2024-2025学年人教版九年级数学上册期中测试卷

这是一份2024-2025学年人教版九年级数学上册期中测试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟；满分：100分
一、单选题
1．一元二次方程x2+2x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．一元二次方程＝0的根为（ ）
A． B．
C．， D．，
4．用配方法解方程，应把方程的两边同时（ ）
A．加上B．加上C．减去D．减去
5．若实数满足，则方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．有一个实数根
6．已知关于的方程（为常数，且），下列的值，哪个一定不是方程的解（ ）
A．B．C．D．
7．下列图形中，是中心对称图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．若抛物线的对称轴是直线，且经过点，则使函数值成立的x的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
9．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1=9B．+2x+3=0C．x+2x=7D．
如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，下列判断：①；②；③；④；⑤若自变量x的取值范围是．则函数值．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．下列图形不是中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，A′B′与BC交于点D，则△A′CD的面积为（ ）
B．5C．5D．2
13．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为( )
A．1B．2C．3D．4
已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，
则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
15．如图，AB为⊙O直径，且AB＝4．点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE．则CE的最大值为（ ）
A．4﹣4B．2﹣C．8﹣4D．4﹣2
二、填空题
16．已知二次函数的对称轴为直线，则方程的根为 ．
17．二次函数的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到的函数图象的表达式是 ．
18．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．
19．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题
20．解下列一元二次方程
(1)；(2)；(3)；(4)．
21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中△A2BC2的面积．
22．国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，某大学生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2017年利润为200万元，2019年利润为288万元，求该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率．
23．已知二次函数．
(1)确定抛物线的开口方向和顶点坐标；
(2)求它与x轴的交点；
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
24．已知关于x的方程()．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
25．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，求图中道路的宽度．
26．某商店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月售出kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg．
(1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润．
(2)商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？
(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．
参考答案：
1．【详解】试题分析：直接根据根与系数的关系求解．
解：∵一元二次方程x2+2x﹣1=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣2．故选B．
2．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
3．【详解】解：∵＝0，
∴x﹣22＝0或x﹣22＝0，
解得：，故选：A．
4．【详解】试题分析：一元二次方程的配方法步骤：①二次项系数化为；1②常数项移到方程的右边；③方程两边都加上一次项系数一半的平方,配成完全平方式；④直接开平方法解方程.因此,方程配方时,应方程两边同时加上即：.故选B.
5．【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；故选：B．
6．【详解】A、把代入方程，得
，
解得
，（舍去）．
所以，当时，为方程的解．
该选项不符合题意．
B、把代入方程，得
解得
，．
所以，当时，为方程的解．
该选项不符合题意．
C、把代入方程，得
．
解得
，．
所以，当或时，为方程的解．
该选项不符合题意．
D、把x=1代入方程，得
．
此方程无解．
所以，一定不是方程的解．
该选项符合题意．故选：D．
7．【详解】A. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B. 是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
C. 既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D. 不是中心对称图形，是轴对称图形不符合题意.故选B.
8．【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∵，
∴使函数值成立的x的取值范围是或．故选：D．
9．【详解】A选项是一元一次方程；B选项是一元二次方程；C选项是一元一次方程；D选项是分式方程.故选B.
10．【详解】解：∵图象开口向下，
∴，
∵直线是对称轴，
∴a，b同号，，
∵，
∴，故①正确；
∵直线是对称轴，
∴，即，故②正确；
根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等，
∴，
∵，
∴，故③错误；
根据图示知，当时，有最大值；
∴，
∴；故④错误．
抛物线与x轴的一个交点坐标为在数2的左边，1的右边，
若自变量x的取值范围是，则函数值．故⑤正确；
综上，正确的有①②⑤．故选B．
11．【详解】选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，其他是中心对称图形.故选A
12．【详解】在Rt△ACB=90°，∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCA′=30°，
∴∠A′DC=90°，
在Rt△A′DC中，∵∠A′CD=30°，
∴A′D=CA′=1，CD=A′D=，
∴△A′CD的面积=×1×=．故选A．
13．【详解】将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，
得到m＝3，
所以y＝x2﹣4x+3，与x轴交于两点，
设A(x1，y1)，b(x2，y2)
∴x2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝3，
∴AB＝|x1﹣x2|＝ ＝2；故选B．
14．【详解】解：如图，连接，如图所示：

∵P为中点，D为中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当最大时，最大，
由圆的性质可知，当G、C、B三点共线且点在上时，最大，
把代入得：，
解得：或，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴，
∴，
∵半径为2，
∴的最大值为，
∴的最大值为， 故选：B．
15．【详解】解：延长，交于点，连接，OF
设
CD＝BD
为直径
在以点为圆心，4为半径的圆弧上运动，
，当为的直径时，取得最大值，最大值为故选A
16．【详解】解：因为二次函数的对称轴为直线，
所以，
解得，
所以，
解得，，
故答案为：，．
17．【详解】解：二次函数的图象向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到的函数图象的表达式是，
故答案为：．
18．【详解】设一个旅行团的人数是x人，设营业额为y元，
根据题意可得：y＝x[800−10（x−30）]＝−10x2＋1100x＝−10（x2−110x）＝−10（x−55）2＋30250，
故当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．
故答案为55．
19．【详解】解：①∵对称轴为直线，
∴，
∴；故①错误；
②由图象可知，当时，函数值最大为，
∴时的函数值小于时的函数值，
即：，
∴；故②正确；
③由图象可知，当时，，
∵，
∴，即：，
∴；故③正确；
④∵，
∴，
∴，
∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∴；故④正确；
综上，正确的是②③④；
故答案为：②③④．
20．【详解】（1）解：，
，
，
∴．
（2）解：；
，
，即，
∴，
∴，．
（3）解：，
，
∴或，
∴．
（4）解：，
，
，
∴或，
∴，．
21．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（﹣2，4）；
（2）如图，△A2BC2为所作；
（3）△A2BC2的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×1﹣×3×2＝3.5．
22．【详解】解：设该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为x，
由题意得：，解得，
∴该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为20%，
答：该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为20%．
23．【详解】（1）解：由题意知：
，
抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2），
与x轴的交点坐标，；
（3）因为抛物线开口向下，故当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
24．【详解】（1）证明：，
∵a>0，∴，即．∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵，由求根公式得x＝ ，∴，
∵方程有一个根大于2，∴.∴．
25．【详解】解：设道路的宽度为x米，依题意可列方程
，（不符实际，舍去）．
答：道路的宽度为2米．
26．【详解】（1）解：设销售单价为x，由题意，得，
．
当元时，月销售量为：(千克)；
销售利润为：（元）．
答：销售单价定为60元时，月销售量为千克，销售利润为9000元；
（2）解：由题意，得，解得：，．
为了让顾客得到更多实惠舍去，取，
答：销售单价应定为60元；
（3）解：∵，
∴，∵，∴y有最大值．∴当时．y最大元．
答：当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元．
27．【详解】（1）设y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），
把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6，
a=1，∴y=（x+1）（x﹣6）=x2﹣5x﹣6；
（2）存在，
如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，
则PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，
∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC
=12（﹣m2+5m+6）（m+1）+12（6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+12×1×6
=﹣3m2+12m+36
=﹣3（m﹣2）2+48，
当m=2时，S有最大值为48，这时m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，∴P（2，﹣12），
（3）这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B，
y=x2﹣5x﹣6=（x﹣）2﹣；
因为Q3在对称轴上，所以设Q3（，y），
∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，
由勾股定理得：（+1）2+y2=（﹣5）2+（y+6）2，
y=﹣，
∴Q3（，﹣）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
B
B
D
B
D
B
B
题号
11
12
13
14
15





答案
A
A
B
B
A