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    上海市松江一中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

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    上海市松江一中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

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    这是一份上海市松江一中2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷,共14页。
    一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分.
    1.函数的定义域是______.
    2.已知集合(),若,则______.
    3.已知复数满足(为虚数单位),则复数的模为______.
    4.若,,则______.
    5.若,用表示______.
    6.函数的单调增区间为______.
    7.已知向量,,则的最大值为______.
    8.若存在实数使得不等式成立,则实数的取值范围是______.
    9.若曲线有两条过坐标原点的切线,则的取值范围______.
    10.如图,为外接圆上一个动点,若,,,则的最大值为______.
    11.已知函数,,则与的图象交点的纵坐标之和为______.
    12.正实数,满足:存在和,使得,,,则的最大值为______.
    二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
    13.已知,且,则下列不等式中一定成立的是( )
    A.B.C.D.
    14.为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
    A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
    C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度
    15.设集合(其中常数,),(其中常数),则“”是“”的( )
    A.充分非必要条件B.必要非充分条件
    C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
    16.定义域均为的三个函数,,满足条件:对任意,点与点都关于点对称,则称是关于的“对称函数”.
    已知函数,,是关于的“对称函数”,记的定义域为,若对任意,都存在,使得成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
    17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    已知坐标平面内,向量,,.
    (1)求满足的实数、;
    (2)若向量满足,且,求的坐标.
    18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    已知函数,,函数.
    (1)当时,求的值域;
    (2)已知的内角,,的对边分别为,,,若,求的面积的最大值.
    19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    已知,函数.
    (1)当时,解不等式;
    (2)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
    20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
    已知椭圆:()的长轴长为,右顶点到左焦点的距离为,直线与椭圆.交于,两点.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)若为椭圆的上顶点,为中点,为坐标原点,连接并延长交椭圆于,求的值;
    (3)若原点到直线的距离为1,,当时,求的面积的范围.
    21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
    设函数的定义域为,对于区间,当且仅当函数满足以下两个性质中的任意一个时,则称区间是的一个“美好区间”.
    性质①:对于任意,都有;性质②:对于任意,都有.
    (1)已知函数,.分别判断区间,区间是否为的“美好区间”,并说明理由;
    (2)已知函数,且,若区间是函数的一个“美好区间”,求实数的取值范围;
    (3)已知函数的定义域为,其图像是一条连续的曲线,且对于任意,都有,求证:函数存在“美好区间”,且存在,为不属于的任意一个“美好区间”.
    2024-2025学年上海市松江一中高三年级上学期
    9月月考数学试卷参考答案
    一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得0分.
    1.【答案】
    【解析】要使有意义,则:,解得:,或,∴的定义域是.
    2.【答案】
    【解析】集合1,∵,即或,
    可得或,当时,违背集合的互异性.
    3.【答案】2
    【解析】.
    4.【答案】
    【解析】.
    5.【答案】
    【解析】因为

    所以.
    6.【答案】
    【解析】由解得,即函数的定义域为,
    设,则函数在上为增函数,
    为减函数,此时函数单调递减,
    函数在上为减函数,为减函数,
    此时函数的单调递增,
    故的单调增区间为.
    7.【答案】3
    【解析】
    ,则的最大值为.
    8.【答案】
    【解析】存在实数使得不等式成立,
    而,
    故原条件等价于,即,解得,
    故实数的取值范围为.
    9.【答案】
    【解析】,设切点坐标为
    切线的斜率,
    切线方程为,
    又切线过原点,,
    整理得:,
    切线存在两条,方程有两个不等实根,
    ,解得或,
    即的取值范围是.
    10.【答案】
    【解析】由余弦定理得,
    由正弦定理得外接圆半径,
    所以,其中是在上的投影,
    过点作交圆于点,如图,
    则,
    所以的最大值为.
    11.【答案】2
    【解析】因为函数为奇函数,其图象关于点对称,
    且在,上单调递减,
    而,
    所以的图象关于点对称,且在,上单调递减.
    因为函数为奇函数,其图象关于点对称,且为上的增函数,
    所以的图象关于点对称,且为上的增函数.
    从而与的图象有两个关于点对称的交点,故两交点的纵坐标之和为2.
    12.【答案】
    【解析】不妨构造,,
    条件转化为,,,故,
    于是问题转化为一个等腰直角三角形绕着点转动,
    因为,,所以点位于点的左上方,
    设,则,所以



    二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
    13.【答案】C
    【解析】选项A:如,,则,故A错误,
    选项B:当时,,B错误,
    选项C:因为函数在上单调递增,,则,故C正确,
    选项D:如,,则,故D错误,
    故选:C.
    14.【答案】A
    【解析】,
    它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的,故A正确.故选:A.
    15.【答案】A
    【解析】当时,集合,若,则,此时;
    当,集合,若,则,此时,故“”是“”的充分条件,
    当时,集合,若,,可得;
    当,集合,若,,可得,
    所以“”不是“”的必要条件,
    所以“”是“”的充分非必要条件.故选:A.
    16.【答案】D
    【解析】由函数,,是关于的“对称函数”,
    可得,,,,
    可得的解为,
    由,,,
    且在递增,递减,可得的最小值为,最大值为1,
    可得的值域为
    而在递增,可得的值域为
    由题意可得
    即有,即为,
    解得或,
    则的范围是
    故选:D.
    三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
    17.【答案】(1),;(2)的坐标为或
    【解析】(1)因为,,,且,
    所以,
    所以,解得,
    所以满足的实数,.
    (2)因为,,所以,
    设,因为,且,
    所以,①
    ,②
    由①②解得:或,
    所以的坐标为或.
    18.【答案】(1);(2)
    【解析】(1)函数,,.

    ,,,
    可得:.
    (2),可得:,
    ,,可得:,解得:.

    由余弦定理,
    可得:
    当且仅当时取到等号,

    19.【答案】(1);(2)
    【解析】(1)由,得,解得.
    (2)当时,,,
    所以在上单调递减.
    函数在区间上的最大值与最小值分别为,.
    即,
    对任意成立.
    因为,所以函数在区间上单调递增,
    时,有最小值,由,得.
    故的取值范围为.
    20.【答案】(1);(2);(3)
    【解析】(1),,
    又,,
    ,,
    故椭圆方程为.
    (2)过,,


    ,则,
    ,,代入椭圆方程,
    得,即,所以.
    (3)原点到直线的距离为1,,
    设,,,
    联立(*),

    由(*)式知,,,
    ,得,

    令,,,

    21.【答案】(1)是,不是;(2);(3)见解析
    【解析】(1),
    当时,,满足性质①,
    所以是的“好区间”;
    当时,
    既不满足性质①,也不满足性质②,
    所以不是的“美好区间”;
    (2),
    若在区间上满足性质①,则,,
    而,
    所以在区间上不满足性质①
    若在区间上满足性质②,
    当时,
    所以
    当时,因为,所以不符合;
    综上所述,实数的取值范围是;
    (3)证明:因为任意,都有
    所以在任意区间上对应的函数值区间长度必大于,
    即在任意区间上都不满足性质①,
    因为对于任意,都有
    所以在上单调递减,
    所以不恒成立,即存在,
    若,取,则
    在区间上对应函数值的区间,
    所以是一个“美好区间”;
    若,取,

    在区间上对应函数值的区间,
    是一个“美好区间”;
    所以存在“美好区间”;
    记,
    因为在上单调递减,所以在上单调递减;
    又图像是一条连续的曲线,
    所以图像也是一条连续的曲线,
    先证明有零点,
    设,
    若,则有零点为,
    若,则,,,在区间上有零点;
    若,则,,,在区间上有零点;
    所以必有零点,记为,
    即的“美好区间”都满足性质②,
    所以不属于任意一个“美好区间”.0
    3

    0

    12
    单调递减
    极小值3
    单调递增

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