2025年高考数学一轮复习-第一章-第二节-常用逻辑用语【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第一章-第二节-常用逻辑用语【课件】，共55页。PPT课件主要包含了必备知识自主梳理，A⊆B，A⊇B，A＝B，A⫋B，A⫌B，包含B，关键能力重点探究，方法总结，－53等内容，欢迎下载使用。

[学习要求]　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条 件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条 件、数学定义与充要条件的关系.　2.通过已知的数学实例，理解全称量 词与存在量词的意义.　3.能正确使用全称量词命题、存在量词命题进行 否定.
[知识梳理]知识点一　充分条件、必要条件与充要条件记 p ： x ∈ A ， q ： x ∈ B ，则
A 不包含于 B 且 A 不
知识点二　全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词
2. 全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
[小题诊断]1. 命题“∀ a ∈R，一元二次方程 x 2－ ax －1＝0有实根”的否定是 (　C　)
根据全称量词命题的否定形式可知，命题“∀ a ∈R，一元二次方程 x 2－ ax －1＝0有实根”的否定是“∃ a ∈R，一元二次方程 x 2－ ax －1＝0没 有实根”.
2. 已知条件 p ： x ＞1，条件 q ： x ≥2，则 p 是 q 的(　B　)
∵{ x ｜ x ≥2}⫋{ x ｜ x ＞1}，∴ p 是 q 的必要不充分条件.
3. (2024·天津模拟)命题 p ： x ＜－1，则命题 p 的一个充分不必要条件为 (　D　)
由于－10＜ x ＜－3⇒ x ＜－1，反之不成立，所以命题 p 的一个充分不必 要条件为－10＜ x ＜－3，其他选项均不符合.
考点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断◉角度(一)　定义法判断充分、必要条件
　(1)(2023·天津卷)“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的(　B　)
由 a 2＝ b 2，得｜ a ｜＝｜ b ｜；
由 a 2＋ b 2＝2 ab ，得( a － b )2＝0，∴ a ＝ b .
a ＝ b ⇒｜ a ｜＝｜ b ｜，而由｜ a ｜＝｜ b ｜不能推出 a ＝ b ，
∴“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的必要不充分条件.
(2)(2021·全国甲卷)等比数列{ an }的公比为 q ，前 n 项和为 Sn .设甲： q ＞ 0，乙：{ Sn }是递增数列，则(　B　)
当 q ＝1， a 1＜0时，等比数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ na 1＜0，可知{ Sn }是 单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件；
若{ Sn }是递增数列，则当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn －1＞0，即 a 1 qn －1＞0恒 成立，而只有当 a 1＞0， q ＞0时， a 1 qn －1＞0恒成立，所以可得 q ＞0， 因此甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
◉角度(二)　集合法判断充分、必要条件
　设 x ∈R，则“ x 2－5 x ＜0”是“｜ x －1｜＜1”的(　B　)
由 x 2－5 x ＜0可得0＜ x ＜5.由｜ x －1｜＜1可得0＜ x ＜2.由于区间(0，2) 是(0，5)的真子集，故“ x 2－5 x ＜0”是“｜ x －1｜＜1”的必要不充分 条件.
1. 若集合 A ＝{ x ｜ x 2－5 x ＋4＜0}， B ＝{ x ｜｜ x － a ｜＜1}，则“ a ∈(2，3)”是“ B ⊆ A ”的(　A　)
A ＝{ x ｜1＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ a －1＜ x ＜ a ＋1}.
∵(2，3)⫋[2，3]，
∴“ a ∈(2，3)”是“ B ⊆ A ”的充分不必要条件.
2. 如果 x ， y 是实数，那么“ x ≠ y ”是“ cs x ≠ cs y ”的(　C　)
设集合 A ＝{( x ， y )｜ x ≠ y }， B ＝{( x ， y )｜ cs x ≠ cs y }，则 A 的补集 C ＝{( x ， y )｜ x ＝ y }， B 的补集 D ＝{( x ， y )｜ cs x ＝ cs y }，显然 C ⫋ D ，所以 B ⫋ A . 于是“ x ≠ y ”是“ cs x ≠ cs y ”的必要不充分条件.
3. (2022·浙江卷)设 x ∈R，则“ sin x ＝1”是“ cs x ＝0”的(　A　)
考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用 设命题 p ：｜4 x －3｜≤1；命题 q ： x 2－(2 a ＋1) x ＋ a ( a ＋1)≤0.若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围是 ⁠.
考点三　全称量词命题与存在量词命题
　(1)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　C　)
由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题.
(2)已知命题 p ：∀ x ＞0， x 2＋1≥1，则﹁ p 为(　C　)
全称量词命题的否定为存在量词命题.
若命题 p ：∀ x ＞0， x 2＋1≥1，
则﹁ p ：∃ x ＞0， x 2＋1＜1.
(3)已知命题 p ：∃ x ＞0， x ＋ a －1＝0，若 p 为假命题，则实数 a 的取值 范围是(　D　)
∵ p 为假命题，∴﹁ p 为真命题，即∀ x ＞0， x ＋ a －1≠0，即∀ x ＞0， x ≠1－ a ，∴1－ a ≤0，则 a ≥1，∴实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥1}.
5. 若命题“∃ x ∈R，使得 x 2－( a ＋1) x ＋4≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围为 ⁠.
命题“∃ x ∈R，使得 x 2－( a ＋1) x ＋4≤0”为假命题，即命题“∀ x ∈R，使得 x 2－( a ＋1) x ＋4＞0”为真命题，则判别式Δ＝( a ＋1)2－4×4 ＜0，即Δ＝( a ＋1)2＜16，则－4＜ a ＋1＜4，即－5＜ a ＜3.
1. 命题 p ：∃ m ∈R，方程 x 2＋ mx ＋1＝0有实根，则﹁ p 是(　B　)
命题“∃ m ∈R，方程 x 2＋ mx ＋1＝0有实根”的否定是“∀ m ∈R，方程 x 2＋ mx ＋1＝0无实根”.
2. 若命题 p ：对任意的 x ∈R，都有 x 3－ x 2＋1＜0，则﹁ p 为(　D　)
3. (2021·天津卷)已知 a ∈R，则“ a ＞6”是“ a 2＞36”的(　A　)
①由 a ＞6，得 a 2＞36，所以“ a ＞6”是“ a 2＞36”的充分条件，
②由 a 2＞36，得 a ＞6或 a ＜－6，所以“ a ＞6”是“ a 2＞36”的不必要 条件，
故 a ＞6是 a 2＞36的充分不必要条件.
4. “∀ x ∈[－2，1]， x 2－2 a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　D　)
“∀ x ∈[－2，1]， x 2－2 a ≤0”为真命题，即2 a ≥ x 2在 x ∈[－2，1]时恒 成立，所以2 a ≥4，所以 a ≥2，即“∀ x ∈[－2，1]， x 2－2 a ≤0”为真命 题的充要条件是 a ≥2，所以可转化为求“ a ≥2”的充分不必要条件，即 找集合 A ＝{ a ｜ a ≥2}的非空真子集，结合选项，所以 a ≥3.
5. 下列命题中的真命题是(　B　)
∴∀ x ∈(0，＋∞)， f ( x )＞0，即e x ＞ x ＋1，故B正确；
∵当 x ∈(0，＋∞)时，f'( x )＞0，
∴ f ( x )在(0，＋∞)上为增函数.
7. (2024·河南郑州模拟)若命题“∃ x ∈R，使得3 x 2＋2 ax ＋1＜0”是假 命题，则实数 a 的取值范围是 ⁠.
8. 已知“ x 2－ x －2＞0”是“2 x ＋ p ＞0”的必要条件，则实数 p 的取值 范围是 ⁠.
由 x 2－ x －2＞0，解得 x ＞2或 x ＜－1，令 B ＝{ x ｜ x ＞2，或 x ＜－1}，
由题意知 A ⊆ B 时，
解得 p ≤－4，∴实数 p 的取值范围是(－∞，－4].
9. 使得“2 x ＞4 x ”成立的一个充分条件是 ⁠.
解得 x ＜0，使得“2 x ＞4 x ”成立的一个充分条件只需为集合{ x ｜ x ＜0}的子集即可.
x ＜－1(答案不唯一)　
10. (2024·河北邢台模拟)“不等式 ax 2＋2 ax －1＜0恒成立”的一个充分 不必要条件是(　D　)
当 a ＝0时，－1＜0恒成立，
综上所述，不等式 ax 2＋2 ax －1＜0恒成立时，－1＜ a ≤0，
所以选项中“不等式 ax 2＋2 ax －1＜0恒成立”的一个充分不必要条件 是－1＜ a ＜0.
11. (2024·贵州贵阳模拟)设 a ， b 均为单位向量，则“｜ a －3 b ｜＝｜3 a ＋ b ｜”是“ a ⊥ b ”的(　C　)
因为｜ a －3 b ｜＝｜3 a ＋ b ｜，所以( a －3 b )2＝(3 a ＋ b )2，所以 a 2－6 a · b ＋9 b 2＝9 a 2＋6 a · b ＋ b 2.又因为｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，所以 a · b ＝0， 所以 a ⊥ b ；反之也成立.
13. (多选)下列四个关于命题的判断，其中正确的是(　AB　)
对于B，在△ ABC 中，设△ ABC 的外接圆半径为 R ， sin A ＞ sin B ⇔2 R sin A ＞2 R sin B ⇔ a ＞ b ⇔ A ＞ B ，故选项B正确；
对于C，由全称命题的否定可得，命题“∀ x ∈N，lg( x ＋1)＞0”的否定 是“∃ x ∈N，lg( x ＋1)≤0”，故选项C是错误的；
对于A，设 f ( x )＝3 x ＋ cs x ( x ＞0)，则f'( x )＝3－ sin x ，f'( x )＞0，所以 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，所以 f ( x )＞0＋ cs 0＝1，从而命题“∃ x ∈(0，＋∞)，3 x ＋ cs x ＜1”是假命题，故选项A正确；
14. (2024·河北唐山模拟)若“ x 2－2 x －8＞0”是“ x ＜ m ”的必要不充 分条件，则 m 的最大值为 ⁠.
由 x 2－2 x －8＞0，解得 x ＞4，或 x ＜－2，
所以记 A ＝{ x ｜ x ＞4，或 x ＜－2}， B ＝{ x ｜ x ＜ m }；
若“ x 2－2 x －8＞0”是“ x ＜ m ”的必要不充分条件，则 B 是 A 的 真子集.
故 m ≤－2，所以 m 的最大值为－2.