北京市第四中学2024年数学九上开学预测试题【含答案】

这是一份北京市第四中学2024年数学九上开学预测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在实数0，，，-1中，最小的是（ ）
A．0B．C．D．
2、（4分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）直线y=x－1的图像经过的象限是
A．第二、三、四象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限
4、（4分）若把分式中的和都扩大为原来的5倍，那么分式的值( )
A．扩大为原来的5倍B．扩大为原来的10倍C．不变D．缩小为原来的倍
5、（4分）随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥8时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（ ）
A．x＜32B．x≤32C．x＞32D．x≥32
6、（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．2mm= 2m
7、（4分）一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧(下图中的虚线都是水平线)．其中，所需平移的距离最短的是( )
A．B．
C．D．
8、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，沿A→D→C的路径以每秒1cm的速度运动（点P不与点A、点C重合），设点P运动时间为x秒，四边形ABCP的面积为ycm2，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）以正方形ABCD的边AD为一边作等边△ADE，则∠AEB的度数是________.
10、（4分）方程＝0的解是___．
11、（4分）若与最简二次根式是同类二次根式，则__________．
12、（4分）某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛．在选拔比赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是________．
13、（4分）如图，在中，，垂足为，是中线，将沿直线BD翻折后，点C落在点E，那么AE为_________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简再求值：（）÷，其中x＝11﹣.
15、（8分）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．
16、（8分）如图，在四边形OABC中，OA∥BC，∠OAB=90°，O为原点，点C的坐标为(2，8)，点A的坐标为(26，0)，点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向点C运动，点E同时从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线OAB运动，当点E达到点B时，点D也停止运动，从运动开始，设D(E)点运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形ABDE是矩形；
(2)当t为何值时，DE=CO？
(3)连接AD，记△ADE的面积为S，求S与t的函数关系式．
17、（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣2x+1的交点M的横坐标为1，与直线y＝x﹣1的交点N的纵坐标为2，求这个一次函数的解析式．
18、（10分）计算（1）（﹣）0++|2﹣|
（2）（﹣）÷+（2+）（2﹣）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在平面直角坐标系中，已知点P（x，0），A（a，0），设线段PA的长为y，写出y关于x的函数的解析式为___，若其函数的图象与直线y＝2相交，交点的横坐标m满足﹣5≤m≤3，则a的取值范围是___．
20、（4分）函数中，自变量的取值范围是 ．
21、（4分）如图，已知矩形ABCD，AB在y轴上，AB=2，BC=3，点A的坐标为(0，1)，在AD边上有一点E(2，1)，过点E的直线与BC交于点F．若EF平分矩形ABCD的面积，则直线EF的解析式为________.
22、（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去记正方形ABCD的边为，按上述方法所作的正方形的边长依次为、、、，根据以上规律写出的表达式______．
23、（4分）在菱形中，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立。
(1)如图(1),当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明)；
(2)如图(2),当点P运动到CA的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)如图(3),当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图(3)画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明)
25、（10分）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）是一次函数关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：
（1）设鞋长为，“鞋码”为，求与之间的函数关系式；
（2）如果你需要的鞋长为24cm，那么应该买多大码的鞋？
26、（12分）计算：
（1）
（2）已知a＝+2，b＝﹣2，求a2﹣b2的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
|-3|=3，
根据实数比较大小的方法，可得
-＜−1＜0＜3，
所以在实数0、-、|-3|、-1中，最小的是-．
故选：B．
考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2、A
【解析】
试题分析：解不等式x+2＞2得：x＞﹣2；解不等式得：x≤2，所以次不等式的解集为：﹣2＜x≤2．故选A．
考点：2．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组．
3、C
【解析】
直线y=x-1与y轴交于（0，-1）点，且k=1＞0，y随x的增大而增大，
∴直线y=x-1的图象经过第一、三、四象限．故选C．
4、A
【解析】
把和都扩大为原来的5倍，代入原式化简，再与原式比较即可.
【详解】
和都扩大为原来的5倍，得
，
∴把分式中的和都扩大为原来的5倍，那么分式的值扩大为原来的5倍.
故选A.
本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中,然后约分,再与原式比较,最终得出结论.
5、B
【解析】
利用已知反比例函数图象过（8，80），得出其函数解析式，再利用y=20时，求出x的最值，进而求出x的取值范围．
【详解】
解：设反比例函数的解析式为：，
则将（8，80），代入,得：k=xy=8×80=640，
∴反比例函数的解析式为：
故当车速度为20千米/时，则，
解得：x=1，
故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：0>，
∴最合适的人选是丙.
故答案为：丙.
点睛：本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
13、
【解析】
如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH是矩形，先证明△ADM≌△CDB，在RT△BMN中利用勾股定理求出BM，再证明四边形BCDE是菱形，AE=2OD，即可解决问题．
【详解】
解：如图作AH⊥BC于H，AM⊥AH交BD的延长线于M，BN⊥MA于N，则四边形ANBH是矩形．
∵AB=AC=4，，
∴CH=1，AH=NB=
，BC=2，
∵AM∥BC，
∴∠M=∠DBC，
在△ADM和△CDB中，
，
∴△ADM≌△CDB(AAS)，
∴AM=BC=2，DM=BD，
在RT△BMN中，∵BN=，MN=3，
∴，
∴BD=DM=，
∵BC=CD=BE=DE=2，
∴四边形EBCD是菱形，
∴EC⊥BD，BO=OD=，EO=OC，
∵AD=DC，
∴AE∥OD，AE=2OD=．
故答案为．
本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会转化的数学数学，利用三角形中位线发现AE=2OD，求出OD即可解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、12﹣．
【解析】
先计算括号内分式的减法、除法转化为乘法同时因式分解，再将x的值代入计算可得．
【详解】
原式＝，
当x＝11﹣时，原式＝11﹣ +1＝12﹣．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
15、（1）见解析；
（2）见解析.
【解析】
（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可；
（2）由∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.
【详解】
(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB ，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=DC，
∴AE=DC，
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形.
(2) 证明：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线.
∴AD=CD
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形.
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.
16、 (1)t=；(2)t=6；(3)S=t2﹣13t．
【解析】
(1)根据矩形的判定定理列出关系式，计算即可；
(2)根据平行四边形的判定定理和性质定理解答；
(3)分点E在OA上和点E在AB上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
(1)∵点C的坐标为(2，8)，点A的坐标为(26，0)，
∴OA=26，BC=24，AB=8，
∵D(E)点运动的时间为t秒，
∴BD=t，OE=3t，
当BD=AE时，四边形ABDE是矩形，
即t=26﹣3t，
解得，t=；
(2)当CD=OE时，四边形OEDC为平行四边形，DE=OC，
即24﹣t=3t，
解得，t=6；
(3)如图1，当点E在OA上时，
AE=26﹣3t，
则S=×AE×AB=×(26﹣3t)×8=﹣12t+104，
当点E在AB上时，AE=3t﹣26，BD=t，
则S=×AE×DB=×(3t﹣26)×t=t2﹣13t．
此题考查四边形综合题，解题关键在于利用矩形的判定定理和平行四边形的判定定理和性质来解答
17、y＝x﹣．
【解析】
依据条件求得交点M的坐标是（1，﹣1），交点N的坐标是（3，2），再根据待定系数法即可得到一次函数的解析式．
【详解】
解：把x＝1代入y＝﹣2x+1中，可得y＝﹣1，
故交点M的坐标是（1，﹣1）；
把y＝2代入y＝x﹣1中，得x＝3，
故交点N的坐标是（3，2），
设这个一次函数的解析式是y＝kx+b，
把（1，﹣1），（3，2）代入，可得，
解得，
故所求函数的解析式是y＝x﹣．
本题考查了两直线相交的问题，解题的关键是理解交点是两条直线的公共点．
18、（1）﹣；（2）1．
【解析】
（1）此题涉及零次幂、开立方和绝对值3个考点，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）首先计算括号里面二次根式的减法，再计算括号外的乘除，最后计算加减即可．
【详解】
解：（1）原式=1﹣3+2﹣=﹣；
（2）原式=（5﹣4）÷+4﹣5=÷+4﹣5=1+4﹣5=1．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、y＝|x﹣a| ﹣3≤a≤1
【解析】
根据线段长求出函数解析式即可，函数图象与直线y＝2相交时，把x用含有a的代数式表示出来，根据横坐标m的取值范围求出a的取值范围即可.
【详解】
解：∵点P（x，0），A（a，0），
∴PA＝|x﹣a|
∴y关于x的函数的解析式为y＝|x﹣a|
∵y＝|x﹣a|的图象与直线y＝2相交
∴|x﹣a|＝2
∴x＝2+a或x＝﹣2+a
∵交点的横坐标m满足﹣5≤m≤3
∴2+a≤3，﹣2+a≥﹣5
∴﹣3≤a≤1
故答案为y＝|x﹣a|，﹣3≤a≤1.
本题考查根据题意列函数解析式，利用数形结合的思想得到a的取值范围是解题关键.
20、x≠1
【解析】
，x≠1
21、y=2x-3.
【解析】
根据题意可得点B的坐标为（0，-1），AE=2，根据EF平分矩形ABCD的面积，先求出点F的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可．
【详解】
∵AB=2，点A的坐标为（0，1），
∴OB=1，∴点B坐标为（0，-1），
∵点E（2，1），
∴AE=2，ED=AD-AE=1，
∵EF平分矩形ABCD的面积，
∴BF=DE，
∴点F的坐标为（1，-1），
设直线EF的解析式为y=kx+b，将点E和点F的坐标代入可得，
∴
解得k=2，b=-3
∴EF的解析式为y=2x-3.
故答案为：y=2x-3.
本题考查了矩形的性质和待定系数法求一次函数解析式，正确求得点F的坐标为（1，-1）是解决问题的关键．
22、
【解析】
根据正方形对角线等于边长的倍得出规律即可．
【详解】
由题意得，a1=1，
a2=a1=，
a3=a2=（）2，
a4=a3=（）3，
…，
an=an-1=（）n-1．
=[（）n-1]2=
故答案为：
本题主要考查了正方形的性质，熟记正方形对角线等于边长的倍是解题的关键，要注意的指数的变化规律．
23、2
【解析】
根据轴对称的性质，作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，P即为所求作的点．PE+PA的最小值即为AE′的长．
【详解】
作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，E为AD中点，
∴点E′是CD的中点，
∴DE′=DC=×4=2，AE′⊥DC，
∴AE′=．
故答案为2．
此题考查轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）①PE=PB，②PE⊥PB；（2）成立，理由见解析（3）①PE=PB，②PE⊥PB.
【解析】
（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理可证△PDC≅△PBC，推出PB=PD=PE，∠PDE=180°−∠PBC=∠PED，求出∠PEC+∠PBC=180°，求出∠EPB的度数即可
（2）证明方法同（1），可得PE=PB，PE⊥PB
（3）证明方法同（1），可得PE=PB，PE⊥PB
【详解】
(1)①PE=PB，②PE⊥PB.
(2)(1)中的结论成立。
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又PC=PC，
∴△PDC≌△PBC，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
②：由①,得△PDC≌△PBC，
∴∠PDC=∠PBC.
又∵PE=PD，
∴∠PDE=∠PED.
∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，
∴∠EPB=360°−(∠PEC+∠PBC+∠DCB)=90°，
∴PE⊥PB.
(3)如图所示：
结论：①PE=PB，②PE⊥PB.
此题考查正方形的性质，垂线，全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行求证
25、（1）y=2x-10；（2）38
【解析】
（1）利用待定系数法求函数关系式即可；
（2）代入x=24，求出y即可.
【详解】
解：（1）设x、y之间的函数关系式为：y＝kx＋b，
根据题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x−10；
（2）当x=24时，y＝2x−10＝48－10＝38，
答：应该买38码的鞋.
此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
26、（1）原式＝5；（2）原式＝8
【解析】
（1）根据完全平方公式、二次根式的乘法和加法可以解答本题；
（2）根据a、b的值可以求得a+b、a-b的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：（1）
=
=5
（2）∵，
∴，
∴
=
=
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
丁
平均数/环
9.5
9.5
9.5
9.5
方差/环2
5.1
4.7
4.5
5.1
鞋 长
15
18
23
26
鞋 码
20
26
36
42