吉林省长春市文理高中2025届高三上学期校二模考试数学试题

这是一份吉林省长春市文理高中2025届高三上学期校二模考试数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设均为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝（ ）
A．﹣63B．63C．﹣31D．31
4．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
5．如图1为某省2019年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解不正确的是（ ）
A．2019年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件
B．从1~4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长
C．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致
D．2019年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节后网购迎来喷涨有关
6．英文单词“sentence”由8个字母构成，将这8个字母重新组合排列，一共可以得到英文单词的个数为( )(可以认为每个组合都是一个有意义的单词)
A．3360B．3390C．4200D．4530
7．已知，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若关于的方程有 个不等的实数根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题
9．十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有最小值
C．若，则
D．若，则有最大值2
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
11．已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
三、填空题
12．的展开式中的项的系数等于____________ .
13．二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为 ．
14．已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
17．在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)为边上一点，，且，求.
18．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
19．已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：当时，不等式成立.
参考答案：
1．B
【分析】求出集合，集合，即可判断．
【详解】解：因为，
所以，
因为
所以
所以，
故选：B
【点睛】本题考查集合的包含关系及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
2．A
【详解】 ,所以充分性成立; ,所以必要性不成立,因此选A.
3．A
【解析】由已知结合等比数列的通项公式可求出公比和首项，结合等比数列的求和公式即可求出.
【详解】解：设公比为，则，即，解得，所以，
所以，
故选:A.
4．B
【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
又，
所以，又，
所以向量与向量的夹角为，即.
故选：B.
5．B
【分析】结合两图中柱状图和曲线图及同比的意义可得正确的选项.
【详解】从图（1）的柱形图可得2019年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，
3月份比2月份高4397-2411=1986，差值接近2000万件，故A正确.
从1~4月份来看，业务量与业务收入有波动，结合图（1）（2）中的柱形图可得业务量与业务收入在2月份和4月份均下降，故B错误.
从两图中柱状图可得业务量与业务收入变化高度一致，但业务量2月份同比增长，而业务收入2月份同比增长，因此增量与增长速度并不完全一致，故C正确.
从图（1）中可得2019年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，这的确和春节后网购迎来喷涨有关，故D正确.
故选：B.
6．A
【分析】英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，优先考虑重复的字母，将重复的字母n放在8个位置中的2个，再将重复的字母e放在剩下的6个位置中的3个，再将s、t、c全排列在剩下的3个位置上，根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，
将这8个字母重新组合排列，则可看作有8个位置需要排字母的问题，
先从8个位置里面选出2个排字母n，有种方法，
再从剩下的6个位置选3个位置排字母3，有种方法，
最后再将字母s、t、c排在剩下的3个位上，有中方法，
故一共可以得到英文单词的个数为.
故选：A.
7．D
【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D
8．C
【详解】
画出y=fx的图象，如图，设，原方程化为，①
由图知，要使方程 个不等的实数根方程，
只需在1,4有上有两个不等的根，则，
解得，故选C.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、方程的根与系数之间的关系，数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
9．AB
【分析】利用不等式性质判断A；利用“1”的妙用计算判断B；确定b的取值范围，求出范围作答；利用均值不等式计算判断D作答.
【详解】对于A，，则，即，A正确；
对于B，，，则，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，，由得：，有，则，C不正确；
对于D，，，则，当且仅当时取等号，D错误.
故选：AB.
10．BCD
【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.
【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.
故选：BCD.
11．BD
【分析】采用“赋值法”进行逐项验证.
【详解】令，则.
另令，则，由，所以不成立，
所以，所以函数为奇函数，故A错误；
令，，则，故B正确；
令，，则，
又，所以，故C错；
令得.且，，.
所以；；
所以，又，，
所以；
所以；
所以
所以，故D正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：函数方程的问题，采用“赋值法”是解决问题的突破口.
12．.
【分析】由，于是求项的系数转化为展开式中的系数，然后利用二项式定理求出即可.
【详解】，
要求的展开式中的项的系数，转化为求展开式中的系数，
展开式的通项为，
令，得，
因此，的展开式中的项的系数为，故答案为：.
【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，本题将二项式进行了化简，将问题进行了转化，简化了计算，考查化归与转化数学思想，考查计算能力，属于中等题.
13．
【分析】方法1：利用古典概型概率公式直接计算可得.
方法2：可先求得从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数，利用对立事件的性质，求出从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，利用古典概型概率公式计算可得.
【详解】方法1：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：，
求从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，分两步完成：
第一步，从4个季节中任选2个季节的方法有，
第二步，再从选出的这2个季节中各选一个节气的方法有：，
所以从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：，
所以，．
方法2：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：，
从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有：，
从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：，
所以，．
故答案为：.
14．
【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案.
【详解】由已知得：恒成立，则 ，
，
由得，
由于在区间 上恰有3个零点，
故，则， ，
则,
只有当时，不等式组有解，此时，故，
故答案为：
15．（1）（2）
【解析】（1）根据等差数列{an}的公差为,得到,,再根据,,成等比数列,由等比中项公式得出首项,代入通项公式即可得通项.
（2）由（1）得,数列,是等差加等比的形式,所以数列求和用分组求和即可..
【详解】解：（1）∵{an}的公差为,
∴,.
∵,,成等比数列,
∴,
解得,
从而.
（2）由（1）得,
.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和分组求和,是数列中最基本的运算,属于基础题.
16．（1）的极小值为，无极大值；（2）.
【分析】（1）求导，判断正负，得函数的单调性即可求得极值；（2）利用曲线与直线有两个交点，构造函数，求导判单调性，利用数形结合及值域求解即可
【详解】（1） 则，
所以当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的极小值为，无极大值；
（2），
函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.
，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
时，取得极小值，
又时，；时，，.
【点睛】本题考查函数的单调性与极值，考查函数零点问题，转化的应用，是中档题
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到，再利用辅助角公式求出；
（2）分别在与中，利用正弦定理得到，再由余弦定理得到，从而求出.
【详解】（1）由，得.
由，
故
所以，
又因为，所以，故.
即，又，所以.
（2）由（1）知：
所以.
在中，；在中，.
又，代入得：.
由余弦定理得：，
所以.
18．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果；
（2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果.
【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，，
，，，
所以的分布列为：
.
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，
设乙答对题数为，则，
设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,
则
由，又，所以，
则，又，所以，
设，所以，由二次函数可知当时取最大值，
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.
19．（1）（2）（3）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程；
（2）由，即，构造函数，求导函数研究单调性，进而得的最大值，即得的取值范围；
（3）由（2）可知：当时，恒成立，令，整理得：，将两边不等式全相加即可得到结论.
【详解】（1）函数的定义域为(0,+∞)，
，，
∵，∴函数在点处的切线方程为，
即.
（2）由，，则，即，
设，，
x∈0,1，，单调递增，
，，单调递减，
∵不等式恒成立，且，
∴，∴即可，故.
（3）由（2）可知：当时，恒成立，
令，由于，.
故，，整理得：，
变形得：，即：时，，……，
两边同时相加得：，
所以不等式在上恒成立.
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，构造函数，考查导数的应用，转化思想，考查不等式的证明，属于难题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
B
B
A
D
C
AB
BCD
题号
11









答案
BD









0
1
2
3
P