北京市昌平区昌平五中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学调研模拟试题【含答案】

这是一份北京市昌平区昌平五中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学调研模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
2、（4分）下列图案：
其中，中心对称图形是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
3、（4分）某学校组织学生进行社会主义核心价值观的知识竞赛，进入决赛的共有名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
那么名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
4、（4分）如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分）已知实数，若，则下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
6、（4分）一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A．x≥2B．x＜2C．x＞2D．x≤2
7、（4分）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）汽车油箱中有油，平均耗油量为，如果不再加油，那么邮箱中的油量（单位：）与行驶路程（单位：）的函数图象为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）当0＜m＜3时，一元二次方程x2+mx+m=0的根的情况是_______.
10、（4分）关于的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根为2，则另一个根是 ．
11、（4分）如果多边形的每个外角都是40°，那么这个多边形的边数是_____．
12、（4分）如图，在▱ABCD中，，，则______．
13、（4分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点，交x轴于点B．

（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①当 时，求点P的坐标；
②在①的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角，求点C的坐标．
15、（8分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
16、（8分）如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P开始从点A开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，他们同时出发，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；
17、（10分）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了m 到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了50m到达目的地C。
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）确定目的地C在营地A的北偏东多少度方向。
18、（10分）用公式法解下列方程：
(1)2x2−4x−1=0；
(2)5x+2=3x2.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）将矩形按如图所示的方式折叠，得到菱形，若，则菱形的周长为______.
20、（4分）如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是斜坡两点之间的高度差与水平距离之比），坝高，则坡面的长度是_______.
21、（4分）若ab，则32a__________32b（用“＞”、“”或“＜”填空）．
22、（4分）如图， 和都是等腰直角三角形， ，的顶点在的斜边上，若，则____.
23、（4分）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点A，B，C均在格点上，点D为AB的中点，则线段CD的长为____________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B 岛驶向C岛，执行海巡任务，最终达到C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为 km， ；
（2）求y与x的函数关系式，并请解释图中点P的坐标所表示的实际意义；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接受到该信号的时间有多长？
25、（10分）如图，在ABCD中，延长边BA到点E，延长边DC到点F，使CF=AE，连接EF，分别交AD，BC于点M，N.
求证：AM=CN.
26、（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠DCB，DB平分∠ADC
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求点D到AB的距离
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
首先比较平均数，然后比较方差，方差越小，越稳定．
【详解】
∵==9.7，S2甲＞S2丙，
∴选择丙．
故选：C．
此题考查了方差的知识．注意方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2、D
【解析】
试题分析：根据中心对称图形的概念：绕某点旋转180°，能够与原图形完全重合的图形．可知①不是中心对称图形；②不是中心对称图形；③是中心对称图形；④是中心对称图形．
故选D．
考点：中心对称图形
3、B
【解析】
根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【详解】
∵85分的有8人，人数最多，
∴众数为85分；
∵处于中间位置的数为第10、11两个数为85分，90分，
∴中位数为87.5分．
故选B．
本题考查了众数与中位数的意义，该组数据中出现次数最多的数为众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，解决问题时如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4、C
【解析】
根据m、n同正，同负，一正一负时利用一次函数的性质进行判断．
【详解】
解：①当mn＞0时，m、n同号，y＝mnx过一三象限；同正时，y＝mx+n经过一、二、三象限，同负时，y＝mx+n过二、三、四象限；
②当mn＜0时，m、n异号，y＝mnx过二四象限，m＞0，n＜0时，y＝mx+n经过一、三、四象限；m＜0，n＞0时，y＝mx+n过一、二、四象限；
故选：C．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
5、C
【解析】
根据不等式的性质，可得答案．
【详解】
解：A．两边都加6，不等号的方向不变，故A正确；
B．两边都减2，不等号的方向不变，故B正确；
C．两边都乘﹣2，不等号的方向改变，故C错误；
D．两边都除以3，不等号的方向不变，故D正确．
故选C．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
6、D
【解析】
直接将解集在数轴上表示出来即可，注意实心和空心的区别
【详解】
数轴上读出不等式解集为x≤2，故选D
本题考查通过数轴读出不等式解集，属于简单题
7、C
【解析】
最简二次根式： ① 被开方数不含有分母（小数）；
② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式；
【详解】
A. ，被开方数是分数，不是最简二次根式；
B. ，被开方数是小数，不是最简二次根式；
C. ，符合条件，是最简二次根式；
D. ，被开方数可以开方，不是最简二次根式.
故选C
本题考核知识点：最简二次根式. 解题关键点：理解最简二次根式的条件.
8、B
【解析】
根据“油箱中的油量＝总油量﹣x公里消耗的油量”列出函数解析式，结合实际问题的情况即可求解.
【详解】
∵油箱中的油量＝总油量﹣x公里消耗的油量，
∴邮箱中的油量（单位：）与行驶路程（单位：）的函数关系式为：y＝50﹣0.1x，为一次函数，且x的取值范围为0≤x≤500，
∴符合条件的选项只有选项B.
故选B．
本题考查了根据实际问题建立数学模型及应用一次函数的知识解决实际问题，正确建立一次函数模型是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、无实数根
【解析】
根据一元二次方程根的判别式判断即可
【详解】
一元二次方程x2+mx+m=0，则△=m2-4m=（m-2）2-4，当0＜m＜3时，△＜0，故无实数根
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
10、-1
【解析】
试题分析：因为方程x2+mx-6=0的一个根为2，所以设方程另一个根x，由根与系数的关系可得：2x=-6，所以x=-1．
考点：根与系数的关系
11、1
【解析】
根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】
解：多边形的边数是： ＝1，
故答案为：1．
此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式
12、．
【解析】
先证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．
【详解】
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
即是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等腰直角三角形是解决问题的关键．
13、或
【解析】
先根据面积求出三角形在y轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解.
【详解】
根据题意，一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象与y轴交点坐标为(0，b)，
则×2×|b|=1，
解得|b|=1，
∴b=±1，
①当b=1时，与y轴交点为(0，1)，
∴2k+1=0，解得k=-，∴函数解析式为y=-x+1；
②当b=-1时，与y轴的交点为(0，-1)，
∴2k-1=0，解得k=，∴函数解析式为y=-x-1，
综上，这个一次函数的解析式是或，
故答案为：或.
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，先根据三角形面积求出与y轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）（1，0）；（2）①（2，3）；②（3，1）
【解析】
（1）把点A的坐标代入直线解析式可求得b=1，则直线的解析式为y=-x+1，令y=0可求得x=1，故此可求得点B的坐标；
（2）①由题l垂直平分OB可知OE=BE=2，将x=2代入直线AB的解析式可求得点D的坐标，设点P的坐标为（2，n），然后依据S△APB=S△APD+S△BPD可得到△APB的面积与n的函数关系式为S△APB=2n-1；由S△ABP=8得到关于n的方程可求得n的值，从而得到点P的坐标；
②如图1所示，过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．设点C的坐标为（p，q），先证明△PCM≌△CBN，得到CM=BN，PM=CN，然后由CM=BN，PM=CN列出关于p、q的方程组可求得p、q的值；如图2所示，同理可求得点C的坐标．
【详解】
解：（1）∵把A（0，1）代入y=-x+b得b=1，
∴直线AB的函数表达式为：y=-x+1．
令y=0得：-x+1=0，解得：x=1，
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）①∵l垂直平分OB，
∴OE=BE=2．
∵将x=2代入y=-x+1得：y=-2+1=2．
∴点D的坐标为（2，2）．
∵点P的坐标为（2，n），
∴PD=n-2．
∵S△APB=S△APD+S△BPD，
∴S△ABP=PD•OE+PD•BE=（n-2）×2+（n-2）×2=2n-1．
∵S△ABP=8，
∴2n-1=8，解得：n=3．∴点P的坐标为（2，3）．
②如图1所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．
设点C（p，q）．
∵△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，
∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°，
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
∵PC=BC，
，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴ ，解得．
∴点C的坐标为（3，1）．
如图2所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．
设点C（p，q）．
∵△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，
∴PC=CB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴ ，解得 ．
∴点C的坐标为（0，2）舍去．
综上所述点C的坐标为（3，1）．
此题考查一次函数的综合应用，全等三角形的性质和判断，解题关键在于掌握待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式，全等三角形的性质和判断，由CM=BN，PM=CN列出关于p、q的方程组．
15、证明见详解.
【解析】
（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可.
（2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可.
【详解】
（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形
∴AG=DC
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE=AG，DF=DC，
即GE=DF，GE∥DF
∴四边形DEGF是平行四边形
（2）连接DG，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AD=CG
∵G为BC中点，
∴BG=CG=AD
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB∥DG
∵∠B=90°，
∴∠DGC=∠B=90°
∵F为CD中点，
∴GF=DF=CF，
即GF=DF
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形.
16、（1）.
（2）能.当时.
【解析】
（1）利用勾股定理，根据题意求出PB和BQ的长，再由PB和BQ可以求得PQ的长；
（2）由题意可知P、Q两点是逆时针运动，则第一次形成等腰三角形是PB=QB，再列式即可得出答案.
【详解】
（1）由题意可得，，
因为t=2，所以，，
则由勾股定理可得.
（2）能.由题意可得，，又因为题意可知P、Q两点是逆时针运动，则第一次第一次形成等腰三角形是PB=QB，所以,即当时，第一次形成等腰三角形.
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质和动点问题，属于综合题，难度适中，解题的关键是熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质.
17、（1）100；（2）目的地C在营地A的北偏东30°的方向上
【解析】
（1）根据所走的方向判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解.
（2）求出的度数，即可求出方向.
【详解】
(1)如图，过点B作BE//AD.
∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∠CBA=90°
AC==100(m).
(2)在Rt△ABC中，∵BC=50m,AC=100m,
CAB=30°.
∵∠DAB=60°,
DAC=30°，
即目的地C在营地A的北偏东30°的方向上
本题考查勾股定理的应用，先确定直角三角形，根据各边长用勾股定理可求出AC的长，且求出的度数，进而可求出点C在A点的什么方向上.
18、 (1) x1=,x2=；(2) x1=2,x2=−.
【解析】
把原方程化为一元二次方程的一般形式，根据求根公式x=求解即可．
【详解】
(1)∵△=16+8=24>0，
∴x==，
x1=,x2=；
(2)先整理得到3x2−5x−2=0，∵△=25+24=49>0，∴x=，x1=2,x2=−.
本题考查解一元二次方程-公式法，解题的关键是掌握解一元二次方程-公式法.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据折叠的性质得AD=AO，CO=BC，∠BCE=∠OCE，所以AC=2BC，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠CAB=30°，于是BC=AB=3，∠ACB=60°，接着计算出∠BCE=30°，然后计算出BE=BC=3，CE=2BE=6，于是可得菱形AECF的周长．
【详解】
解：∵矩形ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，
∴AD=AO，CO=BC，∠BCE=∠OCE，
而AD=BC，
∴AC=2BC，
∴∠CAB=30°，
∴BC=AB=3，∠ACB=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC=3，
∴CE=2BE=6，
∴菱形AECF的周长=4×6=1．
故答案为：1
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
20、
【解析】
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
【详解】
解：∵坡AB的坡比是1：，坝高BC=2m，
∴AC=2，
由勾股定理得，AB==1（m），
故答案为：1．
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键.
21、
【解析】
根据不等式的性质进行判断即可
【详解】
解：∵ab，
∴2a2b
∴32a32b
故答案为：＜
本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
22、6
【解析】
连接BD，证明△ECA≌△DCB，继而得到∠ADB=90°，然后利用勾股定理进行求解即可.
【详解】
连接BD，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠E=45°，∠ECA=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ECA≌△BDC，
∴DB=AE=4，∠BDC=∠E=45°，
∴∠ADB=∠EDC+∠BDC=90°，
∴AD=，
故答案为6.
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.
23、
【解析】
根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
解：根据勾股定理，AB=，
BC=，
AC=，
∵AC2+BC2=AB2=26，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴CD=AB=×=．
故答案为．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）15、1.7h；(2) 当0＜≤0.5时，y与x的函数关系式为：y=-50x+25；当0.5＜≤1.7时，y与x的函数关系式为：y=50x－25；(3)该海巡船能接受到该信号的时间 0.6（h）
【解析】试题分析：（1）把A到B、B到C间的距离相加即可得到A、C两个港口间的距离，再求出海巡船的速度，然后根据时间=路程÷速度，计算即可求出a值；
（2）分0＜x≤0.5和0.5＜x≤1.7两段，利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（3）根据函数解析式求出距离为15km时的时间，然后相减即可得解．
试题解析：解：（1）由图可知，A、B港口间的距离为25，B、C港口间的距离为60，所以，A、C港口间的距离为：25+60=15km，海巡船的速度为：25÷0.5=50km/h，∴a=15÷50=1.7h．
故答案为：15，1.7h；
（2）当0＜x≤0.5时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，∵函数图象经过点（0，25），（0.5，0），∴ ，解得： ．所以，y=﹣50x+25；
当0.5＜x≤1.7时，设y与x的函数关系式为：y=mx+n，∵函数图象经过点（0.5，0），（1.7，60），∴ ，解得： ．所以，y=50x﹣25；
（3）由﹣50x+25=15，解得x=0.2，由50x﹣25=15，解得x=0.1．
所以，该海巡船能接受到该信号的时间为：0.6h．
点睛：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量，比较简单，理解题目信息是解题的关键．
25、见解析.
【解析】
由题意可证△AEM≌△FNC，可得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BE∥DF，AD∥BC
∴∠E=∠F，∠AME=∠BNE
又∵∠BNE=∠CNF
∴∠AME=∠CNF
在△AEM和OCFN中
∴ΔAEM≌ΔCFN(AAS)
∴AM=CN.
考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
26、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得AD=BC，且AD∥BC，可证四边形ABCD是平行四边形，且AD=CD，可证四边形ABCD是菱形；
（2）由勾股定理可求AB的长，由面积法可求点D到AB的距离．
【详解】
证明：（1）∵CA平分∠DCB，DB平分∠ADC
∴∠ADB＝∠CDB，∠ACD＝∠ACB
∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠ACB＝∠ACD，∠ADB＝∠DBC＝∠CDB
∴AD＝CD，BC＝CD
∴AD＝BC，且AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形，且AD＝CD
∴四边形ABCD是菱形
（2）如图，过点D作DE⊥AB，
∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD
∴AB＝＝＝5
∵S△ABD＝AB×DE＝×DB×AO
∴5DE＝6×4
∴DE＝
本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
队员
平均成绩
方差
甲
9.7
2.12
乙
9.6
0.56
丙
9.7
0.56
丁
9.6
1.34
决赛成绩/分
人数