广东省惠州市合生实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考（10月）数学试卷

这是一份广东省惠州市合生实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考（10月）数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试用时：120分钟，满分：120分
一、单选题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列方程一定是一元二次方程的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的顶点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
4．学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是 ( )
A． B．
C． D．
5．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为 （ ）
A．B．C．2D．
6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 （ ）
A．B．且C．且D．
7．关于二次函数 ，以下说法错误的是 （ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最小值 D．与y轴交点为
8．抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是 （ ）
A．B．C．D．
9．直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为 （ ）
A．8B．7C．6D．
10．如图所示，当时，函数与函数的图象大致是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11．已知是方程的根，则 .
12．请写出一个开口向下二次函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：
13．用公式法解关于x的一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是
14．二次函数的最小值是 ．
15．如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，容易发现，是三角点阵中前行的点数之和当三角点阵中点数之和是时，则三角点阵点的行数为 ．
三、解答题（一）：(本大题共3小题，其中16小题10分，17、18每小题7分，共24分)
16．解方程：
(1) (2)
17．已知二次函数
（1）用配方法把化为的形式
（2）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数图像．
18．如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米．
(1)设养鸡场宽米，用含的代数式表示养鸡场的长．
(2)求出的值．
解答题（二）：(本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若两根为、且，求m的值．
20．二次函数的图象经过点，．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若点在函数图象上，求的面积．
商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套，
国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均
每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元．
(1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）；
(2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？
(3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
解答题（三）：(本大题共12小题，每小题12分，共24分）
如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，
易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次
方程”．
请解决下列问题：
(1)当，时，写出该“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是
，求的面积．
已知二次函数.
当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
x
…
…
y
…
…
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项分析判断，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】A. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
C. ，当时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，化简后为，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可
【详解】解：抛物线的顶点坐标是
故选A
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
3．B
【分析】直接根据平移规律作答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得抛物线解析式为，即；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4．C
【分析】
根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是73个，可得关于x的一元二次方程．
【详解】
解：依题意得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于明确题意，写出相应的方程．
5．B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6．B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
7．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可．
【详解】解：，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，函数值最小为，当时，，
∴抛物线与y轴交点为；
故只有选项B错误；
故选B．
8．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小．
【详解】解：函数的解析式是，
对称轴是直线，
点的对称点为，
对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大，
又，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性．
9．C
【分析】设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与．根据一元二次方程根与系数关系可得，．再根据勾股定理即可求．
【详解】解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与，
直角三角形两直角边是方程的两根，
，，
根据勾股定理可得：，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
10．C
【分析】此题考查了二次函数，关键是熟练掌握二次函数的图象及一次函数的图象．根据得到同号，再判断即可．
【详解】解：由题意可知，同号，
当时，二次函数经过一、二象限，一次函数经过一、二、三象限，
当时，二次函数经过三、四象限，一次函数经过二、三、四象限，
故选C．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
故答案为：．
12．（答案不唯一）．
【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记形如的二次函数的性质是解答本题的关键．
根据形如或二次函数的性质直接写出即可．
【详解】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题关键．根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案．
【详解】解：根据题意及求根公式得：
，
∴，，，
该一元二次方程为，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解：∵，且，
∴当时，y有最小值，最小值为，
故答案为：．
15．24
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
由于第一行有个点，第二行有个点第行有个点，则前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程得到的值；
【详解】解：解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，
则前五行共有个点，
前10行共有个点，
，
前行共有个点，
然后求它们的和，
前行共有个点，
根据题意，有，
整理这个方程，得：，
解方程得：，（舍去），
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据十字相乘法将原式因式分解，然后根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）将原式变形，然后根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
∴或，
∴，；
（2），
原式整理为：，
因式分解为：，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键．
17．（1）；（2）填表，作图见解析；（3）＜＜
【分析】（1）利用配方法把函数变形为：，从而可得答案；
（2）先分别计算时的函数值，填好表格，再在平面直角坐标系内描点，连线即可得到图像；
（3）根据图像观察当－1< x <2时，图像的最高点与最低点，从而可得答案．
【详解】解：（1）
（2）列表：
描点、连线画出函数图象如图：
【点睛】本题考查的是二次函数的一般式与顶点式，画二次函数的图像，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
（1）根据题意，用含的代数式表示养鸡场的长即可；
（2）根据矩形的面积长宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为180平方米，可得方程，解方程即可．
【详解】（1）设与墙平行的一边长为米，养鸡场的长为（米）；
（2）根据题意得：，
整理得出：
，
解得：，，
墙长20米，
，即，
．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
（2），是一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
整理得：，
解得：，．
又，
．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
20．(1)
(2)3
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征．
（1）先把点、的坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、，从而得到二次函数解析式；
（2）先把代入（1）中的解析式求出，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）把，分别代入得
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）把代入得，
点的坐标为，
，，
的面积．
21．(1)，
(2)每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元；
(3)不能，理由见解析
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
（1）设每套拖把降价x元，根据题意列出代数式即可；
（2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（3）设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可.
【详解】（1）解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套，
每套拖把盈利元．
故答案为：，；
（2）解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要尽快减少库存，
∴．
答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元；
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下：
设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无实数解，
即不可能每天盈利1400元．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先根据勾股定理求出的值，再代入方程求解即可；
（2）通过判断根的判别式的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴“勾系一元二次方程”为：；
（2）根据题意，得，
∵，
∴
∴，
∴“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键．
23．（1）或；（2）C点坐标为：（0，3），D（2，－1）；（3）P（，0）．
【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可．
（2）把m=2，代入求出二次函数解析式，利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
（3）根据两点之间线段最短的性质，当P、C、D共线时PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性质得出PO的长即可得出答案．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入得：，解得：m=±1．
∴二次函数的解析式为：或．
（2）∵m=2，
∴二次函数为：．
∴抛物线的顶点为：D（2，－1）．
当x=0时，y=3，
∴C点坐标为：（0，3）．
（3）存在，当P、C、D共线时PC+PD最短．
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO∥DE，
∴△COP∽△CED．
∴，即，
解得：
∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
C
B
B
B
D
C
C