四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

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选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把
正确的选项填涂在答题卡相应位置.
1. 已知集合,,则
A. B. C. D.
2. 2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则
A.盛李豪的平均射击环数超过10.6
B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65
C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
3.已知,,,则,,的大小关系为
A. B. C. D.
4.已知实数,,满足，且，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
5.“函数的值域为R”的一个充分不必要条件是
A. B. C． D．
6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡. 已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过( )年.（）
A. 155 B.159 C. 162 D. 166
7.若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是
A. B.
C. D.
8. 已知函数,则方程的所有根之和为
A．0 B．3 C．6 D．9
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分, 部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知函数的定义域为,，则
A． B． C．fx是奇函数 D．fx在上单调递增
10．已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的是
A． B．
C．若，则 D．若，则
11.设函数,则下面说法正确的是
A. 当时，函数在定义域上仅有一个零点
B. 当时，函数在上单调递增
C.若函数存在极值点,则 D.若,则的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若函数在上单调，则实数的取值范围为_____．
13.若是定义在R上的奇函数，，，则__ __________．
14. 若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
16.（15分）已知三棱锥D-ABC，D在平面ABC上的射影为△ABC的重心O，，.
（1）证明：BC⊥AD；
（2）E为AD上靠近A的三等分点，若三棱锥D-ABC的体积为，求二面角的余弦值．
17. （15分）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占.为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。
（1）若试估算该小区化验的总次数；
（2）若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当时，.
18. （17分）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
19. （17分）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，
由此当时，可以非常容易得到不等式
请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出在处的泰勒展开式;
(2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据）
(3)估计的近似值.（精确到）