北京市师达中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题(无答案)

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2024.10
一、选择题（共16分，每题2分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的最小值是（ ）
A．2B．3C．-2D．-3
3．关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ）
A．B．C．D．为任意实数
4．将抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，五角星旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（ ）
A．30°B．60°C．72°D．90°
6．三角形的外心是（ ）
A．三角形三条高线的交点B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条内角角平分线的交点D．三角形三边垂直平分线的交点
7．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上．若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（ ）
A．32°B．29°C．58°D．26°
8．小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为________．
10．已知是一元二次方程的一个根，则的值是________．
11．已知，在二次函数的图象上，则________（填“>”，“<”或“=”）．
12．如图，中，，将绕点O逆时针旋转得到，若，则的度数为________．
13．如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，若，则________°．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角°，则∠A的度数为________．
15．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为________．
16．如图，与都是等边三角形，连接AD，BE，，，若将绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为________．
三、解答题（本题共68分，第17-20、22-23题，每小题5分，第21、24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）
17．解方程：
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别为，，．在同一直角坐标内完成以下作图．
（1）将绕点O顺时针旋转90°得到，点A的对应点为，画出旋转后的图形；
（2）与关于原点对称，点A的对应点为，画出．
19．已知：关于x的一元二次方程
（1）求证：该方程总有两个实数根
（2）若方程有一个根大于3，求k的取值范围
20．已知二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）根据函数图象完成以下问题：
①当时，y的取值范围为________；
②当时，x的取值范围为________．
21．已知：A，B是直线l上的两点．
求作：使得点C在直线l上方，且，．
作法：
①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
④连接AC，BC．就是所求作三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵，∴是等边三角形．∴．
∵A，B，C在⊙O上，
∴（ ① ）（填推理的依据）．
∴．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴（ ② ）（填推理的依据）．
∴即为所求作的三角形．
22．列一元二次方程解决实际问题：如图，利用一面墙（墙长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．
23．如图，在三角形中，，以BC为边作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到．若，．
（1）求证：点A，C，E在同一条直线上；
（2）求AD的长．
24．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系．
对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据：
根据上述数据，回答下列问题：
①野兔本次跳跃最大竖直高度为________m；
②求满足条件的抛物线的解析式．
（2）在满足（1）条件下，在野兔起跳点前方1.8m处有宽为0.8m的小溪，则野兔此次跳跃________（填“能”或“不能”）跃过小溪。
25．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦于点M，过点D作交CA的延长线于点E．
（1）连接OD，求∠AOD的度数；
（2）求证：DE与⊙O相切；
（3）点F在弧BC上，，DF交AB于点N．若，求FN的长．
26．在平面直角坐标系xOy中，点，，在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）若，求t的值；
（2）若当时，都有，求t的取值范围．
27．如图，将线段AB绕点A逆时针旋转α度（）得到线段AC，连结BC，点N是BC的中点，点D，E分别在线段AC，BC的延长线上，且．
（1）________（用含α的代数式表示）；
（2）连结BD，点F为BD的中点，连接AF，EF，NF．
①依题意补全图形；
②若，用等式表示线段NF与CE的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点T，，，给出如下定义：若点N以点T为中心逆时针旋转90°后，能与点M重合，则称点T为线段MN的“完美等直点”．
（1）如图1，当，，时，线段MN的“完美等直点”坐标是________；
（2）如图2，当，时，若直线上的一点T，满足T是线段MN的“完美等直点”，求点T的坐标及b的值；
（3）当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点T为线段MN的“完美等直点”，直接写出点T的横坐标t的取值范围．水平距离x
0
0.4
1
1.4
2
2.4
竖直高度y
0
0.48
0.9
0.98
0.8
0.48