
（2）
【分析】（1）以为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解即可；
（2）用向量法求解即可
【详解】（1）以为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，，，
∴，，，，，，
取，，
，，
则点B到直线的距离为.
（2）∵，∴，
而平面，平面，
∴平面，
∴点F到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
∴，
∴，取，则，，
∴，
又，
∴点到平面的距离为.
20.（1）证明见详解
（2）
【分析】（1）由正方形的性质及平面平面，可得平面，即，取的中点，连接，可证得，即可求证；
（2）以D为原点，以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由（1）可得为平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，求解即可.
【详解】（1）在正方形中，，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
取的中点M，连接，由，，，
所以四边形为正方形，则，，即，
又，是平面内两条相交直线，
所以平面，
（2）∵，，，
又平面，
易得，，两两互相垂直，
以为原点，以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
则，.
由（1）知为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
则，得，令，解得，，
所以，
设平面与平面的夹角为，
∴.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
21.不会有触礁危险
【分析】以小岛的中心为原点，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0，3），轮船所在位置的坐标为（4，0），则可得暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程和轮船航线所在直线的方程，然后判断直线与圆的位置关系即可.
【详解】以小岛的中心为原点，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0，3），轮船所在位置的坐标为（4，0）.
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为，则圆心，半径为2，
轮船航线所在直线的方程为，即，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险.
22.（1）证明见解析；
（2）
【分析】（1）取中点为，连接，，利用勾股定理证明，再结合，即可由线线垂直证明线面垂直；
（2）根据（1）中所证，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得M的坐标，以及两个平面的法向量，利用夹角公式，即可求得参数的值.
【详解】（1）由于正方形的边长为，所以.
取的中点，连接，，
由题意，得，
再由，可得，即.
由题易知，
又，面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，，又，
故以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
所以，，
由题意知，所以.
所以.
设平面的法向量为，
则，
令，得；
设平面的法向量为，
，令，得；
则，
设，，则上式可化为，
即，所以（舍去），
所以，解得.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
A
A
B
C
ABD
ACD
题号
11
12
答案
CD
ABD