2025届重庆市渝中学区三十中学数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2025届重庆市渝中学区三十中学数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A．220，220B．220，210C．200，220D．230，210
2、（4分）若关于x的方程x2+5x+a＝0有一个根为﹣2，则a的值是( )
A．6B．﹣6C．14D．﹣14
3、（4分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
A．5B．6C．7D．25
4、（4分）样本方差的计算公式中，数字30和20分别表示样本的（ ）
A．众数、中位数B．方差、标准差C．数据的个数、中位数D．数据的个数、平均数
5、（4分）一次函数与，在同一平面直角坐标系中的图象是( )
A．B．C．D．
6、（4分）当分式有意义时，字母x应满足（ ）
A．x≠1B．x＝0C．x≠－1D．x≠3
7、（4分）直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（ ）
A．4B．5C．6D．10
8、（4分）下列式子：①；②；③；④.其中是的函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，那么这个等腰三角形的周长是________cm．
10、（4分）若代数式有意义，则的取值范围为__________．
11、（4分）已知正n边形的每一个内角为150°，则n＝_____．
12、（4分）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD
其中正确结论的为______（请将所有正确的序号都填上）．
13、（4分）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图1，E为正方形ABCD的边BC上一点，F为边BA延长线上一点，且CE＝AF．
（1）求证：DE⊥DF；
（2）如图2，若点G为边AB上一点，且∠BGE＝2∠BFE，△BGE的周长为16，求四边形DEBF的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，DG与EF交于点H，连接CH且CH＝5，求AG的长．
15、（8分）已知(如图)，在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
16、（8分）某智能手机越来越受到大众的喜爱，各种款式相继投放市场，某店经营的A款手机去年销售总额为50000元，今年每部销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
已知A，B两款手机的进货和销售价格如下表：
（1）今年A款手机每部售价多少元？
（2）该店计划新进一批A款手机和B款手机共90部，且B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？
17、（10分）如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点，，分别在正方形的边，，上，且，连接．
（1）当时，求证：菱形为正方形；
（2）设，试用含的代数式表示的面积．
18、（10分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某商品的标价比成本高，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过，若用表示，则___．
20、（4分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点A，B，C均在格点上，点D为AB的中点，则线段CD的长为____________.
21、（4分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是 ．
22、（4分）因式分解：_________.
23、（4分）计算：（1+）2×（1﹣）2=_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是 ，旋转角是 度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；
（3）设Rt△ABC两直角边BC=a、AC=b、斜边AB=c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．
25、（10分）计算：
（小题1）解不等式组
26、（12分）化简求值：已知，求的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
由题意知,200,210,210，210,220,220,220,220,230,230,230，故众数中位数都是220，
故选A.
2、A
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=-2代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.
【详解】
解：把x＝﹣2代入方程x2+5x+a＝0得4﹣5×2+a＝0，
解得a＝1．
故选A．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“有根必代原则”是解题的关键.
3、A
【解析】
解：利用勾股定理可得：，
故选A．
4、D
【解析】
【分析】方差公式中，n、 分别表示数据的个数、平均数.
【详解】样本方差的计算公式中，数字30和20分别表示样本的数据的个数、平均数.
故选：D
【点睛】本题考核知识点：方差.解题关键点：理解方差公式的意义.
5、C
【解析】
根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【详解】
当ab＞0，a，b同号，y=abx经过一、三象限，
同正时，y=ax+b过一、三、二象限；
同负时过二、四、三象限，
当ab＜0时，a，b异号，y=abx经过二、四象限
a＜0，b＞0时，y=ax+b过一、三、四象限；
a＞0，b＜0时，y=ax+b过一、二、四象限．
故选C．
主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6、A
【解析】
分式有意义，分母不为零．
【详解】
解：当，即时，分式有意义；
故选：A．
本题考查了分式有意义的条件．（1）若分式无意义，则分母为零；（2）若分式有意义，则分母不为零．
7、B
【解析】
利用勾股定理即可求出斜边长．
【详解】
由勾股定理得：斜边长为：=1．
故选B．
本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是解题的关键．
8、C
【解析】
根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
【详解】
解：①y=3x-5，y是x的函数；
②y2=x，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；
③y=|x|，y是x的函数．
④，y是x的函数．
以上是的函数的个数是3个.
故选：C．
本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
解∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm，
∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除，
∴此三角形的腰长为7cm，底边长为3cm，
∴此等腰三角形的周长=7+7+3=1cm，
故答案为：1．
10、且.
【解析】
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴x≥0，x-1≠0，
解得x≥0且x≠1.
故答案为x≥0且x≠1.
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零.
11、1
【解析】
试题解析：由题意可得：
解得
故多边形是1边形．
故答案为1．
12、①③④
【解析】
根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．
【详解】
解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF=BC，
∵BC=AB，AB=BD，
∴HF=BD，故④说法正确；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；
故②说法不正确；
∴AG=AF，
∴AG=AB，
∵AD=AB，
则AD=4AG，故③说法正确，
故答案为①③④．
考点：菱形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
13、84°．
【解析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B＝32°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝32°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠DAB＝32°，
∴∠C＝180°−32°×3＝84°，
故答案为84°．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）64；（3）
【解析】
（1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义证明；
（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理得到，根据三角形的周长公式求出，根据正方形的面积公式计算；
（3）作交的延长线于点，证明，得到，，根据勾股定理列方程求出，计算即可．
【详解】
（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，即，
；
（2）解：，，
，
，
的周长为16
，
，
，
；
（3）过点作交的延长线于点，
，，
垂直平分，
，
，，
，即，
在四边形中，，，
，
在和中，
，
，，
在中，，
，
，，
在中，设，则，
由勾股定理得，
解得：，
．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
15、见解析
【解析】
由垂直得到∠AEB＝∠CFD＝90°，然后可证明Rt△ABE≌Rt△CDF，得到∠ABE＝∠CDF，然后证明AB∥CD，再根据平行四边形的判定判断即可．
【详解】
解：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出∠ABE＝∠CDF，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
16、（1）今年A款手机每部售价1600元；（2）当新进A款手机30部，B款手机60部时，这批手机获利最大．
【解析】
(1)设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为(x+400)元，根据今年与去年卖出的数量相同列方程进行求解即可；
(2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(90-a)部，获利y元，根据利润=售价-进价可得y与a的函数关系式，求得a的取值范围，再根据函数的性质即可求得最大值，进而确定出如何进货才能获得最多.
【详解】
(1)设今年A款手机每部售价x元，则去年售价每部为(x+400)元，
由题意，得，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的根，
答：今年A款手机每部售价1600元；
(2)设今年新进A款手机a部，则B款手机(90-a)部，获利y元，
由题意，得y=(1600-1100)a+(2000-1400)(90-a)=-100a+54000，
∵B款手机的进货数量不超过A款手机数量的两倍，
∴90-2a≤2a，
∴a≥30，
∵y=-100a+54000，
-100