14.1 勾股定理 华东师大版数学八年级上册课件

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14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系1. 掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法．（重点）2. 通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想．（难点）学习目标 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高 3 米，消防队员取来 6.5 米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是 2.5 米，请问消防队员能否进入三楼灭火? 问题情境观察正方形瓷砖铺成的地面.(1) 正方形 P 的面积是________平方厘米；(2) 正方形 Q 的面积是_______平方厘米；(3) 正方形 R 的面积是_______平方厘米.121RQP[图中每一格代表一平方厘米]直角三角形三边的关系上面三个正方形的面积之间有什么关系？等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？这说明在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？想一想916259413SP + SQ = SRBC2 + AC2 = AB2(每一小方格表示 1 平方厘米)BC2 + AC2 = AB2图 2图 3试一试把 R 看作是四个直角三角形的面积 + 小正方形面积.把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.S正方形R 分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.13512做一做归 纳 由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有a2 + b2 = c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.赵爽弦图 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.abc赵爽弦图b-a证明：∵ S大正方形＝c2，S小正方形＝(b - a)2，∴ S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，abc赵爽弦图b-a 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 .(a + b)2即 a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab，∴ a2 + b2 = c2.做一做方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）： 已知直角三角形两边，求第三边.练一练2.直角三角形的判定1. 了解直角三角形的判定条件．（重点）2. 能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）学习目标据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用 13 个等距离的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处.你想知道这是什么道理吗?直角三角形的判定试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1) a = 3，b = 4，c = 5； (2) a = 4，b = 6，c = 8； (3) a = 6，b = 8，c = 10.这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？在这三组数据中，(1)、(3) 两组数据恰好都满足 a2 + b2 = c2. 对于任意一个三角形，若三边长满足 a2 + b2 = c2，则该三角形是直角三角形吗？勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2 + b2= c2， 那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角. 例1 已知：如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b，a² + b² = c²，求证：∠C = 90°.ABC证明：如图，作△A'B′C′，使∠C′ = 90°，A′C′ = b，B′C′ = a，则 A′B′ ² = a² + b² = c²，即 A′B′ = c.在△ABC 和△A′B′C′ 中，∵ BC = a = B′C′，AC = b = A′C′，AB = c = A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′ ( S. S. S. ).∴∠C = ∠C′ = 90°.例2 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1) a = 15，b = 8，c = 17；∵ 152 + 82 = 289，172 = 289，∴ 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.(2) a = 13 ，b = 14，c = 15.∵ 132 + 142 = 365，152 = 225，∴ 132 + 142 ≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴ 这个三角形不是直角三角形.归纳根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.例3例3 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，你说这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图1图2解：在△ABD 中， 所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.在△BCD 中， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.因此，这个零件符合要求. 例4 已知△ABC，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问△ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：∵ AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)²= n4 - 2n² + 1 + 4n²= n4 + 2n² + 1= (n² + 1)²= AC²，∴△ABC 直角三角形，边 AC 所对的角是直角.先确定 AB、BC、AC、的大小勾股数 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.A 练一练3.反证法1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题. (重点)2. 理解并体会反证法的思想内涵. (难点)3. 通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.学习目标 如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b (a≤b≤c) 有关系 a2 + b2 = c2 时，这个三角形一定是直角三角形吗？ 解析：由 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C = 90°，这个三角形一定是直角三角形.反证法 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.(1) 假设它是一个直角三角形；(2) 由勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾；(3) 因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.反证法 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1) 先假设结论的反面是正确的；(2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.像这样的证明方法叫“反证法”.例1 写出下列各结论的反面： (1) a∥b； (2) a≥0； (3) b 是正数； (4) a⊥b.a＜0b 是 0 或负数a 不垂直于 ba 不平行于 b例2 在△ABC 中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.证明：假设______________，则_________________　(　　　　　 ).这与__________________矛盾．假设不成立．∴____________________________．∠B＝∠CAB＝AC等角对等边已知 AB≠AC∠B≠∠C小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例3 求证：两条直线相交只有一个交点.已知：如图，两条相交直线 a，b.求证：a 与 b 只有一个交点.证明：假设 a 与 b 不止一个交点，不妨假设有两个交点 A 和 A'，因为两点确定一条直线，即经过点 A 和 A' 的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立. 所以两条直线相交只有一个交点.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.例4求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°.点拨：至少的反面是没有！证明：假设______________________________________，即____________________________________，∴_______________________________________，这与________________________矛盾．假设不成立．∴_______________________________________．△ABC 中没有一个内角小于或等于 60°∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°三角形的内角和为180°△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°∠A +∠B +∠C＞60° + 60° + 60° = 180°1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为—___________ .64 cm²当堂练习2. 判断题 ①△ABC 的两边 AB = 5，AC = 12，则 BC = 13 ( ) ②△ABC 的 a = 6，b = 8，则 c = 10 ( ) 在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，CB = 8，则△ABC 面积为_____，斜边为上的高为______.244.8D3.一高为 2.5 米的木梯，架在高为 2.4 米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少？ABC4.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方 4 km 处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km. 这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？45解：在 Rt△ABC 中，答：飞机飞过的距 离是 3 km.5. 如图，一根旗杆在离地面 9 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处. 旗杆原来有多高?12 m9 m解：设旗杆顶部到折断处的距离为 x m，根据勾股定理，得92 - 122=x2 x = 15，15 + 9 = 24 (m).答: 旗杆原来高 24 m.6.如果线段 a，b，c 能组成直角三角形，则它们的比可以是( )3 : 4 : 7 B. 5 : 12 : 13 C. 1 : 2 : 4 D. 1 : 3 : 57.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( )A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形当堂练习BA8.以△ABC 的三条边为边长向外作正方形，依次得到的面积是 25，144，169，则这个三角形是_____三角形.9.如果三条线段 a，b，c 满足 a2 = c2 - b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?直角解：是直角三角形，因为 a2 + b2 = c2，满足勾股定理的逆定理.10. 如图，在正方形ABCD 中，AB = 4，AE = 2，DF = 1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.解：由题意可知△ABE，△DEF，△FCB 均为直角三角形.由勾股定理，知 BE2 = 22 + 42 = 20，EF2 = 22 + 12 = 5，BF2 = 32 + 42 = 25，∴ BE2 + EF2 = BF2.∴△BEF 是直角三角形.11.试说出下列语句的反面：（1）a 是实数______________（2）a 大于 2____________________（3）a 小于2____________________（4）至少有两个________________（5）最多有一个________________ 　 （6）两条直线平行________________a 不是实数a 小于或等于 2a 大于或等于 2最多有一个至少有两个两直线不平行当堂练习12.用反证法证明“若a2 ≠ b2，则 a ≠ b”的第一步是_______________ .13.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步____________________________________ .　假设 a = b假设这个三角形是等腰三角形14.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）A. 有两个内角是直角 B. 有三个内角是直角C. 至少有两个内角是直角 D. 没有一个内角是直角C15.否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ）A. a，b，c 都是奇数B. a，b，c 都是偶数C. a，b，c 中至少有两个偶数D. a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数D 16.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.  不是不都是不大于 不小于一个也没有至少有两个至多有（n - 1)个至少有（n + 1)个存在某个 x 不成立存在某个 x 成立不等于某个认识勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c ，那么 a2 + b2 = c2 利用勾股定理进行计算课堂小结一定是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数课堂小结反证法概念反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理，得出矛盾→肯定待定命题的结论.证明步骤课堂小结