人教版数学八上01-与三角形的高、角平分线有关的模型练习（含解析）

这是一份人教版数学八上01-与三角形的高、角平分线有关的模型练习（含解析），共6页。

与三角形的高、角平分线有关的模型模型一　求过同一顶点的角平分线与高线的夹角1.如图,AD是△ABC的高线,AE是角平分线,若∠BAC∶∠B∶∠C=6∶3∶1,求∠DAE的度数.2.已知:△ABC中,AE平分∠BAC交BC于E,AD⊥BC于D.(1)如图①,若∠C=70°,∠B=30°,则∠DAE=　　　　; (2)如图②所示,F是AE上的任意一点,过F作FG⊥BC于G,且∠B=40°,∠C=80°,求∠EFG的度数;(3)在(2)的条件下,若F点在AE的延长线上(如图③),其他条件不变,则∠EFG的大小发生改变吗?说明理由.模型二　求两内角平分线的夹角3.如图,在△ABC中,∠A=84°,点O是∠ABC、∠ACB的平分线的交点,点P是∠BOC、∠OCB的平分线的交点,若∠P=100°,求∠ACB的度数.4.如图,△ABC中,点P是∠ABC、∠ACB的平分线的交点.(1)若∠A=80°,求∠BPC的度数;(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC=90°+12∠A的规律,你认为正确吗?请给出理由.模型三　求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角5.如图1,在△ABC中,BA1平分∠ABC,CA1平分∠ACD,BA1,CA1相交于点A1.(1)若∠A1=30°,求∠A的度数;(2)求证:∠A1=12∠A;(3)如图2,继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3,得∠A3,……,依次得到∠A2 023,若∠A=α,则∠A2 023=　　　　.  图1　 图2 6.如图,已知BE是△ABC的角平分线,CP是△ABC的外角∠ACD的平分线,延长BE,BA分别交CP于点F,P.(1)求证:∠BFC=12∠BAC;(2)小智同学探究后提出等式:∠BAC=∠ABC+∠P,请通过推理演算判断“小智发现”是否正确;(3)若2∠BEC-∠P=180°,求∠ACB的度数.模型四　求两外角平分线的夹角7.如图,在△ABC中,∠B=46°,△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=　　　　. 8.如图,点O为△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的平分线的交点,点P为△ABC的两个外角∠DBC、∠ECB的平分线的交点,探究∠O与∠P的数量关系.答案全解全析1.解析　∵∠BAC∶∠B∶∠C=6∶3∶1,∴设∠BAC=6α,∠B=3α,∠C=α,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴6α+3α+α=180°,∴α=18°,∴∠BAC=108°,∠B=54°,∠C=18°,∵AD是△ABC的高线,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-90°-54°=36°,∵AE是△ABC的角平分线,∴∠BAE=12∠BAC=12×108°=54°,∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-36°=18°.2.解析　(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=80°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=12∠BAC=40°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°.故答案为20°.(2)∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠DAE,∵∠B=40°,∠C=80°,∴∠BAC=180°-40°-80°=60°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=30°,∵AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠B=50°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°,∴∠EFG=20°.(3)∠EFG的大小不变.理由如下:∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠DAE,由(2)知∠DAE=20°,∴∠EFG=20°.3.解析　∵点P是∠BOC、∠OCB的平分线的交点,∴∠BCP=∠PCO,∠BOP=∠COP,设∠BCP=∠PCO=x,∠BOP=∠COP=y,∵∠P=100°,∴x+y=80°,∴2x+2y=160°,∴∠OBC=180°-160°=20°,∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=2∠OBC=40°,∵∠A=84°,∴∠ACB=180°-40°-84°=56°.4.解析　(1)∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=12×(180°-80°)=50°,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-50°=130°.(2)正确.理由如下:∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-90°−12∠A=90°+12∠A.5.解析　(1)∵BA1平分∠ABC,CA1平分∠ACD,∴∠ABC=2∠A1BC,∠ACD=2∠A1CD,在△ABC中,∠ACD=∠A+∠ABC,在△A1BC中,∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∴∠A+∠ABC=2(∠A1+∠A1BC),整理得∠A=2∠A1,∵∠A1=30°,∴∠A=60°.(2)证明:由(1)可知∠A=2∠A1,∴∠A1=12∠A.(3)由(2)得∠A2=12∠A1=122∠A,∠A3=123∠A,……,∠An=12n∠A,∵∠A=α,∴∠A2 023=α22 023,故答案为α22 023.6.解析　(1)证明:∵CP是∠ACD的平分线,∴∠PCD=12∠ACD,∵BF是∠ABC的平分线,∴∠FBC=12∠ABC,∴∠BFC=∠PCD-∠FBC=12(∠ACD-∠ABC)=12∠BAC.(2)由(1)知∠BFC=12∠BAC,∴∠BAC=2∠BFC=2×12∠ABC+∠P=∠ABC+2∠P,∴“小智发现”是错误的.(3)∵∠BEC=∠ABE+∠BAC=12∠ABC+∠BAC,∠BAC=∠ACP+∠P,∴∠BEC=12∠ABC+∠ACP+∠P=12∠ABC+∠PCD+∠P,∵∠PCD=∠FBC+∠BFC=12∠ABC+∠BFC,∴∠BEC=12∠ABC+12∠ABC+12∠BAC+∠P=∠ABC+12∠BAC+∠P,∵2∠BEC-∠P=180°,∴∠BEC=90°+12∠P,∴90°+12∠P=∠ABC+12∠BAC+∠P,∴180°+∠P=2∠ABC+∠BAC+2∠P,∴180°=∠ABC+∠P+180°-∠ACB,∴∠ACB=∠ABC+∠P=∠PCD=∠ACP,∴∠ACB=60°.7.答案　67°解析　∵∠B=46°,∴∠BAC+∠BCA=180°-46°=134°,∴∠DAC+∠FCA=180°-∠BAC+180°-∠BCA=360°-134°=226°,∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA,∴∠EAC=12∠DAC,∠ECA=12∠FCA,∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠FCA)=113°,∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-113°=67°.故答案为67°.8.解析　在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴∠DBC+∠ECB=360°-(180°-∠A)=180°+∠A,∵点O为∠ABC、∠ACB的平分线的交点,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=90°-12∠A,∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A,∵点P为∠DBC、∠ECB的平分线的交点,∴∠PBC=12∠DBC,∠PCB=12∠ECB,∴∠PBC+∠PCB=12(∠DBC+∠ECB)=90°+12∠A,∴∠P=180°-90°+12∠A=90°-12∠A,∴∠O+∠P=180°.