上海市松江一中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷
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这是一份上海市松江一中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷,共14页。
一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分.
1.函数的定义域是______.
2.已知集合(),若,则______.
3.已知复数满足(为虚数单位),则复数的模为______.
4.若,,则______.
5.若,用表示______.
6.函数的单调增区间为______.
7.已知向量,,则的最大值为______.
8.若存在实数使得不等式成立,则实数的取值范围是______.
9.若曲线有两条过坐标原点的切线,则的取值范围______.
10.如图,为外接圆上一个动点,若,,,则的最大值为______.
11.已知函数,,则与的图象交点的纵坐标之和为______.
12.正实数,满足:存在和,使得,,,则的最大值为______.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.已知,且,则下列不等式中一定成立的是( )
A.B.C.D.
14.为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
15.设集合(其中常数,),(其中常数),则“”是“”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
16.定义域均为的三个函数,,满足条件:对任意,点与点都关于点对称,则称是关于的“对称函数”.
已知函数,,是关于的“对称函数”,记的定义域为,若对任意,都存在,使得成立,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知坐标平面内,向量,,.
(1)求满足的实数、;
(2)若向量满足,且,求的坐标.
18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知函数,,函数.
(1)当时,求的值域;
(2)已知的内角,,的对边分别为,,,若,求的面积的最大值.
19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知,函数.
(1)当时,解不等式;
(2)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
已知椭圆:()的长轴长为,右顶点到左焦点的距离为,直线与椭圆.交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆的上顶点,为中点,为坐标原点,连接并延长交椭圆于,求的值;
(3)若原点到直线的距离为1,,当时,求的面积的范围.
21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
设函数的定义域为,对于区间,当且仅当函数满足以下两个性质中的任意一个时,则称区间是的一个“美好区间”.
性质①:对于任意,都有;性质②:对于任意,都有.
(1)已知函数,.分别判断区间,区间是否为的“美好区间”,并说明理由;
(2)已知函数,且,若区间是函数的一个“美好区间”,求实数的取值范围;
(3)已知函数的定义域为,其图像是一条连续的曲线,且对于任意,都有,求证:函数存在“美好区间”,且存在,为不属于的任意一个“美好区间”.
2024-2025学年上海市松江一中高三年级上学期
9月月考数学试卷参考答案
一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】要使有意义,则:,解得:,或,∴的定义域是.
2.【答案】
【解析】集合1,∵,即或,
可得或,当时,违背集合的互异性.
3.【答案】2
【解析】.
4.【答案】
【解析】.
5.【答案】
【解析】因为
,
所以.
6.【答案】
【解析】由解得,即函数的定义域为,
设,则函数在上为增函数,
为减函数,此时函数单调递减,
函数在上为减函数,为减函数,
此时函数的单调递增,
故的单调增区间为.
7.【答案】3
【解析】
,则的最大值为.
8.【答案】
【解析】存在实数使得不等式成立,
而,
故原条件等价于,即,解得,
故实数的取值范围为.
9.【答案】
【解析】,设切点坐标为
切线的斜率,
切线方程为,
又切线过原点,,
整理得:,
切线存在两条,方程有两个不等实根,
,解得或,
即的取值范围是.
10.【答案】
【解析】由余弦定理得,
由正弦定理得外接圆半径,
所以,其中是在上的投影,
过点作交圆于点,如图,
则,
所以的最大值为.
11.【答案】2
【解析】因为函数为奇函数,其图象关于点对称,
且在,上单调递减,
而,
所以的图象关于点对称,且在,上单调递减.
因为函数为奇函数,其图象关于点对称,且为上的增函数,
所以的图象关于点对称,且为上的增函数.
从而与的图象有两个关于点对称的交点,故两交点的纵坐标之和为2.
12.【答案】
【解析】不妨构造,,
条件转化为,,,故,
于是问题转化为一个等腰直角三角形绕着点转动,
因为,,所以点位于点的左上方,
设,则,所以
,
故
.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.【答案】C
【解析】选项A:如,,则,故A错误,
选项B:当时,,B错误,
选项C:因为函数在上单调递增,,则,故C正确,
选项D:如,,则,故D错误,
故选:C.
14.【答案】A
【解析】,
它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的,故A正确.故选:A.
15.【答案】A
【解析】当时,集合,若,则,此时;
当,集合,若,则,此时,故“”是“”的充分条件,
当时,集合,若,,可得;
当,集合,若,,可得,
所以“”不是“”的必要条件,
所以“”是“”的充分非必要条件.故选:A.
16.【答案】D
【解析】由函数,,是关于的“对称函数”,
可得,,,,
可得的解为,
由,,,
且在递增,递减,可得的最小值为,最大值为1,
可得的值域为
而在递增,可得的值域为
由题意可得
即有,即为,
解得或,
则的范围是
故选:D.
三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.【答案】(1),;(2)的坐标为或
【解析】(1)因为,,,且,
所以,
所以,解得,
所以满足的实数,.
(2)因为,,所以,
设,因为,且,
所以,①
,②
由①②解得:或,
所以的坐标为或.
18.【答案】(1);(2)
【解析】(1)函数,,.
,
,,,
可得:.
(2),可得:,
,,可得:,解得:.
,
由余弦定理,
可得:
当且仅当时取到等号,
.
19.【答案】(1);(2)
【解析】(1)由,得,解得.
(2)当时,,,
所以在上单调递减.
函数在区间上的最大值与最小值分别为,.
即,
对任意成立.
因为,所以函数在区间上单调递增,
时,有最小值,由,得.
故的取值范围为.
20.【答案】(1);(2);(3)
【解析】(1),,
又,,
,,
故椭圆方程为.
(2)过,,
,
,
,则,
,,代入椭圆方程,
得,即,所以.
(3)原点到直线的距离为1,,
设,,,
联立(*),
,
由(*)式知,,,
,得,
,
令,,,
.
21.【答案】(1)是,不是;(2);(3)见解析
【解析】(1),
当时,,满足性质①,
所以是的“好区间”;
当时,
既不满足性质①,也不满足性质②,
所以不是的“美好区间”;
(2),
若在区间上满足性质①,则,,
而,
所以在区间上不满足性质①
若在区间上满足性质②,
当时,
所以
当时,因为,所以不符合;
综上所述,实数的取值范围是;
(3)证明:因为任意,都有
所以在任意区间上对应的函数值区间长度必大于,
即在任意区间上都不满足性质①,
因为对于任意,都有
所以在上单调递减,
所以不恒成立,即存在,
若,取,则
在区间上对应函数值的区间,
所以是一个“美好区间”;
若,取,
则
在区间上对应函数值的区间,
是一个“美好区间”;
所以存在“美好区间”;
记,
因为在上单调递减,所以在上单调递减;
又图像是一条连续的曲线,
所以图像也是一条连续的曲线,
先证明有零点,
设,
若,则有零点为,
若,则,,,在区间上有零点;
若,则,,,在区间上有零点;
所以必有零点,记为,
即的“美好区间”都满足性质②,
所以不属于任意一个“美好区间”.0
3
-
0
+
12
单调递减
极小值3
单调递增
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