人教版数学九上05-(五)圆的切线练习（含解析）

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(五)圆的切线证明类型一　见半径,证垂直1.(2021福建厦门模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,过点O作OD∥BC交AC于D,∠ODA=45°.求证:AC是☉O的切线.(2021陕西西安碑林模拟)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,连接OC交☉O于点D,连接BD并延长交线段AC于点E,∠CDE=∠CAD,求证:AC与☉O相切.类型二　连半径,证垂直3.(教材P102变式题)如图,AB为☉O的直径,AC平分∠BAD交☉O于点C,CD⊥AD,垂足为点D.求证:CD是☉O的切线.4.如图,以点O为圆心,AB长为直径作圆,在☉O上取一点C,延长AB至点D,连接DC,∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若CD=4,DB=2,求AE的长.5.(2021安徽芜湖模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,作∠BCD=∠ACB,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(1)求证:ED=EC; (2)求证:AF是☉O的切线.6.(2021福建南平模拟)如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,过A,C,D三点的☉O交AB于点E,已知BD=AD,∠BAD=2∠DAC=36°.(1)求证:AD是☉O的直径; (2)过点E作EF⊥BC于点F,求证:EF与☉O相切.类型三　作垂直,证半径7.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的☉O与BC相切于点M.求证:CD与☉O相切.8.如图,AB是☉O的直径,AM,BN分别切☉O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若AD=4,BC=9,求OD的长.答案全解全析1.证明　∵AB=AC,∴∠C=∠B.∵OD∥BC,∴∠C=∠ODA=45°,∴∠B=45°,∴∠CAB=180°-45°-45°=90°,即AC⊥AB.∴AC是☉O的切线.2.证明　∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°.∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∵∠ODB=∠CDE,∠CDE=∠CAD,∴∠B=∠CAD,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠B=90°,即BA⊥AC,∴AC与☉O相切.3.证明　如图,连接OC,∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC.∵OC=OA,∴∠BAC=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,∴OC∥AD.∵CD⊥AD,∴OC⊥DC,∴CD是☉O的切线.4.解析　(1)证明:如图,连接OC,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,即∠BCO+∠OCA=90°.又∵∠DCB=∠CAD,∠CAD=∠OCA,∴∠OCA=∠DCB,∴∠DCB+∠BCO=90°,即∠DCO=90°.∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.(2)∵∠DCO=90°,∴OC2+CD2=OD2,∵OC=OB,CD=4,DB=2,∴OB2+42=(OB+2)2,∴OB=3,∴AB=6.∵AE⊥AD,AB是☉O的直径,∴AE是☉O的切线.∵CD是☉O的切线,∴AE=CE,∵AD2+AE2=DE2,∴(6+2)2+AE2=(4+AE)2,解得AE=6.5.证明　(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∴∠BCD=∠ADC,∴ED=EC.(2)如图,连接OA,∵AB=AC,∴AB=AC,∴OA⊥BC.∵CA=CF,∴∠CAF=∠CFA,∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF.∵∠ACB=∠BCD,∴∠ACD=2∠ACB,∴∠CAF=∠ACB,∴AF∥BC,∵OA⊥BC,∴OA⊥AF,∴AF为☉O的切线.6.证明　(1)∵BD=AD,∴∠B=∠BAD=36°,∴∠ADC=72°.∵∠BAD=2∠DAC=36°,∴∠DAC=12∠BAD=18°,∴∠ADC+∠DAC=90°,∴∠C=90°,∴AD是☉O的直径.(2)如图,连接OE,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°.∵OE=OA,∴∠OEA=∠BAD=36°,∴∠OEA=∠B,∴OE∥BC,又EF⊥BC,∴OE⊥EF,∴EF与☉O相切.7.证明　如图,连接OM,过点O作ON⊥CD于点N.∵☉O与BC相切于点M,∴OM⊥BC.∵O为正方形ABCD对角线AC上一点,∴CO平分∠BCD.∴OM=ON,∴CD与☉O相切.8.解析　(1)证明:如图,过O点作OE⊥CD于点E,∵AM切☉O于点A,∴OA⊥AD.∵DO平分∠ADC,∴OE=OA.∵OA为☉O的半径,∴OE是☉O的半径,又OE⊥DC,∴CD是☉O的切线.(2)如图,过D作DF⊥BC于F,∵AB是☉O的直径,AM,BN分别切☉O于点A,B,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴四边形ABFD为矩形,∴BF=AD=4,∴CF=BC-BF=5.∵DC、AM、BC为圆的切线,∴DE=DA=4,CE=CB=9,∴DC=DE+CE=13.在Rt△DCF中,DF=DC2-CF2=12,∴AB=12,∴OA=6,在Rt△OAD中,OD=OA2+AD2=62+42=213.