河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期第一次联考（10月）数学试题

这是一份河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期第一次联考（10月）数学试题，共10页。试卷主要包含了下列说法中错误的是等内容，欢迎下载使用。


（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2.曲线所围成的封闭图形的面积为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知直线和.则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）
A.0 B. C.1 D.2
5.已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（）
A. B. C. D.或
6.过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（）
A.2 B. C. D.3
7.直线经过点且与两坐标轴的正半轴分别交于两点，则的最小值是（）
A.4 B.6 C.8 D.9
8.已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（）
A.5 B.9 C.4 D.3
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（）
A. B.
C. D.
10.下列说法中错误的是（）
A.方程表示的曲线是圆
B.若两条直线平行，则它们的斜率相等
C.直线的一个法向量的坐标是
D.平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
11.已知椭圆上有一点分别为其左､右焦点，的面积为，则下列说法正确的是（）
A.若，则
B.若，则满足题意的点有4个
C.若是钝角三角形，则
D.椭圆的内接矩形的周长的最小值为12
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.若椭圆的离心率为，则实数的值为__________.
13.已知圆，圆，若动圆与圆相外切，与圆相内切，则动圆的圆心的轨迹方程是__________.
14.已知函数，若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则下列方程中：①，③，④可能是直线的方程的是__________.（填写序号）.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
已知是的三个顶点，求证：的三条高交于一点.
16.（本小题满分15分）
已知直线，圆.
（1）求证：直线与圆恒相交；
（2）若直线与圆相交于两点，当面积最大时，求直线的方程.
17.（本小题满分15分）
已知直线与交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线与点的轨迹交于两点，且以为直径的圆恰好经过原点，求直线的方程.
18.（本小题满分17分）
已知点，圆，点是圆上任一点，线段的垂直平分线交线段于.
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点的直线与点的轨迹相交于两点，设点，问：直线，的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点（不重合）.
（1）求的取值范围；
（2）如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积.
2024年秋期六校第一次联考
高二年级数学参考答案
1.【答案】C
【解析】直线的斜率，所以倾斜角为.
2.【答案】B
【解析】方程表示的曲线是边长为的正方形，所以围成的图形面积是2.
3.【答案】C
【解析】根据两直线平行的条件得得或，但时两直线重合，故选C.
4.【答案】A
【解析】由两条切线的夹角是，得圆的半径是2，从而.
5.【答案】B
【解析】由已知得：，解得或，但时，直线和椭圆没有交点，故.
6.【答案】A
【解析】由得双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，又，得，所以.
7.【答案】D
【解析】根据已知设直线方程为，得：，
8.【答案】C
【解析】由已知得，设，所以，从而或时取最小值为4.
9.【答案】ABD
【解析】当倾斜角都为锐角或都是钝角时，；当为两个锐角，一个钝角时，；一个锐角，两个钝角时，.
10.【答案】ABD
【解析】A错的原因是轨迹不存在，B错的原因是两直线都和轴平行时斜率不存在，D错的原因是轨迹可能是线段或不存在.故选ABD.
11.【答案】ABC
【解析】由椭圆可得，则，对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为，
所以，所以A正确；对于B，因为，
则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有4个，所以B正确；对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，又因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确；对于D，设为椭圆内接矩形位于第一象限内的顶点，令，，则椭圆内接矩形的周长为
（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，故选：ABC.
12.【答案】或10
【解析】当焦点在轴上时，，得；
当焦点在轴上时，，得.
13.【答案】
【解析】设动圆的半径为，则由已知得，
所以，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆.从而方程是.
14.【答案】②③④
【解析】在定义域上是单调递增，又，曲线关于点中心对称，，在平面直角坐标系中，所有满足即的点都不在直线上.结合定义域点与阴影三角形无公共点即可），故答案为：②③④.
15.【解析】
由已知得：
所以边上高所在直线方程为：
化简得：①
同理得边上高所在直线方程为：②
同理得边上高所在直线方程为：③
联立方程①②得：
把代入，方程成立，
所以的三条高交于同一点.
注意：求直线方程时，也可以利用垂直得斜率，利用点斜式求解.
16.【解析】
（1）方法一：证明：圆的圆心为，它到直线的距离为
所以直线与圆恒相交.
方法二：恒过点，点在圆内部，
所以直线与圆恒相交.
（2）由三角形的面积公式得
所以当时（显然可以取到），的面积最大-
此时到直线的距离为
由
解得
故此时直线的方程为
17.【解析】
（1）由已知得
所以两直线恒垂直，
又恒过点恒过点，
所以点的轨迹是以为直径的圆，
从而点的轨迹方程为
（化为一般式也得分）
（2）设
因为以为直径的圆恰好经过原点，所以
即
即①
把代入
整理，得
所以，即②
而
代入①得，解得或
都满足②
所以直线的方程为或.
18.【解析】
（1）由题意得：
所以
所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆
且，从而
所以的轨迹方程为：.
（2）当直线斜率存在时，设直线，（其中），，
联立，消可得，
则，解得或，
，
所以
（定值）
当直线的斜率不存在时，直线，则关于轴对称，所以，
所以，
综上可得（定值）
19.【解析】
（1）由双曲线的定义可知，
曲线是以为焦点的双曲线的左支，
故曲线的方程为，
由题意建立方程组，
得，
又已知直线与双曲线左支交于两点，设，
有，
解得，
（2）由（1）知，
则
解得或，
又，
故直线的方程为，
设，由已知，得，
即
又，
故点，代入曲线中，得，
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
，点的坐标为，
又到的距离为的面积.