[数学]2023北京四中高二(上)期中试卷(教师版)

这是一份[数学]2023北京四中高二(上)期中试卷(教师版)，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数
学
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项）
1．已知直线 l 的一个方向向量为
A． B．
，则直线 l 的斜率为（
C．
）
D．﹣1
2．已知点 A（﹣2，3，0），B（1，3，2），
A．（4，3，4）
，则点 P 的坐标为（
B．（﹣4，﹣1，﹣4）
D．（﹣5，3，﹣2）
）
C．（﹣1，6，2）
3．已知直线方程 kx﹣y﹣2k＝0，则可知直线恒过定点的坐标是（
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2）
4．平行六面体 ABCD﹣A B C D 的所有棱长都是 1，O 为 A C 中点，∠BAD＝∠BAA ＝∠DAA ＝60°，
）
D．（0，2）
1
1
1
1
1
1
1
1
，则（
）
A．x＝1，y＝1
B．x＝1，
C．
，
D．
，y＝1
5．“a＝﹣3”是“直线 x+ay+2＝0 与直线 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知点（1，﹣2）和
在直线 l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是
（
）
A．
B．
D．
C．
7．过点 A（4，1）的圆 C 与直线 x﹣y＝1 相切于点 B（2，1），则圆 C 的方程为（
）
2
2
A．（x﹣3） +（y+1） ＝5
B．
D．（x﹣3） +y ＝2
2
2
2
2
C．（x﹣3） +（y﹣8） ＝50
8．正方体 ABCD﹣A B C D 中，O 为正方形 ABCD 中心，A P＝λA B （λ∈[0，1]），直线 OP 与平面 ABC
1
1
1
1
1
1
1
所成角为 θ，则 θ 取最大时 λ 的值为（
A． B．
）
C．
D．
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9．A（1，y ），B（﹣2，y ）是直线 y＝﹣
x 上的两点，若沿 x 轴将坐标平面折成 60°的二面角，则折
1
2
叠后 A、B 两点间的距离是（
A．6 B．
）
C．
D．
10．点 M（x ，y ）到两条直线：x+3y﹣2＝0，x+3y+6＝0 距离相等，y ＜x +2，则
的取值范围是
0
0
0
0
（
）
A．
B．
D．
C．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
11．（5 分）若向量 与向量
共线，则 x 的值为
．
12．（5 分）直线 2x﹣y﹣1＝0 与 2x﹣y+1＝0 之间的距离是
13．（5 分）以 A（2，3），B（4，9）为直径的两个端点的圆的方程是
．
．
14．（5 分）在空间四边形 ABCD 中，
＝
．
15．（5 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A B C 中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA ＝2，点 D 在棱 AC 上滑
1
1
1
1
动，点 E 在棱 BB1 上滑动，给出下列四个结论：
①三棱锥 C ﹣A DE 的体积不变；
1
1
②A1D+DB 的最小值为
③点 D 到直线 C1E 的距离的最小值为
④使得 A D⊥C E 成立的点 D、E 不存在．
；
；
1
1
其中所有正确的结论为
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分）
16．（13 分）已知点 A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）．
（1）求△ABC 的面积；
（2）过点 C 的直线 l 与点 A（1，2），点 B（﹣3，5）距离相等，求直线 l 的方程．
17．（13 分）如图，在△ABC 中， ，BC＝4，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，
将△ADE 沿 DE 折起到△A DE 的位置，使得平面 A DE⊥平面 BCED．
1
1
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（1）平面 A1OB⊥平面 BCED；
（2）若 F 为 A C 的中点，求点 F 到面 A OB 的距离．
1
1
2
2
18．（14 分）已知直线 l 过点 P（2，3），圆 C：x +4x+y ﹣12＝0．
（1）求与圆 C 相切的直线 l 的方程；
（2）当直线 l 是圆 C 的一条对称轴，交圆 C 于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 D，E 两
点，求|DE|．
19．（15 分）如图，梯形 ABCD 所在的平面与等腰梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥
AD，|CD|＝|DA|＝|AF|＝|FE|＝2，|AB|＝4．
（1）求证：DF∥平面 BCE；
（2）求二面角 C﹣BF﹣A 的余弦值；
（3）线段 CE 上是否存在点 G，使得 AG⊥平面 BCF？请说明理由．
20．（15 分）已知圆
和圆
（r＞0）．
（1）若圆 C 与圆 C 相交，求 r 的取值范围；
1
2
（2）若直线 l：y＝kx+1 与圆 C1 交于 P、Q 两点，且
，求实数 k 的值；
（3）若 r＝2，设 P 为平面上的点，且满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 和 l ，它们分别
1
2
与圆 C 和圆 C 相交，且直线 l 被圆 C 截得的弦长与直线 l 被圆 C 截得的弦长相等，试求所有满足条
1
2
1
1
2
2
件的点 P 的坐标．
21．（15 分）对于 n 维向量 A＝（a ，a ，…，a ），若对任意 i∈{1，2，…，n}均有 a ＝0 或 a ＝1，则称 A
1
2
n
i
i
为 n 维 T 向量．对于两个 n 维 T 向量 A，B，定义 d（A，B）＝
．
（Ⅰ）若 A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求 d（A，B）的值．
（Ⅱ）现有一个 5 维 T 向量序列：A ，A ，A ，…，若 A ＝（1，1，1，1，1）且满足：d（A ，Ai+1）
1
2
3
1
i
＝2，i∈N*．求证：该序列中不存在 5 维 T 向量（0，0，0，0，0）．
（Ⅲ）现有一个 12 维 T 向量序列：A ，A ，A ，…，若
且满足：d（Ai，Ai+1）＝
1
2
3
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m，m∈N*，i＝1，2，3，…，若存在正整数 j 使得
求出所有的 m．
，Aj 为 12 维 T 向量序列中的项，
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参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项）
1．【答案】D
【分析】利用斜率公式求解．
【解答】解：因为直线 l 的一个方向向量为
，
所以直线 l 的斜率为
．
故选：D．
2．【答案】A
【分析】设 P（x，y，z），表示出
【解答】解：设 P（x，y，z），
、
，即可得到方程组，解得即可．
因为 A（﹣2，3，0），B（1，3，2），
所以
因为
，
，
，所以（x+2，y﹣3，z）＝2（3，0，2），
所以
，解得
，即 P（4，3，4）．
故选：A．
3．【答案】B
【分析】依题意可得（x﹣2）k﹣y＝0，令
，解得即可．
【解答】解：直线 kx﹣y﹣2k＝0，即（x﹣2）k﹣y＝0，令
，解得
，
所以直线 kx﹣y﹣2k＝0 恒过点（2，0）．
故选：B．
4．【答案】C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．
【解答】解：依题意
＝
＝
，
又
，所以
，
．
故选：C．
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5．【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可．
【解答】解：当直线 x+ay+2＝0 与直线 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直时，
a+a（a+2）＝0，得 a2+3a＝0，
解得 a＝0 或 a＝﹣3，
所以当 a＝﹣3 时，直线 x+ay+2＝0 与直线 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直，
而当直线 x+ay+2＝0 与直线 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直时，a＝0 或 a＝﹣3，
所以“a＝﹣3”是“直线 x+ay+2＝0 与直线 ax+（a+2）y+1＝0 互相垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
6．【答案】C
【分析】因为点（1，﹣2）和
在直线 l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入
ax﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于 0，求出 a 的范围，设直线 l 倾斜角为 θ，则 a＝tanθ，再根据正
切函数的图象和性质即可求出范围．
【解答】解：因为点（1，﹣2）和
在直线 l：ax﹣y﹣1＝0（a≠0）的两侧，
所以，（a+2﹣1）（
即：（a+1）（a﹣
a﹣1）＜0，
）＜0，
解得﹣1＜a＜
，
设直线 l 倾斜角为 θ，
∴a＝tanθ，
∴﹣1＜tanθ＜
，
∴0＜θ＜ ，或
＜θ＜π，
故选：C．
7．【答案】D
【分析】由圆心和切点连线与切线垂直可得 kBC＝﹣1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知
圆心 C 在 AB 的垂直平分线 x＝3 上，由此可求得 a，b 的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可
求解．
【解答】解：设圆心 C（a，b），
因为直线 x﹣y＝1 与圆 C 相切于点 B（2，1），
所以
，即 a+b﹣3＝0，
因为 AB 中垂线为 x＝3，则圆心 C 满足直线 x＝3，
即 a＝3，∴b＝0，
所以半径
，
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2
2
所以圆 C 的方程为（x﹣3） +y ＝2．
故选：D．
8．【答案】A
【分析】在平面 ABB A 中过点 P 作 PP ⊥AB 交 AB 于点 P ，连接 P O，即可得到∠POP 即为线 OP 与
1
1
1
1
1
1
平面 ABC 所成角，且
，设正方 体 ABCD﹣A B C D 的棱长为 2，则
1 1 1 1
，从而求出（tanθ）max，即可得解．
【解答】解：在平面 ABB A 中过点 P 作 PP ⊥AB 交 AB 于点 P ，连接 P O，
1
1
1
1
1
由正方体的性质可知 PP ⊥平面 ABCD，则∠POP 即为直线 OP 与平面 ABC 所成角，
1
1
则
，设正方体 ABCD﹣A B C D 的棱长为 2，则
，
1
1 1 1
所以当 OP1＝1 时（tanθ）max＝1，此时 θ 取最大值，P1 为 AB 的中点，
又 A P＝λA B ，所以当
时 θ 取最大值．
1
1 1
故选：A．
9．【答案】C
【分析】求出沿 x 轴将坐标平面折成 60°的二面角后，点 A 在平面 xOy 上的射影 C 的坐标，作 BD⊥x
轴，交 x 轴于点 D（﹣2，0），然后利用空间向量表示 ，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答
案．
【解答】解：∵A（1，y ），B（﹣2，y ）是直线 y＝﹣
x 上的两点，
1
2
∴y1＝﹣
，y2＝2
，
现沿 x 轴将坐标平面折成 60°的二面角后，点 A 在平面 xOy 上的射影为 C（1，0），
作 BD⊥x 轴，交 x 轴于点 D（﹣2，0），
∴
∴
＝
+
+
，
＝
+
+
+2
•
+2
•
+2
•
＝3+9+12﹣2×
×2
× ＝18，
∴| |＝3
故选：C．
．
第7页/共17页

10．【答案】B
【 分 析 】 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 到 x +3y +2＝0， 结 合 y ＜x +2 求 出 x ， 再 由 x ≠0 及
0
0
0
0
0
0
计算可得．
【解答】解：依题意
，所以 x +3y +2＝0，
0 0
即
，又 y ＜x +2，所以
，解得 x0＞﹣2，
0
0
显然 x0≠0，所以
当﹣2＜x0＜0 时
当 x0＞0 时
，
，所以
，
，所以
．
综上可得
．
故选：B．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
11．【答案】3．
【分析】利用向量共线定理求解．
【解答】解：因为向量
所以 ，解得 x＝3．
与向量
共线，
故答案为：3．
12．【答案】
．
【分析】由平行线间的距离公式可求得结果．
【解答】解：易知直线 2x﹣y﹣1＝0 与 2x﹣y+1＝0 平行，
这两条直线间的距离为
．
故答案为：
．
2
2
13．【答案】（x﹣3） +（y﹣6） ＝10．
【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可．
【解答】解：易知该圆圆心为 A（2，3），B（4，9）的中点 C（3，6），半径
，
2
2
所以该圆方程为：（x﹣3） +（y﹣6） ＝10．
第8页/共17页

2
2
故答案为：（x﹣3） +（y﹣6） ＝10．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】如图：设
；
由向量的加、减运算知：
，
，代入上式即得结论．
【解答】解：如图，设 ＝ ， ＝ ， ＝ ，
则，
＝
，
＝
，
＝
．
所以，
＝
＝0
故答案是：0
15．【答案】①②③．
【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将△ABC 翻折到与矩形 ACC A 共面时连接 A B 交 AC 于点 D，
1
1
1
此时 A1D+DB 取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空
间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得③，利用
【解答】解：∵BB1⊥平面 ABC，
，即可判断④．
对于①：直三棱柱 ABC﹣A B C 中，AC⊥BC，CC ⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，
1
1
1
1
∴CC ⊥BC，又 CC ⋂AC＝C，
1
1
∴BC⊥平面 ACC A ，又点 D 在棱 AC 上滑动，
1
1
∴
∴
，
，
∴三棱锥 C ﹣A DE 的体积不变，故①正确；
1
1
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对于②：如图将△ABC 翻折到与矩形 ACC A 共面时连接 A B 交 AC 于点 D，此时 A D+DB 取得最小值，
1
1
1
1
∵A C ＝CC ＝2，BC＝1，∴A B＝
＝
，
1
1
1
1
∴A1D+DB 的最小值为
，故②正确；
对于③：如图建立空间直角坐标系，
设 D（a，0，0），a∈[0，2]，E（0，1，c），c∈[0，2]，C1（0，0，2），
∴
，
，
则 点 D 到 直 线 C1E 的 距 离 d＝
＝
＝
，
当 c＝2 时，
，
当 0≤c＜2 时，0＜（c﹣2）2≤4，∴
，∴
，∴
，
∴
∈（0， ]，
第10页/共17页

∴当
取最大值 ，且 a2＝0 时，
，
即当 D 在 C 点 E 在 B 点时，点 D 到直线 C1E 的距离的最小值为
，故③正确；
对于④：A1（2，0，2），
，
，
∴
，∵c∈[0，2]，∴当 c＝2 时，
，
∴
，即 A D⊥C E，故④错误．
1 1
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分）
16．【答案】（1）
（2）3x+14y﹣46＝0 或 3x+4y﹣26＝0．
；
【分析】（1）求出三角形的三边长，并求其中一个角的余弦值，代入公式即可求得面积．
（2）过点 C 的直线 l 与点 A（1，2），点 B（﹣3，5）距离相等，即直线 l 与直线 AB 平行或经过 AB 的
中点，代入求解即可．
【解答】解：（1）由点 A（1，2），B（﹣3，5），C（6，2）可得，
，
，
，
在△ABC 中，
，
所以
，
△ABC 的面积为
．
（2）过点 C 的直线 l 与点 A（1，2），点 B（﹣3，5）距离相等，即直线 l 与直线 AB 平行或经过 AB 的
中点，
当过点 C 的直线 l 与平行时，
，则直线方程为 3x+4y﹣26＝0；
当过点 C 的直线 l 过 AB 的中点，AB 的中点坐标
，
，
所以直线方程为
，即 3x+14y﹣46＝0．
所以直线方程为 3x+14y﹣46＝0 或 3x+4y﹣26＝0．
17．【答案】（1）证明过程请见解答；（2）
．
【分析】（1）由 A O⊥DE，平面 A DE⊥平面 BCED，可知 A O⊥平面 BCED，再由面面垂直的判定定
1
1
1
理，即可得证；
（2）作 DP⊥BC 于 P，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，即可得
第11页/共17页

解．
【解答】（1）证明：由题意知，A D＝A E，
1
1
因为点 O 是 DE 的中点，所以 A1O⊥DE，
因为平面 A DE⊥平面 BCED，平面 A DE∩平面 BCED＝DE，A O⊂平面 A DE，
1
1
1
1
所以 A1O⊥平面 BCED，
又 A O⊂平面 A OB，
1
1
所以平面 A1OB⊥平面 BCED．
（2）解：作 DP⊥BC 于 P，则 BP＝1，
因为 DE∥BC，所以 DP⊥DE，
以 D 为坐标原点，DP，DE 所在直线分别为 x，y 轴，作 Dz⊥平面 BCED，建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 A1（0，1，2），O（0，1，0），B（2，﹣1，0），C（2，3，0），
因为 F 为 A1C 的中点，所以 F（1，2，1），
所以
＝（0，0，2）， ＝（2，﹣2，0）， ＝（1，1，1），
设面 A1OB 的法向量为 ＝（x，y，z），则
，即
，
取 x＝1，则 y＝1，z＝0，所以 ＝（1，1，0），
故点 F 到面 A1OB 的距离为
＝
＝
．
18．【答案】（1）x＝2 或 7x+24y﹣86＝0；
（2）10．
【分析】（1）将圆的方程化为标准式，再分斜率存在与不存在两种情况讨论；
（2）依题意直线 l 过圆心 C，即可求出直线 l 的方程，即可得到
，利用锐角三角函数求出
|AD|，从而求出|CD|，从而得解．
2
2
2
2
【解答】解：（1）圆 C：x +4x+y ﹣12＝0，即（x+2） +y ＝16，
所以圆心 C（﹣2，0），半径 r＝4，
当斜率不存在时直线的方程为 x＝2，符合题意；
当斜率存在时，设斜率为 k，则 y﹣3＝k（x﹣2），即 kx﹣y﹣2k+3＝0，
第12页/共17页

则
，解得
，
所以切线方程为 7x+24y﹣86＝0，
综上可得切线方程为 x＝2 或 7x+24y﹣86＝0．
（2）因为直线 l 是圆 C 的一条对称轴，
所以直线 l 过圆心 C，
则直线 l 的方程
，即 3x﹣4y+6＝0，
则
，又
，即
，
所以|AD|＝3，
则
，
同理可得|CE|＝5，
所以|DE|＝10．
19．【答案】（1）证明见解答；
（2）
；
（3）线段 CE 上不存在点 G，使得 AG⊥平面 BCF．
【分析】（1）先证明四边形 CDFE 为平行四边形，从而得到 DF∥CE，再利用线面平行的判定定理证明
即可；
（2）在平面 ABEF 内，过 A 作 Az⊥AB，证明 AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，建立合适的空间直角坐标
系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面 BCF 的法向量，由向量的夹角公
式求解即可；
（3）利用待定系数法求出平面 ACE 的法向量，利用向量垂直的坐标表示，证明平面 ACE 与平面 BCF
不可能垂直，即可得到答案．
第13页/共17页

【解答】（1）证明：因为 CD∥EF，且 CD＝EF，
所以四边形 CDFE 为平行四边形，
所以 DF∥CE，
因为 DF⊄平面 BCE，CE⊂平面 BCE，
所以 DF∥平面 BCE；
（2）解：在平面 ABEF 内，过 A 作 Az⊥AB，
因为平面 ABCD⊥平面 ABEF，平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，
又 Az⊂平面 ABEF，Az⊥AB，
所以 Az⊥平面 ABCD，
所以 AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB，
如图建立空间直角坐标系 A﹣xyz．
由题意得，A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），E（0，3，
），F（0，1，
），
所以 ＝（2，﹣2，0）， ＝（0，﹣3，
设平面 BCF 的法向量为 ＝（x，y，z），
），
则
，
令 y＝1，则 x＝1，z＝
，
所以 ＝（1，1，
平面 ABF 的一个法向量为 ＝（1，0，0），
则 cs＜ ， ＞＝
），
＝
，
所以平面 CBF 和平面 B FA 的夹角的余弦值为
；
（3）解：线段 CE 上不存在点 G，使得 AG⊥平面 BCF，理由如下：
设平面 ACE 的法向量为 ＝（a，b，c），
所以
，
令 b＝1，则 a＝﹣1，c＝﹣
，
第14页/共17页

所以 ＝（﹣1，1，﹣
），
因为 • ＝﹣1+1﹣3≠0，
所以平面 ACE 与平面 BCF 不可能垂直，
从而线段 CE 上不存在点 G，使得 AG⊥平面 BCF．
20．【答案】（1）（
（2）k＝
﹣2，
+2）；
；
（3）（
，
）或（ ，
）．
【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求 r 的取值范围；
（2）联立直线与圆 C1，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数 k 的值；
（3）由两圆半径相等，两直线 1 和 1 截得圆 C 和圆 C ，弦长相等可得弦心距相等，得
1
2
1
2
＝
，转化为求方程组的解即可．
【解答】解：（1）由题意得，圆 C 的圆心 C （﹣3，1），r ＝2，圆 C 的圆心 C （4，5），半径为 r，
1
1
1
2
2
|C C |＝
＝
，
1
2
∵圆 C 与圆 C 相交，
1
2
∴|r﹣2|＜|C C |＜r+2，即|r﹣2|＜
＜r+2，
1
2
解得：
﹣2＜r＜
﹣2，
+2，
+2）．
∴r∈（
（2）设点 P（x ，y ），Q（x ，y），
1
1
2
2
直线与圆 C1 联立
，
2
2
得（1+k ）x +6x+5＝0，
由Δ＞0 得 k2＜ ，
x +x ＝
，x x ＝
，
1
2
1 2
2
∴y y ＝（kx +1）（kx +1）＝k x x +k（x +x ）+1，
1 2
1
2
1 2
1
2
∵
，
2
∴x x +y y ＝（1+k ）x x +k（x +x ）+1＝4，
1 2 1 2
1 2
1
2
∴5+
﹣3＝0，
解得：k＝
，
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∵k2＜ ，
∴k＝
．
2
2
（3）由题意得 C ：（x﹣4） +（y﹣5） ＝4，
2
设 P（m，n），直线 l 和 l 的方程分别为 y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣ （x﹣m），
1
2
即 kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣ x﹣y+n+ ＝0，
由题意可知，圆心 C 到直线 l 的距离等于 C 到直线 l 的距离，
1
1
2
2
则
＝
，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3 或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，
则有
或
，
故 P（
，
）或（ ，
）．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由于 A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），由定义
，
求 d（A，B）的值．
（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；
（Ⅲ）根据存在正整数 j 使得
，Aj 为 12 维 T 向量序列中的项，求出所有的 m．
【 解 答 】 解 ：（ Ⅰ ） 由 于 A＝ （1，0，1，0，1），B＝ （0，1，1，1，0）， 由 定 义
，
可得 d（A，B）＝4．…
（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含 5 维 T 向量序列，A ，A ，A ，…A ，
1
2
3
n
使得 A ＝（1，1，1，1，1），A ＝（0，0，0，0，0）．
1
m
因为向量 A1＝（1，1，1，1，1）的每一个分量变为 0，都需要奇数次变化，
不妨设 A 的第 i（i＝1，2，3，4，5）个分量 1 变化了 2n ﹣1 次之后变成 0，
1
i
所以将 A 中所有分量 1 变为 0 共需要（2n ﹣1）+（2n ﹣1）+（2n ﹣1）+（2n ﹣1）+（2n ﹣1）＝2
1
1
2
3
4
5
（n +n +n +n +n ﹣2）﹣1 次，此数为奇数．
1
2
3
4
5
又因为
，说明 Ai 中的分量有 2 个数值发生改变，
进而变化到 Ai+1，所以共需要改变数值 2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．
所以该序列中不存在 5 维 T 向量（0，0，0，0，0）．…（9 分）
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（Ⅲ）存在正整数 j 使得
，Aj 为 12 维 T 向量序列中的项，此时 m＝1，2，3，4，
5，6，7，8，9，10，11，12．…（13 分）
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