福建省厦门外国语学校瑞景分校2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考模拟试卷

这是一份福建省厦门外国语学校瑞景分校2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考模拟试卷，共23页。试卷主要包含了的y与x的部分对应值如下表等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝5x2B．y＝22﹣2x
C．y＝（x+2）2﹣x2D．
2．（4分）对于一元二次方程2x2﹣3x+1＝0，根的判别式b2﹣4ac中的b表示的数是（ ）
A．2B．3C．﹣3D．1
3．（4分）二次函数y＝2x2﹣x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣1，0）B．（，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）
4．（4分）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A．B．y＝﹣x+5
C．D．
5．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合．若∠BAE＝40°，则旋转的角度是（ ）
A．10°B．15°C．40°D．50°
6．（4分）二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A．y＝3（x+1）2﹣2B．y＝3（x﹣1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
7．（4分）新纪元学校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（30+x）（20+x）＝600
B．（30+x）（20+x）＝1200
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600
D．（30+2x）（20+2x）＝1200
8．（4分）如图，二次函数的图象与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交两点，则二次函数y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
下列结论正确的是（ ）
①ab＞0
②a+b+c＜0
③若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
10．（4分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（ ）
A．m+n＝1B．m﹣n＝1C．m＝1D．＝1
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5的顶点坐标是 ．
13．（4分）已知二次函数y＝x2﹣kx﹣3的图象过点（1，﹣4），则k的值为 ．
14．（4分）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为 ．
15．（4分）已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣15的最小值是 ．
16．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣4．
18．（8分）（1）解不等式组；
（2）解方程：．
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．
20．（8分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（2，5），C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（3）直接写出当﹣3≤x≤1时，y的取值范围．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2＝﹣1，求m的值
22．（10分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点B的对应点为D，点C的对应点为E．
（1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）连接CE，若∠ACB＝120°，请判断直线BC是否经过点E，并说明理由．
23．（10分）2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）该店第一次用850元购进A、B两款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
（2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？
24．（12分）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线，则m＝ ，n＝ ．
【思考与探究】
（2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
25．（14分）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
福建省厦门外国语学校瑞景分校2024-2025学年九年级上册数学第一次月考模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝5x2B．y＝22﹣2x
C．y＝（x+2）2﹣x2D．
【解答】解：A、y＝5x2，是二次函数，故A符合题意；
B、y＝22﹣2x＝4﹣2x，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝（x+2）2﹣x2＝x2+4x+4﹣x2＝4x+4不是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
2．（4分）对于一元二次方程2x2﹣3x+1＝0，根的判别式b2﹣4ac中的b表示的数是（ ）
A．2B．3C．﹣3D．1
【解答】解：根据题意得b＝﹣3．
故选：C．
3．（4分）二次函数y＝2x2﹣x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣1，0）B．（，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3，
所以二次函数y＝2x2﹣x﹣3的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
故选：D．
4．（4分）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A．B．y＝﹣x+5
C．D．
【解答】解：由题意，∵对于y＝kx+b，当k＞0时，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小，
∴B不符合题意，C符合题意．
选项Ay＝﹣是反比例函数，x取值范围分两个区间，故不符合题意；
对于D选项，y＝x2，当x＜0时，y随x增大而减小，
∴D不符合题意．
故选：C．
5．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合．若∠BAE＝40°，则旋转的角度是（ ）
A．10°B．15°C．40°D．50°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF＝∠BAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠DAF＝40°，
∴∠EAF＝90°﹣∠BAE﹣∠DAF＝90°﹣40°﹣40°＝10°，
∴旋转角为10°．
故选：A．
6．（4分）二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ）
A．y＝3（x+1）2﹣2B．y＝3（x﹣1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
【解答】解：二次函数y＝3（x﹣1）2+1的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是：y＝3（x﹣1+2）2+1﹣3，即y＝3（x+1）2﹣2．
故选：A．
7．（4分）新纪元学校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（30+x）（20+x）＝600
B．（30+x）（20+x）＝1200
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600
D．（30+2x）（20+2x）＝1200
【解答】解：设彩纸的宽度为xcm，
则由题意列出方程为：（30+2x）（20+2x）＝2×30×20．
故选：D．
8．（4分）如图，二次函数的图象与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交两点，则二次函数y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意，∵二次函数的图象与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交两点的横坐标分别为﹣1和2，
∴可得方程ax2+bx+c＝kx+m，即ax2+（b﹣k）x+c﹣m＝0的两根为﹣1和2．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣m与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0）．
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝＝．
∴b﹣k＝﹣a．
又∵a＞0，
∴b﹣k＝﹣a＜0．
∴k﹣b＞0．
∴﹣＜0．
∴二次函数y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，故只有A选项符合题意．
故选：A．
9．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
下列结论正确的是（ ）
①ab＞0
②a+b+c＜0
③若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：由表格可知，
该二次函数有最大值，开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，1），
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，故①正确；
由表格可知，当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣3＜0，故②正确；
∵点（﹣7，y1）到对称轴x＝﹣1的距离小于点（7，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③错误，
∵图象经过（﹣3，﹣3）和（1，﹣3）两个点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根，故④正确，
故选：B．
10．（4分）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（ ）
A．m+n＝1B．m﹣n＝1C．m＝1D．＝1
【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
将A，C两点的横坐标代入函数解析式得，
点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4），
所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4．
因为四边形ABCD是正方形，
所以AD＝CD，∠ADC＝90°，
所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°，
所以∠CDN＝∠DAM．
在△CDN和△DAM中，
，
所以△CDN≌△DAM（AAS），
所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m，
所以MN＝DM+DN＝m+n，
又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2，
所以m2﹣n2＝m+n，
即（m+n）（m﹣n）＝m+n，
因为m＞n＞0，
所以m+n≠0，
所以m﹣n＝1．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）计算：＝ ﹣4 ．
【解答】解：原式＝4﹣9+1
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5的顶点坐标是 （2，5） ．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，5），
故答案为：（2，5）．
13．（4分）已知二次函数y＝x2﹣kx﹣3的图象过点（1，﹣4），则k的值为 2 ．
【解答】解：把（1，﹣4）代入y＝x2﹣kx﹣3得1﹣k﹣3＝﹣4，
解得k＝2．
故答案为2．
14．（4分）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为 8 ．
【解答】解：过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，如图所示，
∵∠COD＝∠QAD＝∠DCO＝90°，
∴四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（2，0），与y轴交于点B（0，4），
∴OB＝4，OA＝2，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，
∴AD＝OC＝4，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA⋅AD＝2×4＝8．
故答案为：8．
15．（4分）已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣15的最小值是 5 ．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴a2﹣3b2+a﹣15
＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣15
＝a2﹣2a﹣3
＝（a﹣1）2﹣4，
∵a＝b2+4，
∴a≥4，
∴当a＝4时，
∴a2﹣3b2+a﹣15的最小值是（4﹣1）2﹣4＝5．
故答案为：5．
16．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ＜a＜﹣2 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根
∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞
设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，
∵实数根都在﹣1和0之间，
∴﹣1，
∴a，
且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，
即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，
解得：a＜﹣2，
∴＜a＜﹣2，
故答案为：＜a＜﹣2．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣4．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴Δ＝4﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴x＝＝1±；
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）整理得：x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
则x﹣1＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝x2＝1．
18．（8分）（1）解不等式组；
（2）解方程：．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x≤﹣1，
解不等式②得：x＞﹣4，
∴原不等式组的解集为：﹣4＜x≤﹣1；
（2），
2（1﹣x）＝x﹣2（x﹣2），
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，2（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣2是原方程的根．
19．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝•
＝，
当a＝+1时，原式＝＝．
20．（8分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（2，5），C（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（3）直接写出当﹣3≤x≤1时，y的取值范围．
【解答】解：（1）将A（2，5），C（0，﹣3）代入二次函数解析式得：，
解得：，
则二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）二次函数y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，即（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
则该抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（3）作出函数图象，如图所示：
根据图象得：当﹣3≤x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2＝﹣1，求m的值
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m），
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m，
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2m+1，，
∴2x1x2+x1+x2＝﹣1，
2（m2+m）+2m+1＝﹣1，
2m2+2m+2m+1＝﹣1，
2m2+4m+2＝0，
（m+1）2＝0，
m＝﹣1．
22．（10分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点B的对应点为D，点C的对应点为E．
（1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）连接CE，若∠ACB＝120°，请判断直线BC是否经过点E，并说明理由．
【解答】解：（1）如图，先分别以点A，C为圆心，线段AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，再以点E为圆心，线段BC的长为半径画弧，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AE，DE，AD，
则△ADE即为所求．
（2）直线BC经过点E．
理由：由旋转可得，∠EAC＝60°，AE＝AC，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠ACE＝60°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝180°，
∴点B，C，E在一条直线上，
∴直线BC经过点E．
23．（10分）2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）该店第一次用850元购进A、B两款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
（2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？
【解答】解：（1）设购进A款纪念品x件，B款纪念品y件，
依题意得：，
解得：，
答：购进A款纪念品20件，B款纪念品30件；
（2）设购进m件A款纪念品，
则购进（200﹣m）件B款纪念品，
依题意得：20m+15（200﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
设再次购进的A、B两款纪念品全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（35﹣20）m+（27﹣15）（200﹣m）＝3m+2400，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+2400＝2520，
此时200﹣m＝160．
答：当购进40件A款纪念品，160件B款纪念品时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是2520元；
（3）设B款纪念品的售价定为a元，
则每件的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出4+2（27﹣a）＝（58﹣2a）件，
依题意得：（a﹣15）（58﹣2a）＝90，
整理得：a2﹣44a+480＝0，
解得：a1＝20，a2＝24．
答：将销售价定为每件20元或24元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元．
24．（12分）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线，则m＝ 2 ，n＝ ±1 ．
【思考与探究】
（2）设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的图象都是抛物线y＝x2的伴随抛物线，
∴×22＝m，×n2＝，
∴m＝2，n＝±1，
故答案为：2；±1；
（2）①由题意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5，
∴抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5），
又C2始终是C0的伴随抛物线，
∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），
∴，
∴d＝4，e＝5；
②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），
由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，
∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9），
当﹣x2+4x+5＝0时，解得：x＝﹣1或x＝5，
抛物线与x轴交于（﹣1，0）（5，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1；
∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上，
∴（2，9）在C2上，
当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5；
综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1．
25．（14分）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，
∴．
∴点B的坐标为（3，0），
∵OP＝9，
∴点P的坐标为（0，9），
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9，
∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上，
∴9a+9＝0，
解得：a＝﹣1．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）；
（2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+9 上，
∴设点E的坐标为（m，﹣m2+9），
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9，
∴DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴．
∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6，
根据题息，得DE+CF＝6，
∴﹣m2+6+2m＝6，
解得：m1＝2，m＝0（不符合题意，舍去），
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2
答：DE的长为4米，CF的长为2米；
（3）如图矩形灯带为GHML，
由点A、B、C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y＝x+3，y＝﹣x+3，
设点G（m，﹣m2+9）、H（﹣m，﹣m2+9）、L（m，m+3）、M（﹣m，m+3），
则矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣2（m+1.5）2+≤，
故矩形周长的最大值为米．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
类别价格
A款纪念品
B款纪念品
进货价（元/件）
20
15
销售价（元/件）
35
27
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
类别价格
A款纪念品
B款纪念品
进货价（元/件）
20
15
销售价（元/件）
35
27