北京市北京理工大附中2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份北京市北京理工大附中2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，四边形中，，，于，于，若，的面积为，则四边形的边长的长为( )
A．B．C．D．
2、（4分）对于函数y=-2x+5，下列说法正确的是（ ）
A．图象一定经过（2，-1）B．图象经过一、二、四象限
C．图象与直线y=2x+3平行D．y随x的增大而增大
3、（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则对四边形EFGH表述最确切的是（ ）
A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH是菱形
C．四边形EFGH是正方形D．四边形EFGH是平行四边形
4、（4分）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，5C．4，5，6D．7，8，9
6、（4分）如图是小军设计的一面彩旗，其中，，点在上，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列分式是最简分式的是（ ）．
A．B．C．D．
8、（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D． 如果∠A＝30°，EC＝2，则下列结论不正确的是( )
A．ED＝2B．AE=4
C．BC＝D．AB＝8
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量单位：)与时间(单位)之间的关系如图所示：则时容器内的水量为__________．
10、（4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为_____．
11、（4分）已知的顶点坐标分别是，，．过点的直线与相交于点．若分的面积比为，则点的坐标为________．
12、（4分）如图, x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上，反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=x的图象交于点A．BC边经过点A，CD边与反比例函数图象交于点E，四边形OACE的面积为6.则点A的坐标为_____；
13、（4分）函数中，自变量的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工服装件数为 件；这批服装的总件数为 件．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．
15、（8分）化简并求值：，其中x=﹣1．
16、（8分）如图，已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形， ，连接AE．
（1）如图（1），点D在BC边上，连接AD，ED延长线交AD于点F，若AB=4,求△ADE的面积
（2）如图2，点D在△ABC的内部，点M是AE的中点，连接BD，点N是BD中点，连接MN,NE,求证且.
17、（10分）甲、乙两家文化用品商场平时以同样价格出售相同的商品.六一期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品一律按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折.
（1）分别写出两家商场购物金额（元）与商品原价（元）的函数解析式；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出（1）中函数的图象；
（3）六一期间如何选择这两家商场购物更省钱？
18、（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
求甲、乙两种商品的每件进价；
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是_________m．
20、（4分）若是方程的解，则代数式的值为____________.
21、（4分）已知实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是_________________.
22、（4分）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=6cm，GH=8cm，则边AB的长是__________
23、（4分）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义运算如下：如，如，那么________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD边打台球，该球桌长AB=4m，宽AD=2m，点O、E分别为AB、CD的中点，以AB、OE所在的直线建立平面直角坐标系。
（1）如图1，M为BC上一点；
①小明要将一球从点M击出射向边AB，经反弹落入D袋，请你画出AB上的反弹点F的位置；
②若将一球从点M(2，12)击出射向边AB上点F(0.5，0)，问该球反弹后能否撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球?请说明理由
（2）如图2，在球桌上放置两个挡板(厚度不计)挡板MQ的端点M在AD中点上且MQ⊥AD，MQ=2m，挡板EH的端点H在边BC上滑动，且挡板EH经过DC的中点E；
①小聪把球从B点击出，后经挡板EH反弹后落入D袋，当H是BC中点时，试证明：DN=BN；
②如图3，小明把球从B点击出，依次经挡板EH和挡板MQ反弹一次后落入D袋，已知∠EHC=75°，请你直接写出球的运动路径BN+NP+PD的长。
25、（10分）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工服装件数为 件；这批服装的总件数为 件．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．
26、（12分）小强打算找印刷公司设计一款新年贺卡并印刷.如图1是甲印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明（包含设计费与印刷费），乙公司的收费与印刷卡片数量的关系如图2所示.
（1）分别写出甲乙两公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式.
（2）如果你是小强，你会选择哪家公司？并说明理由.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
先证明△ACD≌△BEA，在根据△ABC的面积为8，求出BE，然后根据勾股定理即可求出AB.
【详解】
解：∵BE⊥AC，CD⊥AC，
∴∠ACD=∠BEA=90°，
∴∠CDB+∠DCA=90°，
又∵∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
在△ACD和△AEB中，
∴△ACD≌△BEA（AAS）
∴AC=BE
∵△ABC的面积为8，
∴，
解得BE=4，
在Rt△ABE中，
.
故选择：A.
本题主要考查了三角形全等和勾股定理的知识点，熟练三角形全等的判定和勾股定理是解答此题的关键.
2、B
【解析】
利用一次函数的性质逐个分析判断即可得到结论．
【详解】
A、把x=2代入代入y=-2x+5，得y=1≠-1，所以A不正确；
B、∵k=-2＜0，b=5＞0，∴图象经过一、二、四象限，所以B正确；
C、∵y=-2x+5与y=2x+3的k的值不相等，
∴图象与直线y=2x+3不平行，所以C不正确；
D、∵k=-2＜0，∴y随x的增大而减小，所以D不正确；
故选：B．
本题考查了两直线相交或平行，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，难度适中．
3、B
【解析】
根据三角形中位线定理得到EH=BC，EH∥BC，得到四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的判定定理解答即可．
【详解】
解：∵点E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH=BC，EH∥BC，
同理，EF=AD，EF∥AD，HG=AD，HG∥AD，
∴EF=HG，EF∥HD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AD=BC，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
故选B．
本题考查的是中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
4、D
【解析】
依题意，可以知道点P从O到A匀速运动时，OP的长s逐渐变大；在上运动时，长度s不变；从B到O匀速运动时，OP的长s逐渐变小直至为1．依此即可求解．
【详解】
解：可以看出从O到A逐渐变大，而弧AB中的半径不变，从B到O中OP逐渐减少直至为1．
故选：D．
此题考查了函数随自变量的变化而变化的问题，能够结合图形正确分析距离y与时间x之间的大小变化关系，从而正确选择对应的图象．
5、B
【解析】
不能构成直角三角形，故A选项错误；
可以构成直角三角形，故B选项正确；
不能构成直角三角形，故C选项错误；
不能构成直角三角形，故D选项错误；
故选B.
如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
6、B
【解析】
先求出∠ABD=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAC=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长度是2cm，再利用勾股定理解答．
【详解】
解：如图，∵AD=AB=4cm，∠D=15°，
∴∠ABD=∠D=15°，
∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°，
∵∠ACB=90°，AB=4cm，
，
在Rt△ABC中，，
故选：B．
本题主要考查了含30度角的直角三角形的边的关系，等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7、C
【解析】
A选项中，因为，所以本选项错误；
B选项中，因为，所以本选项错误；
C选项中，因为的分子与分母没有1之外的公因式，所以本选项正确；
D选项中，因为，所以本选项错误；
故选C.
8、D
【解析】
根据角平分线的性质以及锐角三角函数的定义和性质计算出各线段长度逐项进行判断即可．
【详解】
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°
∴
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB ，EC＝2
∴，，故选项A正确
∴，故选项B正确
∴ ，故选项C正确
∴，故选项D错误
故答案为：D．
本题考查了三角形的线段长问题，掌握角平分线的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
利用待定系数法求后8分钟的解析式，再求函数值．
【详解】
解：根据题意知：后8分钟水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系满足一次函数关系，设y=kx+b
当x=4，y=20
当x=12，y=30
∴
∴
∴后8分钟水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系满足一次函数关系y=1.1x+15
当x=8时，y=1．
故答案为：1．
本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，并根据自变量取值，再求函数值．求出解析式是解题关键．
10、5cm
【解析】
设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，由折叠的性质可得DF＝D′F，在Rt△AD′F中，由勾股定理可得x2＝42+（8﹣x） 2，解方程求的x的值，即可得AF的长.
【详解】
设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，
∴x2＝42+（8﹣x） 2，
解得：x＝5（cm）．
故答案为：5cm
本题考查了矩形的折叠问题，利用勾股定理列出方程x2＝42+（8﹣x） 2是解决问题的关键.
11、（5，-）或（5，-）．
【解析】
由AE分△ABC的面积比为1：2，可得出BE：CE=1：2或BE：CE=2：1，由点B，C的坐标可得出线段BC的长度，再由BE：CE=1：2或BE：CE=2：1结合点B的坐标可得出点E的坐标，此题得解．
【详解】
∵AE分△ABC的面积比为1：2，点E在线段BC上，
∴BE：CE=1：2或BE：CE=2：1．
∵B（5，1），C（5，-6），
∴BC=1-（-6）=2．
当BE：CE=1：2时，点E的坐标为（5，1-×2），即（5，-）；
当BE：CE=2：1时，点E的坐标为（5，1-×2），即（5，-）．
故答案为：（5，-）或（5，-）．
本题考查了比例的性质以及三角形的面积，由三角形的面积比找出BE：CE的比值是解题的关键．
12、 (3,2)
【解析】
把反比例函数与正比例函数的解析式组成方程组即可求出A点坐标；
【详解】
∵点A是反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=x的图象的交点，
∴，
解得 (舍去)或
∴A(3,2)；
故答案为：(3,2)
此题考查反比例函数，解题关键在于把反比例函数与正比例函数的解析式组成方程组
13、x≠1
【解析】
，x≠1
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）10；2；（2）y=60x﹣120（4≤x≤9）；（3）1．
【解析】
试题分析：（1）根据工作效率=工作总量÷工作时间，即可求出甲车间每小时加工服装件数，再根据这批服装的总件数=甲车间加工的件数+乙车间加工的件数，即可求出这批服装的总件数；
（2）根据工作效率=工作总量÷工作时间，即可求出乙车间每小时加工服装件数，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合工作结束时间，即可求出乙车间修好设备时间，再根据加工的服装总件数=120+工作效率×工作时间，即可求出乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
（3）根据加工的服装总件数=工作效率×工作时间，求出甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式，将甲、乙两关系式相加令其等于1000，求出x值，此题得解．
试题解析：解：（1）甲车间每小时加工服装件数为720÷9=10（件），这批服装的总件数为720+420=2（件）．
故答案为10；2．
（2）乙车间每小时加工服装件数为120÷2=60（件），乙车间修好设备的时间为9﹣（420﹣120）÷60=4（时），∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=120+60（x﹣4）=60x﹣120（4≤x≤9）．
（3）甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式为y=10x，当10x+60x﹣120=1000时，x=1．
答：甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间为1小时．
点睛：本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系，找出乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）根据数量关系，找出甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式．
15、2.
【解析】
试题分析：先将进行化简，再将x的值代入即可;
试题解析：
原式=﹣•（x﹣1）==，
当x=﹣1时，原式=﹣2．
16、（1）2；（2）证明见详解.
【解析】
（1）由等腰直角三角形的性质，即可得到CE=DE=AF=，然后根据面积公式即可得到答案；
（2）如图2中，延长EN至F使NF=NE，连接AF、BF，先证明△DNE≌△BNF，再证明△ABF≌△ACE，推出∠FAB=∠EAC，可得∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，由此即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，DE=EC，∠B=∠ACB=∠EDC=∠ECD=45°,
∵，
∴AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AF=，
∵
∴四边形AFEC是矩形，
∴CE=AF=DE=2，
∴；
（2）如图2中，延长EN至F使NF=NE，连接AF、BF．
在△DNE和△BNF中，，
∴△DNE≌△BNF，
∴BF=DE=EC，∠FBN=∠EDN，
∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACE=90°-∠DCB，
∴∠ABF=∠FBN-∠ABN
=∠BDE-∠ABN
=180°-∠DBC-∠DGB-∠ABN
=180°-∠DBC-∠DCB-∠CDE-∠ABN
=180°-（∠DBC+∠ABN）-∠DCB-45°
=180°-45°-45°-∠DCB=90°-∠DCB=∠ACE，
在△ABF和△ACE中，，
∴△ABF≌△ACE．
∴∠FAB=∠EAC，AE=AF
∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，
∵N为FE中点，M为AE中点，
∴AF∥NM，MN=AF，ME=AE
∴MN⊥AE，MN=ME.
即且.
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形、勾股定理、三角形中位线等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，学会添加辅助线的方法，属于中考压轴题．
17、（1）甲商场：y=0.8x，乙商场：y=x（0≤x≤200），y=0.7x+60（x＞200）；（2）详见解析；（3）详见解析．
【解析】
（1）根据题中描述的数量关系分别写出甲商场和乙商场中，y与x的函数关系即可（其中乙商场需分0≤x≤200和x>200两段分别讨论）；（2）根据（1）中所得函数关系式按要求画出函数图象即可；（3）根据（1）中所得函数关系式分0.8x0.7x+60三种情况进行解答即可得到相应的结论.
【详解】
解：（1）甲商场：y＝0.8x，
乙商场：y＝x（0≤x≤200），
y＝0.7（x﹣200）+200＝0.7x+60，
即y＝0.7x+60（x＞200）；
（2）如图所示；
（3）①由0.8x600，
∴当x=600时，甲、乙商场购物花钱相等；当x600时，在乙商场购物更省钱.
本题考查了一次函数的应用，解决第（1）小题时，需注意乙商场中：y与x的函数关系式需分0≤x≤200和x>200两段分别讨论；解第（2）小题时，需分三种情况分别讨论，再作出相应的结论.
18、 甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【解析】
【分析】设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）)元根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可；
设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可．
【详解】设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
甲乙两种商品的销售量为，
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
，
解得，
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、20
【解析】
试题分析：设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．
解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6:0.4=x:5，
解得x=20(m).
即该旗杆的高度是20m.
20、1
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入已知方程，即可求得a2-2a=1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
【详解】
解：∵a是方程x2-2x-1=0的一个解，
∴a2-2a=1，
则2a2-4a+2019=2（a2-2a）+2019=2×1+2019=1；
故答案为：1．
本题考查的是一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式求值．
21、19
【解析】
先根据非负数的性质求得x、y的值，然后再根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系进行讨论即可得.
【详解】
根据题意得，x-3=0，y-8=0，
解得x=3，y=8，
①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、8，
∵3+3200时，甲公司的收费为y=1000+5×200+3（x-200）=3x+1400，
∴甲公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式为y=,
根据图像设乙公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式为y=kx，
根据图像可知函数图像经过点（200，1600），
∴1600=200k，
解得k=8，
∴乙公司的收费y（元）与印刷数量x之间的关系式为y=8x.
（2）当0≤x≤200时，5x+1000=8x，解得x=，（舍去）
当x>200时，3x+1400=8x，解得x=280，
∴当印刷数量为280张时，甲、乙公司的收费相同，
由（1）得到的关系式可画函数图象如下：
根据图像可知，当0≤x≤280时，选择乙公司比较合算，当时，选择两个公司一样合算，当时，选择甲公司比较合算
本题考查一次函数图象和应用，根据求出的关系式画出函数图象，并从图象上获取信息是解题关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人