内蒙古自治区通辽市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份内蒙古自治区通辽市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。

数学试题
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2、做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.
3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ）
A．B．C．2D．
3．若直线与互相垂直，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
4．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
6．平行六面体中.则=（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点，，直线过点，且两点在直线的同侧，则直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．(-∞,-1)∪(1,+∞)
C．D．(-1,0)∪(1,+∞)
8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知∆ABC的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A．B．
C．D．
多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.不存在实数，使得 D.若，则
10．以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是1
B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D．直线，若，则或2
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A．与平面的夹角的正弦值为
B．点到的距离为
C．线段的长度的最大值为
D．与的数量积的范围是
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12．两平行直线与之间的距离为 ．
13．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
14．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过△ABC的重心，则△PQR的周长是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

15．（满分13分）
已知∆ABC的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：
(1)边所在直线的方程
(2)边上中线AD所在直线的方程
(3)边的垂直平分线的方程.
16．（满分15分）
棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
(1)证明：；
(2)求.
17．（满分15分）
设直线l的方程为a+1x+y-5-2a=0a∈R．
(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A(xA,0)，B(0,yB)，当△AOB面积最小时，求此时的直线方程；
(3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．
18．（满分17分）
如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．
(1)证明：平面PAD；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
（满分17分）
有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形内一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点的一条直线，将三角板铝成，问：应该如何锯法，即直线斜率为多少时，可使三角板的面积最大？
通辽一中2023级高二上学期第一次月考
数学试题评分细则
二、选择题：1-8小题为单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分；9-11题为多项选择题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
；13.；14.853
1.【解析】由题意可知直线的斜率为.故选：A
2.【解析】点关于z轴的对称点为B，所以.
3．【详解】因为，则，即，
解得或.故选：D.
4．【解析】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，
可得，
则，
所以直线，所成角的余弦值为.故选：B.
5．【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故D项正确.
6．【详解】由题意得，
故
，故.
7．【详解】由题意，点，，，
根据斜率公式，可得，，
如图所示，要使得直线过点，且两点在直线的同侧，则直线斜率的取值范围是.故选：A .
8.【解析】由重心坐标公式可得：重心，即.
由，，可知外心在的垂直平分线上，
所以设外心，因为，
所以，解得，即：，
则，故欧拉线方程为：，即：.
多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确；
对于B项，由可得，解得，故B项错误；
对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；
对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.故选：ACD.
10.【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；
由解得，即，则，解得，B正确；
对于C，依题意，，C正确；
对于D，当时，直线重合，D错误.故选：BC
11.【解析】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，
可得，，
若，则，可得，
则，解得，即.
对于选项A：可知平面的法向量，
则，所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确；对于选项B：因为，
所以点到的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，
则，且，
可得当且仅当时，取到最大值，所以线段的长度的最大值为3，故C错误；对于选项D：因为，，
则，且，
可知当时，取到最小值；当时，取到最大值；
所以与的数量积的范围是，故D正确；故选：ABD.
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12．【答案】
【详解】由，可得，
所以与之间的距离为.
13.【答案】
【解析】由投影向量的定义可知，.
【答案】853
【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直线BC的方程为x+y-4=0.
设P(t,0)(0易得P1(4,4-t)，P2(-t,0).易知直线P1P2就是RQ所在的直线.
所以直线RQ的方程为y=4-t4+t×(x+t).
设△ABC的重心为G，则G43,43，
所以43=4-t4+t⋅43+t，即3t2-4t=0，
所以t=0（舍去）或t=43，
所以P14,83，P2-43,0.
结合对称关系可知QP=QP1，RP=RP2，
所以△PQR的周长即线段P1P2的长度为：4+432+83-02=853.故选：A.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15.【详解】（1）， 2分
故边所在直线的方程为：， 3分
化简得到. 4分
中点为，即， 5分
故， 7分
故AD所在直线的方程为， 8分
即. 9分
，
故垂直平分线的斜率为， 11分
中点为，
故垂直平分线的方程为， 12分
即. 13分
说明：直线的一般方程形式正确即可，以斜截式为最后答案也可以.
16.【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 1分
则,E0,0,1，，，，，， 3分
因为， 5分
所以，
所以，即. 8分
（2）因为，所以 10分
又， 11分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选项
A
A
D
B
D
A
A
A
ACD
BC
ABD
且， 13分
所以 15分
说明：综合法解答正确也得分；其他建系方法答案正确也得分.
17.【详解】（1）由a+1x+y-5-2a=0得ax-2+x+y-5=0，
则x-2=0x+y-5=0，解得x=2y=3， 2分
∴不论a为何值，直线l必过一定点P2,3； 3分（2）由a+1x+y-5-2a=0，
当x=0时，yB=5+2a，当y=0时，xA=5+2aa+1， 5分又由yB=5+2a>0xA=5+2aa+1>0，得a>-1， 6分∴S△AOB=12⋅5+2a⋅5+2aa+1=124a+1+9a+1+12≥1224a+1⋅9a+1+12=12，
当且仅当4a+1=9a+1，即a=12时取等号 9分
∴A4,0，B0,6，
∴直线方程为 3x+2y-12=0． 10分（3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，
即5+2a，5+2aa+1均为正整数，而a也为正整数， 12分∵5+2aa+1=2+3a+1，∴a=2， 14分∴直线l的方程为3x+y-9=0． 15分
说明：列出S△AOB=12⋅5+2a⋅5+2aa+1给1分
18.【解析】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：
∵M为棱PC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴， 2分
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD． 4分
（2）∵，∴，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
∴平面ABCD， 5分
又AD，平面ABCD，∴，而，，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 6分
如图：则，
∵M为棱PC的中点，∴ 8分
（i），
设平面BDM的一个法向量为，
则，令，则，∴，
平面PDM的一个法向量为， 10分
∴，
由图形得：二面角为钝角，则二面角的余弦值为 12分
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设，则， 14分
由（2）知平面BDM的一个法向量为，
，
∴点Q到平面BDM的距离是， 16分
∴，∴． 17分
说明：第（1）问用向量方法或者用面面平行证明均得分.
19.【详解】依题意，直线MN过点且斜率存在，
设直线MN的方程为， 1分
，，
直线OA的方程为，直线AB的方程为， 2分
由知： 3分
且，可得或， 4分
由知： 5分
且，可得k≥-12， 6分
， 7分
∴，
∴，且. 11分
设，，
当时，，
∵，，，，则，
即，在是增函数， 15分
当时，，即时，. 17分
说明：按采分点得分即可.