上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知，，则___________.
2.已知，则___________.
3.已知幂函数们图象关于利对称，则实数们值是___________.
4.记为等差数列的前项和，若，，则___________.
5.不等式的解集是___________.
6.已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则___________.
7.已知随机变量的分布列为：，若，且，则___________.
8.设函数，则使得成立的的解集是___________.
9.已知函数在上有两个零点，则的取值范围为___________.
10.已知集合，集合是集合的三元子集，叫，中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合有___________个数是.
11.如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足，，在内建造喷泉瀑布，在内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当___________时，栈道EG最短.
12.对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，…，，各项和为，集合中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最大值为___________.
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13.已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ）
A.7B.8C.16D.32
14.记的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
15.已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ）
A.B.C.2D.1
16.已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A.存在，使得是偶函数
B.存在，使得在R上严格递减
C.存在，使得在处取极大值
D.存在，使得的最小值是
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.如图，已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面底面，，点E，G分别是DC，DP的中点，点在棱AB上且，
（1）求证：平面；
（2）求直线FG与平面所成的角的正弦值.
18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值.
19.在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）.（以下问题请注意定义域）
（1）求收入函数的最小值；
（2）求成本函数的边际函数的最大值；
（3）求生产台光刻机的这种设备的利润的最小值.
20.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，的右焦点到该渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）若过的直线与的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点.
（i）求直线AB斜率的取值范围；
（ii）求的取值范围.
21.函数的定义域为，若满足对任意，，当时，都有，则称是连续的.
（1）诸写出一个函数是连续的，并判断是否是连续的，说明理由；
（2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的；
（3）当时，，其中，，且是连续的，求a，b的值.
参考答案
1.【答案】2.【答案】3.【答案】2
4.【答案】635.【答案】
6.【答案】4
【解析】是实系数一元二次方程的根，
也是实系数一元二次方程的根，
，解得，，故.
7.【答案】5
【解析】由随机变量分布列的性质，得，解得，
，，
，
，.
8.【答案】
【解析】函数的定义域为R，，则为奇函数，
又函数，分别为R上的严格增函数和严格减函数，于是是R上的严格增函数，
不等式化为，
即，解得，所以原不等式的解集为.
9.【答案】
【解析】当时，，
由，得；由，得，
因此函数，在上严格递增，函数值从增大到，
在上严格递减，函数值从减小到，且，
由函数在上有两个零点，得，解得，
所以的取值范围为.
10.【答案】1008
【解析】因为，且，所以，
故或（舍），，.
令，得，又，“好集”的个数为.
11.【答案】
【解析】由題意，，
设，则.
在中，得，
则.
由于，解得.
令，，则.
令，则，
当时，严格递增；当时，严格递减；
所以，有最大值，则.
12.【答案】1250
【解析】①存在大于1的项，否则此时有；
②，否则将拆分成个1后变大；
③当，2，…，时，有，否则交换，顺序后变为，
进一步有，否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项1，此时变大；
④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列中有存在相邻的两项，，
设此时中有项为2，则将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为；
⑤由上可得数列为2，2，…，2，1，1…，1的形式，设其中有项为2，有项为1，
则有，从而有，
由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大为1250.
13.【答案】B
【解析】因为，，所以，所以集合的子集个数为.
14.【答案】B
【解析】因为，且，
则，即，，可得，
因为，则，即，可得，
所以的取值范围为.
15.【答案】A
【解析】由，
两边同时除以得，
所以，
因为，均为锐角，所以，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最大值时，.
16.【答案】D
【解析】依题意，.
A选项，若是偶函数，则，则当，时，不满足，A选项错误.
B选项，若在上严格递减，则，与题意矛盾，B选项错误.
C选项，若在处取极大值，则存在，使得在区间上，严格递增，与“，”矛盾，所以C选项错误.
D选项，设，画出图象如图所示，
由图可知，满足，且是的最小值，所以D选项正确.
17.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）思路一：取PE的中点，连接GH，BH，
因为点是DP的中点，所以，且，
正方形中，点是CD的中点，，
所以，且，
所以，且，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
思路二：，点是DC的中点，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
如图以点为坐标原点，直线EC，EP为轴和轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
取得，所以，
所以，即，
又FG不在平面内，所以平面.
（2）思路一：过点H作，垂足为，连接BK，由题意知，
又侧面底面，侧面底面，平面，所以底面，
又平面，所以，
又，，平面，所以底面，
所以为直线BH与平面所成的角，
记直线FG与平面所成的角为，由（1）知，所以，
又由题意知，，所以，
又，所以，
所以，所以直线FG与平面所成的角的正弦值为.
思路二：由（1）知，，，
设是平面的一个法向量，则，
取得，，所以，所以，
设直线FG与平面所成的角为，则，
所以直线FG与平面所成的角的正弦值为.
18.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，整理得，，即，
即.
因为，，可得，所以，
结合，解得，所以；
（2）因为，所以，，
所以周长，
当时，，故周长的最大值为.
19.【答案】（1）48千万元；（2）；（3）（千万元）
【解析】（1），，.
，当且仅当，即时等号成立.
当时，（千万元）.
（2），，.
，，，
由函数单调性可知：在，严格递增，
当时，.
（3），
，，，
当时，即，解得或，
当或时，（千万元）.
20.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）
【解析】（1）因为的一条渐近线的倾斜角为，所以，.，
则的一条渐近线的方程为，
因为，所以右焦点到渐近线的距离为，
所以，，所以的方程为.
（2）（i）由（1）知，，设，，
由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，
与联立得，
所以，，，，
又A，B两点在轴同一侧，所以.此时，即.
又圆的方程为，点到直线AB的距离，
由得，由得，所以或，
因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是.
（ii）由弦长公式得
由垂径定理得，
所以，
其中，设，，
则，
所以的取值范围是.
21.【答案】（1），是的，见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）函数是连续的，也是连续的.理由如下：
由，有，
同理当，有，
所以是连续的，也是连续的.
（2）因为是连续的，由定义可得对任意，，
当时，有，
所以有：，
且，所以，
所以，即是连续的，
又同理可得，即是连续的.
（3）己知是连续的，
则由（2）可得，
两式相减可得，
即是连续的，
进一步有，，是连续的.
由已知时，，
若时，，则，不满足.
又对任意，，当时，有，
因为是连续的，所以，
又，所以，所以，
即对任意，，当时，都有，故是连续的.
由上述分析可得，
则当，，其中，，有，
所以，恒成立.
设，对称轴为.
当时，，不等式恒成立，满足题意；
当时，由恒成立，，
则，即，又，则.
由，且，则或4，
所以，与，时，都满足题意；
当时，由，得，
解得，故，又，，且，
所以此时，，满足题意.
综上所述，，或，或，或，.