福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知函数，则（ ）
A.B.C.1D.2
4.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A.B.
C.D.
5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是.这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）（参考数据：，，）
A.100天B.90天C.80天D.70天
6.已知正数x，y，z满足，则下列说法不正确的是（ ）
A.B.C.D.
7.已知，则的解集为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、、、，且，则（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9.已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ）
A.函数恒过定点
B.函数的值域为
C.函数在区间上单调递增
D.若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是
10.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称B.
C.当时，的值域是D.当时，
11.已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小值为B.的最小值为
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的单调递减区间为____________
13.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则____________.
14.已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是____________.
四、解答题解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）已知函数，（且）.
（1）求的定义域，并判断函数的奇偶性；
（2）若，求的取值范围.
16.（本题满分15分）函数，
（1）若的解集是或，求实数，的值；
（2）当时，若，求实数的值；
（3），若，求的解集.
17.（本题满分15分）
如图1，在直角梯形ABCD中，，，，，M为线段AB的中点.将沿AC折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.
图1 图2
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
18.（本题满分17分）
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
19.（本题满分17分）已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设是函数的两个极值点，证明：.参考数据（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6
参考答案：
1.B
【分析】先求解绝对值不等式，再利用交集的定义即可求得.
【详解】由可得，，解得，，故，
因，故.
故选：B.
2.B
【分析】求不等式的解集，根据集合的关系进行判断.
【详解】由，
设集合，，则为的真子集.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3.D
【分析】利用分段函数的概念计算即可.
【详解】由题意知.
故选：D
4.B
【分析】根据题意，由给定的函数的图象，结合函数的单调性与奇偶性性质，结合排除法，即可求解.
【详解】对于A中，函数，当时，可得，，
所以，不满足图象，所以A错误；
对于C中，函数的定义域为，
又由，所以函数为偶函数，
此时函数的图象关于轴对称，所以C错误；
对于D中，函数，当时，可得，
由反比例函数的性质，可得函数在上为单调递减函数，所以D错误，
经检验，选项B中函数满足图中的性质，所以B正确.
故选：B.
5.B
【分析】先根据天后的“进步值”是“退步值”的5倍列方程，应用指对转化求值.
【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，则，即，
两边同时取对数得，
化简得，
所以.
故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.
故选：B.
6.C
【分析】令，则，，，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对，，化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断.
【详解】令，则，，，
对于A，，所以A正确，
对于B，因为在上递增，且，
所以，即，
即，所以，所以B正确，
对于C，因为
，
所以，所以C错误，
对于D，，，，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以D正确，
故选：C
7.B
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数定义域为，
又，
所以为奇函数，
又，，均在定义域上单调递减，
所以在上单调递减，
所以，
所以，解得或，
所以的解集为.
故选：B
8.A
【分析】如图，由可得，即；由二次函数图象的对称轴为直线可得，进而，结合即可求解.
【详解】作出函数和函数的图象可知，
假设两个函数的图象共有4个交点，
且横坐标分别为，，，
由，得，则有，
所以，所以.
由于二次函数图象的对称轴为直线，
则点两点关于直线对称，所以.则.
令，解得或，所以，
所以.
故选：A
9.BD
【分析】根据函数解析式确定即可判断A；根据指数函数的值域来判断B；利用复合函数的单调性与指数函数的性质即可判断C；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共点时，可得实数a的取值范围，可判断D.
【详解】已知函数（，且），则，
对于A，，函数恒过定点，故A错误；
对于B，，则，所以，
函数的值域为，故B正确；
对于C，当时，则单调递减，又，所以，
所以，显然此时在上单调递减；
当时，则单调递增，又，所以，
所以，显然此时在上单调递减；故C错误；
对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示：
当时，，显然不合题意；
当时，此时，即，故D正确.
故选：BD
10.ABD
【分析】根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其的解析式即可判断CD.
【详解】因为，则关于直线对称，
则，因为函数是定义在上的偶函数，
则，则，则B正确，
则
则的图象关于直线对称，故A正确；
对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同，当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误；
对D，当时，，则，
当时，，根据的周期为4，
则，故D正确；
故选：ABD.
11.ACD
【分析】选项A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；
选项B，根据条件得到，再利用二次函数的性质，即可求解；
选项C，根据条件及的性质，将问题转化成，构造函数，利用函数单调性，即可求解；
选项D，根据条件，同构，将问题转化成成立，构造函数，从而将问题转化成成立，再构造函数，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，且，
所以，
当且仅当取等号，所以选项A正确，
对于选项B，因为，
由，得到，所以当时，取到最小值为，所以选项B错误，
对于选项C，因为，所以，即，
又易知，则，又在区间上单调递增，所以，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，
所以，
所以，故选项C正确，
对于选项D，因为，所以，即，
即，
令，易知在上单调递增，
所以成立，即成立，
令，所以在区间恒成立，所以，得到，所以选项D正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C和D，选项C，根据条件及的性质，将问题转化成，构造函数，即可求解；选项D，同构，将问题转化成成立，构造函数，从而将问题转化成成立，再构造函数，即可求解.
12./
【分析】借助复合函数的单调性“同增异减”的性质，即可求解.
【详解】复合函数可以分为：外部函数与内部函数，
因为外部函数在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求的减区间，等价于求内部函数的增区间，
易知的增区间为，故的减区间为，由于端点不影响函数的单调性，所以的减区间也可以为，
故答案为：.
13.1
【分析】根据题意可得函数的周期为4，再由解析式可求得一个周期内的函数值，即可得出答案.
【详解】由得，
所以函数是周期为4的周期函数，
又是奇函数，所以，，，，
所以，
可得.
故答案为：1
14.
【分析】令，本题转化为中x的解的个数为5，作出函数图象，根据嵌套函数的性质一一分析即可.
【详解】令，本题转化为中x的解的个数为5.
，当时，令，解得或，
，当时，令，解得，
则作出的图象，如下图所示，
当时，有两个根，，，则有1个实数根，
当时，有3个根，时有两个根，
故共有3个或4个根，故舍去；
当时，此时有3个根，，，，
有1个根，有1个根，
时，有1个根，不合题意；
时，有2个根，不合题意；
时，有3个根，
此时满足题意共5个根的情况，而，，则；
当时，有两个根，，，
有1个根，有1个根，共有两个根，不合题意舍去；
当时，有1个根，，此时共1个根，舍去.
综上所述：实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题.它包含以形助数和以数解形两个方面.一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法.运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择.
15.（1）定义域为，奇函数
（2）答案见解析
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求解函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；
（2）讨论与的大小关系，根据对数函数的单调性建立关系式，解之即可，需注意函数的定义域.
【详解】（1）由，
可得，解得：，
所以的定义域为，的定义域关于原点对称，
又，
所以是奇函数，
（2），即，
当时，，解得：，
当时，，解得：.
综上，当时，得取值范围为，
当时，得取值范围为
16.（1），
（2）
（3）答案见解析
【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值.
（2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值.
（3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解.
【详解】（1）不等式的解集为或，
，且的两根为，，
，，，.
（2），
得，.
（3），，
即，
（1）当时，
（2）当时，则，
①当时，；
②当时，若，即时，或，
若，即时，；
若，即时，或；
综上所述：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
17.（1）证明见解析（2）
【分析】（1）要证平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角的余弦值.
【详解】（1）在图1中，直角梯形中，因为，且，则，
所以，则，又因为，由余弦定理可得，
，也即，解得，
所以，从而，故，
取AC中点O连接DO，则，又面面，
面面，面，从而平面，
又，，平面，
平面.
（2）建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
所以，，
设为面CDM的法向量，
则，即，解得，
令，可得
又为面ACD的一个法向量，
，
二面角的余弦值为.
18.（1）更适宜
（2）
（3）选择方案1最佳，理由见解析
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；
（2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【详解】（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
（2）将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，，
所以，
则，所以z关于x的线性回归方程为，
故y关于x的回归方程为；
（3）用，和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，即，
同样，采用第3种方案，有
所以，，
，
.
显然，最大，所以选择方案1最佳.
19.（1）
（2）答案见解析
（3）证明见解析
【分析】（1）求导，然后求出，，根据点斜式写出直线方程；
（2）求导，然后分和讨论求的单调区间；
（3）根据极值点为导函数的零点，令，，利用韦达定理将用表示，代入，构造函数求其最值即可.
【详解】（1）当时，，
得，则，，
所以切线方程为，即；
（2），
当时，恒成立，在上单调递增，无减区间，
当时，令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为；
（3），
则，
因为是函数的两个极值点，
即是方程的两不等正根，
所以，得，
令，，则，，
得，
则，
所以
，
则，
令，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
即.
【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用韦达定理，令，，达到消元的目的，常用的换元有，，等.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
B
C
C
B
A
BD
ABD
题号
11
答案
ACD